蔣賢

在數(shù)學教學中，只有有效地引導學生挖掘題目本身蘊含的數(shù)學思想方法，發(fā)現(xiàn)解題過程中的數(shù)學思想，并且有效地加以歸納和總結(jié)，靈活運用，才能使學生真正體會數(shù)學的奧妙，領(lǐng)會數(shù)學的真諦，抓住問題的本質(zhì)，提高解題能力，從而有效提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

一、滲透轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想就是將不熟悉的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學問題來解決的一種思想方法。在學習過程中，將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，可以說在解決數(shù)學問題時轉(zhuǎn)化思想幾乎是無處不在的。

案例1 如圖所示，兩個村子A、B在一條河CD的同側(cè)，A、B兩村到河邊的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米.現(xiàn)要在河邊CD上建造一水廠，向A、B兩村送水，鋪設(shè)水管的工程費用為每千米2000元，請你在CD上選擇水廠位置，使鋪設(shè)水管的費用最省，并求出最省的鋪設(shè)水管的費用.

分析：要使鋪設(shè)管道的費用最省，由于鋪設(shè)管道每千米的費用一定，為2000元，即轉(zhuǎn)化為求鋪設(shè)管道的長度最短的值.運用軸對稱的性質(zhì)，將點A轉(zhuǎn)化到點M，將求折線問題轉(zhuǎn)化為求線段問題，其說明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊.

解：作點A關(guān)于河CD的對稱點M，連接MB，交CD與點P，則點P即為水廠位置，此時鋪設(shè)的管道長度為PA+PB.

∵點A與點AM關(guān)于CD對稱，

∴PM=PA，MC=AC=1，

∴PA+PB=PM+PB=MB.

過點M作MN⊥BN于N，則∠MNB=90°，MN=CD=3，BN=BD+DN=3+1=4，

∴在Rt△MNB中，根據(jù)勾股定理可得MB=5（千米），

∴2000×5=10000（元）.

答：鋪設(shè)管道的最省費用為10000元.

教學啟示：在勾股定理的運用中，直角三角形為前提條件，在求三角形的邊或角時，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決。可以轉(zhuǎn)化為用勾股定理解決實際問題的常見類型，包括：航海問題、折疊問題、梯子問題、最短路徑問題等等。

二.滲透方程思想

方程思想就是在求解數(shù)學問題時，從題中的已知量和未知量之間的關(guān)系入手，找出相等關(guān)系，運用數(shù)學語言將相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組），再通過解方程（組），使問題獲得解決，方程思想是中學數(shù)學中非常重要的思想方法之一。

三、滲透函數(shù)思想

利用函數(shù)解決問題是用運動、變化、發(fā)展的觀點了分析問題中的數(shù)量關(guān)系，抽象出函數(shù)模型，進而解決有關(guān)問題.函數(shù)的實質(zhì)是研究兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，靈活運用函數(shù)思想可以解決許多數(shù)學問題，尤其是實際問題。

四、滲透分類思想

分類討論思想就是按照一定的標準，把研究對象分成為數(shù)不多的幾個部分或幾種情況，然后逐個加以解決，最后予以總結(jié)得出結(jié)論的思想方法。其實質(zhì)是化整為零，各個擊破的轉(zhuǎn)化策略.運用分類思想解決問題時，要做到“確定對象的全體，明確分類的標準，不重復、不遺漏”。

案例2 矩形一個內(nèi)角的角平分線將它的一邊分成4cm和2cm的兩部分，則該矩形的周長是多少？

分析 此類題可分為兩種情況解答.一個角的平分線可以把邊分為4cm和2cm，也可把邊分為2cm以及4cm.進而得到矩形另一邊長為4cm或2cm.進而求得矩形周長即可.

解答 解：∵AE=4cm，DE=2cm.

∴AD=BC=6cm.

利用角平分線得到∠ABE=∠CBE，矩形對邊平行得到∠AEB=∠CBE.

∴∠ABE=∠AEB.

∴AB=AE=4cm.

∴矩形的周長為4+4+6+6=20cm；

第二種情況：AE=2cm，DE=4cm.

同理可得AB=AE=2cm.

所以矩形的周長為2+2+6+6=16cm.

故答案為：20cm或16cm.

教學啟示 在解決某些問題時，如果這些問題存在各種不同的情況，那么就要對這些問題進行分類討論。本題主要考查矩形的性質(zhì)，出現(xiàn)角平分線，出現(xiàn)平行線時，一般出現(xiàn)等腰三角形，需注意等腰三角形相等邊的不同。

五、滲透數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的學科，“數(shù)”與“形”以及它們的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，是數(shù)學的永恒主題。每個幾何圖形中都蘊藏著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系常常又可以通過圖形的直觀性作出形象的描述。數(shù)形結(jié)合思想即是把代數(shù)、幾何知識相互轉(zhuǎn)化、相互利用的一種解題思想。

總之，數(shù)學思想是數(shù)學的核心。 因此，在中考復習教學中，教師要加強對數(shù)學思想方法的滲透，提高學生靈活應(yīng)用數(shù)學的能力，進而有效提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。