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        從帶色標(biāo)的存在圖看弗雷格難題的解題思路

        2018-05-14 15:06:31楊武金程橙

        楊武金 程橙

        摘要:弗雷格難題的解答方案基本上都遵循了這樣一條思路:或以某種方式,或引入某些術(shù)語(yǔ)來(lái)解釋A=A和A=B在認(rèn)知價(jià)值上的區(qū)別。從帶色標(biāo)的存在圖看弗雷格難題的解題思路,首先,要站在反涵義論的立場(chǎng)上將存在圖的同一線作為類(lèi)似于克里普克的專(zhuān)名,即同一線沒(méi)有涵義。其次,借用法恩在協(xié)同模式理論中引入的“出現(xiàn)”的概念,規(guī)定等號(hào)連接的是出現(xiàn),并且給每次出現(xiàn)命名。再次,引入色標(biāo)這一圖式裝置,將色標(biāo)作為模態(tài)算子。最后,將“晨星和暮星”問(wèn)題作為一個(gè)應(yīng)用案例,闡述帶色標(biāo)的存在圖是如何為弗雷格難題提供了一個(gè)新的解題視角。

        關(guān)鍵詞:弗雷格難題;存在圖邏輯;模態(tài)邏輯

        中圖分類(lèi)號(hào):B81文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):10056378(2018)06003307

        DOI:10.3969/j.issn.10056378.2018.06.005

        弗雷格難題是邏輯哲學(xué)界比較著名的、曾被多次討論的熱點(diǎn)問(wèn)題。它涉及了專(zhuān)名、名稱(chēng)的涵義和意謂、同一替換原則、語(yǔ)境、信念歸屬等問(wèn)題。存在圖邏輯(Existential Graphs Logic)是現(xiàn)代邏輯草創(chuàng)時(shí)期,美國(guó)邏輯學(xué)家皮爾士在其關(guān)系演算和謂詞邏輯的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的,用來(lái)處理推理問(wèn)題的二維圖形。研究存在圖邏輯的代表學(xué)者有澤曼(Zeman)、羅伯特(Roberts)、伯奇(Burch)、翰莫爾(Hammer)、巴維斯(Barwise)、申順珠(Shin)和皮爾塔瑞南(Pietarinen)。澤曼和羅伯特建立了存在圖邏輯的半形式化系統(tǒng)。申順珠、翰莫爾和巴維斯等人在澤曼和羅伯特的成果的基礎(chǔ)上,為存在圖添置了新的裝置,嘗試論證存在圖邏輯的α部分和β部分分別與命題邏輯和一階邏輯對(duì)應(yīng)。伯奇和皮爾塔瑞南給予了存在圖以博弈論語(yǔ)義。皮爾士本人已經(jīng)有了可能世界語(yǔ)義學(xué)思想的雛形,澤曼嘗試了對(duì)色標(biāo)進(jìn)行形式化的定義。

        一、弗雷格難題的界定

        在《函數(shù)和概念》中,弗雷格提出必須區(qū)別符號(hào)的涵義和意謂, 并且等號(hào)連接的是符號(hào)的意謂。例如,“2·23+2=18 這個(gè)算式表達(dá)出,位于右邊的符號(hào)組合與位于左邊的符號(hào)組合意謂相同”[1]57。也就是說(shuō),A=B是因?yàn)榉?hào)A和B的意謂相同。但是,“意謂的相同不導(dǎo)致思想的相同。如果我們說(shuō)‘暮星是一顆行星,其公轉(zhuǎn)周期小于地球的公轉(zhuǎn)周期,則我們表達(dá)了一個(gè)與‘晨星是一顆行星,其公轉(zhuǎn)周期小于地球的公轉(zhuǎn)周期這個(gè)句子表達(dá)的思想不同的思想”[1]65。將關(guān)于暮星的句子記作A,將關(guān)于晨星的句子記作B。雖然,不知道晨星是暮星的人會(huì)認(rèn)為兩個(gè)句子的意謂(真值)不同,即一個(gè)為真,一個(gè)為假。但事實(shí)上兩個(gè)句子都是真的,所以可以記作A=B。看上去弗雷格已經(jīng)很好地分析了A=A與A=B之間的區(qū)別,但是弗雷格難題仍然沒(méi)有得到全面解決,其留下的疑難可以大致地總結(jié)為三點(diǎn):

