曾中華

摘要： 高三復(fù)習(xí)中存在一種普遍現(xiàn)象，在對基本知識復(fù)習(xí)時，認(rèn)為這些都已經(jīng)學(xué)過，只是簡單地重復(fù)或羅列一遍；在習(xí)題講解過程中，重量輕質(zhì)，即化大量精力和時間給學(xué)生演示問題的解答過程，輕視對問題的認(rèn)識分析過程。

關(guān)鍵詞： 知識結(jié)構(gòu)現(xiàn)狀；優(yōu)化和重組知識結(jié)構(gòu)；問題的閱讀理解；辯證的認(rèn)識問題；解題方案設(shè)計；數(shù)學(xué)表達能力

高三復(fù)習(xí)課如何上？是每個高三教師所關(guān)注的問題，任何一節(jié)課總是有教學(xué)目的和教學(xué)過程所構(gòu)成的。教學(xué)實踐表明：教學(xué)目的明確、教學(xué)過程中采用方法得當(dāng)，是一節(jié)課成功的關(guān)鍵。高三復(fù)習(xí)課也不例外，雖然高三復(fù)習(xí)中最功利的做法是應(yīng)試策略，但應(yīng)試策略往往會使學(xué)生思維僵化，應(yīng)變能力不強。同時在高三復(fù)習(xí)課中，有些教師把復(fù)習(xí)課上成習(xí)題課，讓學(xué)生大量重復(fù)練習(xí)，這樣做使學(xué)生的付出了很大的精力，但最后得到效果并不理想。從高考實踐中可以發(fā)現(xiàn)，許多成績不理想的同學(xué)并不因為缺少練習(xí)，而是不能有效組織和整理貯備知識，導(dǎo)致不能靈活運用所學(xué)知識，這從本質(zhì)上講是沒有完整合理的知識結(jié)構(gòu)，缺乏分析解決問題的能力。在高三復(fù)習(xí)課教學(xué)中怎樣才能讓學(xué)生形成合理的知識結(jié)構(gòu)，有較強的分析問題和解決問題的能力？首先要明確把握高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程，這個過程包括對基本知識復(fù)習(xí)與知識結(jié)構(gòu)合理重組、問題的辯證認(rèn)識過程、數(shù)學(xué)表達能力的培養(yǎng)，其次要重視在這三個環(huán)節(jié)上對學(xué)生現(xiàn)狀進行分析。本文就是在這三個環(huán)節(jié)上研究分析學(xué)生的現(xiàn)狀，探討研究如何提高高三復(fù)習(xí)效率。

一、知識結(jié)構(gòu)現(xiàn)狀與復(fù)習(xí)策略

良好的知識結(jié)構(gòu)應(yīng)具有以下特點：全面性、深刻性、系統(tǒng)性、遷移性。對知識的理解首先是全面的，能知道哪些知識容易錯及錯誤的主要原因；其次是深刻的，不僅能熟悉結(jié)論，而且熟悉知識的形成過程；同時對知識的認(rèn)識應(yīng)該是系統(tǒng)的，能夠縱橫之間相互有機的聯(lián)系，還具有較強的把知識點遷移到具體問題的能力。

學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)又是怎樣呢？高三學(xué)生雖然已對高中知識和解題方法和規(guī)律有了一定的認(rèn)識，但他們對知識、方法、規(guī)律的認(rèn)識往往是不深入的。因此學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)往往具有以下特點：片面性、表面性、孤立性、呆板性。

例如：在一次測驗中我給學(xué)生出了如下問題：在一次抽樣分析中，要抽取一個樣本，分別采用簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣，每個個體被抽到的概率分別為 ，則 （分別用： 填空），結(jié)果有相當(dāng)一部分同學(xué)填錯，究其原因，學(xué)生只知道采用同一種抽樣方法對每個個體被抽到的概率是相等的，明顯反映出學(xué)生對這三種抽樣方法不能全面系統(tǒng)地理解，更不能從一個高度上去認(rèn)識一種科學(xué)合理的抽樣方法應(yīng)具備的必要條件。

