陳浩 王小麗

摘 要：通過線性方程組迭代解法研究，介紹了在數(shù)值分析教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維以及分析問題和解決問題能力的一些教學(xué)實(shí)踐.

關(guān)鍵詞：線性方程組；迭代法；歐拉方法；改進(jìn)歐拉方法

Abstract：By introducing to students several different iterative methods for solving linear equations，some experience is obtained to show how to cultivate students in creative thinking and the ability to analyze and solve problems.

Key words：linear equations； iterative methods； Euler method； modified Euler method

在數(shù)值分析的教學(xué)中，線性方程組的迭代法和常微分方程數(shù)值解法是兩個重要內(nèi)容，[1]其講授往往是獨(dú)立進(jìn)行且少有聯(lián)系的.筆者認(rèn)為，將線性方程組與微分方程結(jié)合起來，利用微分方程數(shù)值方法的思想，啟發(fā)學(xué)生思考這些方法是否可以用來迭代求解線性方程組，并由學(xué)生自己得出結(jié)論，最后給學(xué)生們提供求解線性方程組的新的迭代方法.這樣做既可以將數(shù)值分析中兩大看似沒有關(guān)聯(lián)的重要內(nèi)容聯(lián)系在一起，從而提高學(xué)生的認(rèn)知和學(xué)習(xí)效率，又培養(yǎng)了學(xué)生獨(dú)立思考問題、解決問題的能力，還能激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)值分析的興趣.本文將對此作一些初步的討論?？紤]線性代數(shù)方程組，這里，且假設(shè)矩陣的特征值均為正實(shí)數(shù)，.易知方程組存在唯一解，為構(gòu)造解此線性系統(tǒng)的迭代法，我們將其與如下常微分方程初值問題聯(lián)系起來

即線性代數(shù)方程組的解為微分方程組的穩(wěn)定解.我們的想法是利用數(shù)值方法求出微分方程（1）的數(shù)值解，若數(shù)值方法是穩(wěn)定的，則此數(shù)值解將漸進(jìn)趨向于線性代數(shù)方程組的解。接下來我們考慮用兩類數(shù)值方法解微分方程（1）.設(shè)時間步長為，利用歐拉方法[1]可得

由前述分析可知，式（2）-（3）也可以看作為解線性方程組的帶參數(shù)的迭代法，而為待定的迭代參數(shù).由此可見每一類解微分方程的顯式數(shù)值方法都可以誘導(dǎo)出一類解線性方程組的迭代算法，諸如由顯式龍格-庫塔方法及線性多步方法所誘導(dǎo)的迭代格式由于篇幅原因本文不再贅述。下述定理描述了兩類迭代法收斂的條件。定理1設(shè)矩陣的特征值均為正實(shí)數(shù)且其最大特征值為.若，則歐拉型迭代法（2）和改進(jìn)歐拉型迭代法（3）均收斂。即所得序列均滿足。

證 1）由（2）式可知?dú)W拉型迭代法的迭代矩陣為，則迭代法收斂當(dāng)且僅當(dāng).設(shè)為的任一特征值，則迭代收斂要求，從而。

2）將改進(jìn)歐拉型迭代法（3）中的中間變量消去可得

從而改進(jìn)歐拉迭代法的迭代矩陣為。考察其特征值，從而當(dāng)時有。

為了使得迭代方法的收斂速度更快，我們可以選擇適當(dāng)?shù)牡鷧?shù)使得迭代矩陣的譜半徑最小。

定理2設(shè)矩陣的特征值均為正數(shù)且最小最大特征值分別為.則當(dāng)?shù)鷧?shù)取值為時，歐拉及改進(jìn)的歐拉迭代法的迭代矩陣譜半徑最小。

參考文獻(xiàn)：

[1]李慶楊，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].5版.北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[2]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.

作者簡介：陳浩（1986-），男，漢族，重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院副教授。