        一是,由學(xué)界主流建立起來(lái)的邏輯是外延邏輯,沒(méi)有用到內(nèi)涵理論,也不需要對(duì)內(nèi)涵對(duì)象進(jìn)行研究,所

        以外延邏輯對(duì)弗雷格難題毫無(wú)辦法。

        二是,在從句(間接語(yǔ)境)中同一替換原則失效。例如,“我知道A”和“A=B”,不能推出“我知道B”。

        三是,離開(kāi)語(yǔ)境進(jìn)入更廣闊的符號(hào)領(lǐng)域,例如認(rèn)知領(lǐng)域,弗雷格的意義理論的局限更加凸顯。例如,我們先通過(guò)正面角度看到一只粉紅色玩具小象,然后我們?cè)偻ㄟ^(guò)從下往上的角度看到這個(gè)玩具的底部。第二個(gè)角度已經(jīng)在很大程度上脫離了第一個(gè)角度所留下的印象,那么我們?nèi)绾螖喽▋蓚€(gè)印象指向同一個(gè)玩具?

        隨著對(duì)弗雷格難題的討論不斷深入,對(duì)它的定義也產(chǎn)生了一些分歧。下面對(duì)弗雷格難題進(jìn)行限定。弗雷格難題的基本內(nèi)容是:A=A和A=B,為什么前者是不足道的,而后者卻能增加我們的知識(shí)?弗雷格難題的衍生內(nèi)容是:在間接語(yǔ)境乃至認(rèn)知領(lǐng)域內(nèi),弗雷格難題涉及了語(yǔ)境、信念歸屬、意義理論、同一替換等問(wèn)題。例如,“我知道A”和“A=B”,不能推出“我知道B”。

        二、國(guó)內(nèi)外主要解題方案分析

        國(guó)內(nèi)外關(guān)于弗雷格難題的主要解題方案基本上可以分為兩種相互對(duì)立的立場(chǎng)。一種是以弗雷格、丘奇(Church)、達(dá)米特(Dummett)和貝勒(Bealer)為代表的涵義論立場(chǎng)。弗雷格認(rèn)為,等號(hào)傳達(dá)的不是對(duì)象之間的關(guān)系,而是符號(hào)之間的關(guān)系,正是等號(hào)兩邊的符號(hào)的涵義不同造就了認(rèn)知價(jià)值的不同[1]65。繼弗雷格之后,丘奇將弗雷格遇到的難題表述為:如果A=A是真的,怎會(huì)與A=B的意思不同。他還構(gòu)建了相應(yīng)的語(yǔ)義理論[2]。達(dá)米特在涵義論的基礎(chǔ)上強(qiáng)調(diào)了“實(shí)踐”的重要性,他認(rèn)為語(yǔ)言表達(dá)式的涵義可以通過(guò)說(shuō)話者的實(shí)踐加以識(shí)別。說(shuō)話者對(duì)于一個(gè)表達(dá)式的使用——交流雙方通過(guò)對(duì)方使用語(yǔ)言表達(dá)式的行為——能夠確定他把什么涵義附著于這個(gè)表達(dá)式上[3]。周北海以涵義、概念和內(nèi)涵等這些概念的形式刻畫(huà)為中心,建立了可以消解弗雷格謎題的形式語(yǔ)義學(xué)。他設(shè)定了一個(gè)語(yǔ)義值概念,通過(guò)A、B概念的不同來(lái)反映A=A和A=B的認(rèn)知價(jià)值不同[4]。