例如： ， 且 ， 關(guān)于點

對稱，圖象如右圖，求證： 。

學(xué)生對此題的雖然能從中心對稱一般方法去證明，但感覺較

復(fù)雜，我引導(dǎo)學(xué)生從特殊情況出發(fā)思考，如果一個函數(shù)是關(guān)于原

點 對稱，則此函數(shù)是奇函數(shù)，一定有 ，那

么要證明的問題是：函數(shù) 關(guān)于 對稱，那么能否對 實施變換使之變?yōu)槠婧瘮?shù)，即關(guān)于 對稱呢？學(xué)生提出把函數(shù)向下平移 得到的函數(shù) 是奇函數(shù)，然后利用奇函數(shù)性質(zhì)輕而易舉解決了問題！從這個問題上可以看出：學(xué)生對所學(xué)的知識遷移到具體問題上的能力不強！

合理重組知識結(jié)構(gòu)，提高知識應(yīng)用能力的復(fù)習(xí)對策：知識是解決問題的必要工具，是考查學(xué)生能力的載體。首先重視知識點的深化與相互聯(lián)系，其次要挖掘教材的內(nèi)在邏輯體系，幫助學(xué)生優(yōu)化和重組知識結(jié)構(gòu)，同時培養(yǎng)學(xué)生把知識點遷移到具體問題的應(yīng)用能力，使學(xué)生知識結(jié)構(gòu)具有：全面性、系統(tǒng)性、深刻性、遷移性。對策實施方法：網(wǎng)絡(luò)與表格結(jié)合。

二、對問題認(rèn)識的現(xiàn)狀與教學(xué)對策

G·波利亞提出的數(shù)學(xué)解題思維過程的四個階段，即弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃和回顧。這四個階段的思維實質(zhì)可以用下列八個字加以概括：理解、轉(zhuǎn)換、實施、反思。

對問題的認(rèn)識是解決問題的前提，也是解決問題的關(guān)鍵，一個完整的認(rèn)識問題的過程應(yīng)包括：問題的閱讀理解、辯證的認(rèn)識問題、解題方案設(shè)計。解決問題的操作過程如下圖：

在認(rèn)識問題的各個過程中學(xué)生對問題的認(rèn)識也存在很大的差異性，認(rèn)識上的差異性最終導(dǎo)致對問題解決的差異性，即解決方法上的差異性和解決質(zhì)量上的差異性。因此認(rèn)真分析學(xué)生在認(rèn)識問題上的現(xiàn)狀，采取有效的策略縮小差異性，切實提高學(xué)生能力是高三復(fù)習(xí)重要的一環(huán)。

2.1 1.問題閱讀理解的現(xiàn)狀與教學(xué)對策

G·波利亞在其名著《怎樣解題》中所列的“解題表”將“審題”作為解題的第一步，而審題是對命題語言的觀察、分析。問題的閱讀理解是解決問題的關(guān)鍵一步，主要包括對數(shù)學(xué)語言（主要包括文字語言、符號語言、圖象語言、表格語言）的理解聯(lián)系和隱含條件的發(fā)現(xiàn)。由于數(shù)學(xué)的高度概括性使得其抽象程度相對較高，因此學(xué)生往往對缺乏對數(shù)學(xué)語言的理解能力。

首先主要表現(xiàn)在各種數(shù)學(xué)語言之間相互轉(zhuǎn)化相互聯(lián)系的能力不強，以及對新的數(shù)學(xué)符號理解接受能力差。

例1 定義域和值域均為 （常數(shù) ）的

函數(shù) 和 的圖像如圖所示，給

出下列四個命題：

（1）方程 有且僅有三個解；（2）方程 有且僅有三個解；

（3）方程 有且僅有九個解；（4）方程 有且僅有一個解。

其中正確的命題個數(shù)是

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

解答本題有些學(xué)生感覺毫無頭緒，障礙所在就是不能把圖象與圖象、圖象與符號進行有機聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)換。又如：

例2（浙江2005高考理9）設(shè) ，記 ，則 （ ）

（A）{0，3} （B）{1，2} （C）{3，4，5} （D）{1，2，6，7}

本題雖是一個選擇題，卻涉及符號多，僅集合符號就有六個！而且學(xué)生對兩個用新符號表示的集合 的理解是解決本題的困難所在。

其次在問題的閱讀理解過程中要重視隱含條件的把握，能合理把握和應(yīng)用隱含條件能使解題簡化。

例3：已知函數(shù) ，問是否存在實數(shù) ，使 的定義域和值域分別為 。

分析一：這是一題定函數(shù)在動區(qū)間上的值域問題。由于 ，按常規(guī)思路，將要按三種情況： ； ； 結(jié)合二次函數(shù)圖象進行分類討論。

分析二：因為 ，而函數(shù)的值域為 ，隱含著： ，即 。所以函數(shù)的定義域受到 的制約，函數(shù)

圖象如圖所示：

顯然： 在 上是增函數(shù)，則題意有：

即存在實數(shù) 使函數(shù) 在定義域為 時，值域為

通過上面分析一和分析二的比較，分析二解法簡單明了，省去了復(fù)雜的討論！因此教師在講解例題的過程中經(jīng)常要抓住這一環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生仔細(xì)觀察認(rèn)真閱讀理解問題，深刻挖掘隱含條件，這樣做不僅為找到合理簡單的解題思路找到突破口，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，提高綜合分析能力，增強思維的深刻性，嚴(yán)密性！

提高學(xué)生數(shù)學(xué)語言能力的復(fù)習(xí)對策：（1）規(guī)范教師的課堂語言：教師是主導(dǎo)，學(xué)生是主體，教師的數(shù)學(xué)語言表達能力的優(yōu)劣，不僅影響著學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的吸收、學(xué)習(xí)的積極性和教學(xué)效果，而且直接影響著學(xué)生對數(shù)學(xué)語言的理解能力和應(yīng)用能力；（2）加強學(xué)生閱讀理解能力的培養(yǎng)：抽象語言形象化，增強轉(zhuǎn)化能力； 隱晦語言通俗化，發(fā)展分析能力；（3）文字語言數(shù)學(xué)化，提高數(shù)學(xué)建模能力；（4）及時引進或設(shè)計一些新的符號，培養(yǎng)學(xué)生對新符號的接受和理解能力。

2.2 2.辯證的認(rèn)識問題與教學(xué)對策

辯證的認(rèn)識問題就是能從不同的角度去認(rèn)識同一個問題，也就是認(rèn)識問題要具有靈活性和合理性。辯證的認(rèn)識問題的過程是解題思維的核心，是探索解題方向和途徑的積極嘗試的發(fā)現(xiàn)過程，是思維策略的選擇和調(diào)整過程，也是進行正確等價轉(zhuǎn)換的過程。學(xué)生對問題的認(rèn)識往往缺乏靈活性，缺乏轉(zhuǎn)換的能力，不容易找到解題的突破口，解題思維易受阻。因此我在教學(xué)中特別重視培養(yǎng)學(xué)生對問題的辯證認(rèn)識的能力，加強學(xué)生發(fā)散性思維訓(xùn)練和想象能力的培養(yǎng)。

例如：當(dāng) 時，已知 分別是方程 和 的解，則

（A） （B） （C） （D）0

學(xué)生一看到此題一籌莫展，無法下手。我在講解時重視分析我對問題的認(rèn)識過程，幫助學(xué)生提高認(rèn)識問題的能力，從而找到解題的突破口。如對此問題我是這樣分步引導(dǎo)的：