        反涵義論立場(chǎng)以克里普克和法恩(Fine)為代表??死锲湛酥鲝垖?zhuān)名沒(méi)有涵義,只有指稱(chēng)。既然取消了涵義,弗雷和達(dá)米特等人的解答方案就失效了。法恩通過(guò)協(xié)同模式(coordination scheme)來(lái)解釋同一陳述句的認(rèn)知價(jià)值,他使用協(xié)同模式這個(gè)術(shù)語(yǔ)來(lái)表示作用于“出現(xiàn)”上的相等關(guān)系。協(xié)同模式的關(guān)鍵在于區(qū)分了名字的出現(xiàn)。出現(xiàn),指的是名字在單個(gè)位置上的某一次使用,除非特定說(shuō)明,不同的出現(xiàn)(即使是同一個(gè)名字)都應(yīng)該被看作是不同的符號(hào)。如果兩次出現(xiàn)指向同一個(gè)體,那么這兩次出現(xiàn)具有協(xié)同模式這個(gè)關(guān)系,則稱(chēng)這兩次出現(xiàn)是 “正協(xié)同”的,反之為“負(fù)協(xié)同”的。例如,“湯姆”這個(gè)名字在某書(shū)的第一頁(yè)出現(xiàn)了一次,又在該書(shū)第二頁(yè)出現(xiàn)了一次,那么這兩次出現(xiàn)應(yīng)該被看作互不相同的符號(hào),分別記作A和B。不足道地,每一次出現(xiàn)都與它自身正協(xié)同,記作A=A。若A與B指向同一個(gè)個(gè)體,比如湯姆這個(gè)人,則A與B正協(xié)同,記作A=B[5]。盡管A=A與A=B的指稱(chēng)相同(即都為真語(yǔ)句),但兩個(gè)等式的認(rèn)知價(jià)值不同。

        綜上所述,弗雷格迷題有解就是說(shuō)存在理論能夠合理解釋A=A和A=B在認(rèn)知價(jià)值上的區(qū)別。

        三、EGα、EGδ和弗雷格難題

        存在圖邏輯分為EGα、EGβ和EGγ三個(gè)部分。有的學(xué)者認(rèn)為皮爾士還構(gòu)想了第四個(gè)部分EGδ。EGβ是在EGα基礎(chǔ)上建立的,EGγ是在EGβ基礎(chǔ)上建立的。EGα和EGβ分別與命題邏輯和一階謂詞邏輯對(duì)應(yīng),而未完成的EGγ與模態(tài)邏輯和高階邏輯相對(duì)應(yīng)。為清晰起見(jiàn),規(guī)定EGγ與命題模態(tài)邏輯對(duì)應(yīng),而EGδ與一階模態(tài)邏輯對(duì)應(yīng)。

        在存在圖邏輯中必須區(qū)分存在圖(graph)和預(yù)備圖(diagrams),而這一點(diǎn)在羅伯特、澤曼和申順珠等人的著作中沒(méi)有體現(xiàn)出來(lái)。如果不區(qū)分預(yù)備圖和存在圖,就會(huì)導(dǎo)致存在圖邏輯系統(tǒng)無(wú)法成為嚴(yán)格遞歸的系統(tǒng)。德奧(Dau)在其論文的前言中指出了羅伯特、澤曼和申順珠等人的工作存在的這一欠缺,并用一種過(guò)于繁瑣的方式下彌補(bǔ)了這個(gè)欠缺[6]。下面是區(qū)別于德奧的,另一種更為簡(jiǎn)潔的方案:區(qū)分預(yù)備圖和存在圖[ZW(]區(qū)分預(yù)備圖(diagram)和存在圖(graph)以構(gòu)建嚴(yán)格遞歸的存在圖邏輯系統(tǒng)的想法,源于筆者和巴西邏輯學(xué)者,來(lái)自芙洛米嫩塞大學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)系的喬治·派崔西·維納(Jorge Petrucio Viana)教授,于2018年4月在人民大學(xué)校園內(nèi)進(jìn)行的為期一周的討論。維納教授提供了思路,筆者完成了證明。[ZW)]。

        第(一)部分介紹了EGα,證明了EGα與命題邏輯等價(jià),目的在于以最簡(jiǎn)明的方式,快速展示一個(gè)嚴(yán)格遞歸的存在圖邏輯系統(tǒng)的整體面貌與研究方法。由于前人沒(méi)能建立一個(gè)嚴(yán)格遞歸的存在圖邏輯系統(tǒng),所以這部分內(nèi)容作為基礎(chǔ)工作而不可忽略,同時(shí)也體現(xiàn)了“區(qū)分預(yù)備圖和存在圖”這一思想的關(guān)鍵性。有第(一)部分做鋪墊,第(二)部分在定義了EGδ符號(hào)、符號(hào)組合方式、公理模式和變形規(guī)則之后,將跳過(guò)EGδ與量化擴(kuò)張之后的KD4[7]的比較,并且省略相應(yīng)的對(duì)同一性、存在等哲學(xué)話題的討論,直接進(jìn)入第(三)部分的應(yīng)用:弗雷格難題。