第一步：問學(xué)生你能確定是什么問題——方程問題

第二步：解決此題關(guān)鍵涉及方程中的什么問題——方程的解

第三步：求方程的解一般用什么方法——代數(shù)方法和幾何方法

第四步：如何求此題中的 ——用幾何方法

這時學(xué)生就找到了解題的突破口： 就是 與 的交點， 就是 與 的交點。，然后讓學(xué)生畫出圖形（如圖），

而且直線 與直線 互相垂直，它們的交點即兩曲線與 交點的中點，使使問題得到順利解決！又如：

例如：是否存在這樣的等差數(shù)列 ：它的首項為8，僅有一項 ，滿足

我讓學(xué)生解這個問題，結(jié)果大部分學(xué)生寫出： 代入 中，得到一元二次方程： ，想利用 來判斷，結(jié)果解題受阻！這個問題，雖然相關(guān)的知識點非常明確，但就是無法達到目的。我是這樣引導(dǎo)學(xué)生的：

第一步：你能做什么——能夠?qū)懗龅炔顢?shù)列的通項： ；

第二步： 和 象什么？——象直線和圓的方程；

第三步：問題中僅有一項的含義是什么——直線和圓相切；

第四步：如何判斷直線和圓相切——圓心到直線距離等于半徑。

因此，學(xué)生在此啟發(fā)下，引導(dǎo)學(xué)生得出如下解法：

解：設(shè)等差數(shù)列 符合要求，則 必須滿足： 和 ，其中 為公差。

設(shè)直線 ，圓C： 。則點 必是直線 與圓C唯一公共點，所以一定有： 。整理得： 必有實數(shù)解，但 表明方程無實解，

矛盾。因此符合題設(shè)條件的等差數(shù)列不存在。

教學(xué)對策：針對學(xué)生的實際情況，為了提高學(xué)生對問題辯證認(rèn)識的能力，我在教學(xué)中幫助學(xué)生建立了如下的思考問題的思維模式（如下圖）：。

“是什么”：就是大部分?jǐn)?shù)學(xué)問題，能通過理解分析后非常明確地確定與什么知識有關(guān)，而且能利用相關(guān)知識把問題解決。

“象什么”：就是有些數(shù)學(xué)問題，雖然與明顯的數(shù)學(xué)知識相關(guān)，但直接利用相關(guān)知識去解決，非常麻煩或無法解決。解決這類問題就需要想象能力，進行類比其它相關(guān)知識或相關(guān)問題去解決。

在教學(xué)中我堅持圍繞這個模式和學(xué)生一起重視認(rèn)識問題的過程，學(xué)生有了正確有效的認(rèn)識問題的基本方法，不僅能夠提高理解與認(rèn)識問題的能力，而且也培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力。

2.3 3.解題方案的設(shè)計與教學(xué)對策

所謂解題方案的設(shè)計，就是在辯證認(rèn)識問題的基礎(chǔ)上對解題方法的選擇和解題過程的設(shè)計。有一個好的解法和一個合理的過程，是解題成功的關(guān)鍵。解題方法的選擇就是一個問題往往有幾種解法，就是要選擇一種我們最有把握和最簡便的方法去解答；解題過程的設(shè)計，就是要求能夠預(yù)見在解題過程中可能會遇到什么問題或困難，以及如何解決問題或困難。在這方面學(xué)生的現(xiàn)狀是比較欠缺的，對解決問題的方法選擇帶有盲目性。有些學(xué)生下筆前不認(rèn)真考慮，解了一半后發(fā)現(xiàn)遇到無法解決的問題或困難，部分學(xué)生又重頭開始，這樣既浪費時間又影響了整潔性，而部分學(xué)生喪失了解題的信心，陷入了一種緊張混亂的情緒中，嚴(yán)重影響了整個考試過程和得分。

教學(xué)對策：解題方案的設(shè)計實際上是人腦的一種理性的思維活動，在辯證的認(rèn)識問題的基礎(chǔ)上，首先認(rèn)真分析解決問題的各種方法，其次能預(yù)見所采用方法在解題過程中會遇到什么問題或困難，能否解決所遇到的問題或困難。然后選擇一種自己所熟悉的方法，且能較順利地解決其中所遇到的問題或困難！

在教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生在下筆前就進行理性思考，認(rèn)真進行解題方案的設(shè)計。為了提高學(xué)生解題方案設(shè)計能力，我?guī)椭鷮W(xué)生建立了如下思維模式：

三、數(shù)學(xué)表達能力的現(xiàn)狀與教學(xué)對策

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就要學(xué)會表達，表達是數(shù)學(xué)交流的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必備條件。表達能力強弱不僅表現(xiàn)一個學(xué)生數(shù)學(xué)語言能力的強弱，而且也表現(xiàn)出思維能力的強弱。因此數(shù)學(xué)表達能力的強弱在一定程度上反映出學(xué)生思維能力的高低和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的層次。對一些表達能力不強的學(xué)生，就會出現(xiàn)對一些問題知道解法，但不能用自己的思想和準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達出來，影響考試成績。

在平時練習(xí)和作業(yè)中，一些學(xué)生的表達能力相當(dāng)差，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

例如：已知函數(shù) ，（1）求 ；（2）判斷 在 處是否否連續(xù)？（3）求出 的連續(xù)區(qū)間。這是我們組織的一次月考中的一個題目，（3）一般學(xué)生都能正確寫出兩個連續(xù)區(qū)間，但卻表達成 ，因表達錯誤而沒有得分。這反映出學(xué)生對知識表達缺乏準(zhǔn)確性。

又例如：已知數(shù)列 滿足 ，若 。（1）求證： ， ；（2）求 的值。

這也是我校月考中的一個題目，是廣東卷第10題，原是一個選擇題改編的。大部分學(xué)生對（1）是采用數(shù)學(xué)歸納法證明的，主要錯誤是：①不能正確認(rèn)識已知中的n與求證中的n取值范圍不同，在證明時錯誤認(rèn)為 開始命題才成立；②在證明過程中：假設(shè) ， 命題成立，則 時， ；③一般的同學(xué)由于（1）不會證，（2）也自然地放棄。

學(xué)生體現(xiàn)主要錯誤原因是：缺乏邏輯嚴(yán)密性。

書面表達是數(shù)學(xué)表達能力的一種重要形式，因此在書寫表達上應(yīng)該做到：條理清晰，敘述簡潔；書寫整潔，格式規(guī)范”。有相當(dāng)部分學(xué)生在作業(yè)和考試中，經(jīng)常表現(xiàn)出“條理混亂，顛三倒四；書寫潦草，缺乏規(guī)范”。

提高學(xué)生數(shù)學(xué)表達能力復(fù)習(xí)對策：數(shù)學(xué)語言的書面表達能力對一個人來說不是一朝一夕能夠提高的，它是一個系統(tǒng)工程，因此在高三復(fù)習(xí)中要切實提高學(xué)生的表達能力應(yīng)從以下幾方面著手：首先規(guī)范教師自身的課堂教學(xué)，給學(xué)生以示范。教師在給學(xué)生講解例題時，解題證明都要一絲不茍，數(shù)學(xué)語言表達要準(zhǔn)確，運算或推理過程不僅要具嚴(yán)密的邏輯性而且格式要規(guī)范；其次在課堂上讓學(xué)生積極參與解題思路探索的同時，應(yīng)給學(xué)生多動手的機會，多讓學(xué)生到在黑板上板演，通過師生共同活動找出其表達方面所存在的問題。同時要對學(xué)生課后作業(yè)必須精批細(xì)改，幫助學(xué)生克服解題表達中存在的問題。