        命題1.1所有的預(yù)備圖都可以翻譯為公式。

        命題1.2所有的預(yù)備圖都與它所對(duì)應(yīng)的公式等價(jià)。

        命題1.3所有的存在圖都可以翻譯為公式。

        證明:通過(guò)定義1.3建立的存在圖與預(yù)備圖之間的關(guān)系,定義1.10建立的函數(shù)STG和函數(shù)STD之間的關(guān)系,以及上文證明的命題1.1,施歸納于[WTBX]G的結(jié)構(gòu)即可得證。

        命題1.4所有存在圖的真值與它對(duì)應(yīng)的公式的真值相同。

        證明:通過(guò)定義1.4、定義1.5、定義1.9和命題1.2,施歸納于[WTBX]G的結(jié)構(gòu)即可得證。

        定義1.11把公式翻譯成預(yù)備圖的映射BTD

        通過(guò)施歸納于命題α的結(jié)構(gòu),可以證明命題1.5所有的公式都可以翻譯為預(yù)備圖。

        以及命題1.6所有的公式的真值與它所對(duì)應(yīng)的預(yù)備圖的真值相同。

        定義1.12把公式翻譯成存在圖的映射BTG

        BTG∶FG,BTG(α)=BT[XCZT10-1.TIF](α)

        命題1.7所有的公式都可以翻譯為存在圖。

        證明:施歸納于命題α的結(jié)構(gòu)。

        命題1.8所有的公式的真值都和它對(duì)應(yīng)的存在圖的真值相同。

        證明:施歸納于命題α的結(jié)構(gòu)。

        命題1.9 EGα和命題邏輯系統(tǒng)等價(jià)。

        證明:EGα的公理和5條變形規(guī)則(推理規(guī)則)的保真性羅伯特已經(jīng)給出。然后用命題1.4和命題1.8證明。

        (二)EGδ

        EGγ是在EGα的基礎(chǔ)上引入色標(biāo)。EGδ是在EGγ的基礎(chǔ)上引入同一線。

        色標(biāo)(tincture)是皮爾士在研究存在圖的過(guò)程中對(duì)模態(tài)做出的改進(jìn)。通過(guò)色標(biāo),存在圖的研究范圍已經(jīng)延伸到了命題模態(tài)邏輯和一階模態(tài)邏輯的范疇,分別與EGγ和EGδ對(duì)應(yīng)。他用十三種色標(biāo)體現(xiàn)了對(duì)不同的可能世界的考慮。色標(biāo)有三個(gè)類(lèi),它們分別是金屬、彩色和毛皮。三類(lèi)色標(biāo)又分成十三種色標(biāo),它們分別是白色、深藍(lán)色、淺藍(lán)色、紅色和綠色等等,其中金屬類(lèi)色標(biāo)表示各種必然性的情況,彩色類(lèi)色標(biāo)表示各種可能性的情況;毛皮類(lèi)色標(biāo)則是皮爾士獨(dú)創(chuàng)的“不得不”的情況[8]。皮爾士的原著晦澀是學(xué)界共識(shí),但這并不能湮滅他的一些富有遠(yuǎn)見(jiàn)的設(shè)想。

        通過(guò)帶色標(biāo)存在圖來(lái)分析弗雷格難題,一是因?yàn)榇嬖趫D具有直觀性,有利于直觀地展示弗雷格難題的所難之處。二是因?yàn)榻陙?lái)存在圖被應(yīng)用到非經(jīng)典邏輯乃至認(rèn)知科學(xué)的領(lǐng)域內(nèi),作為工具,存在圖能夠用來(lái)分析具有認(rèn)知意味的衍生難題。下文中用[XCY1.TIF]來(lái)表示色標(biāo)。

        同一線是一條實(shí)線曲線,表示存在某些個(gè)體(事件)且它們彼此同一,也就相當(dāng)于存在某個(gè)體(事件)。同一線相當(dāng)于克里普克的專(zhuān)名,它的一個(gè)重要特點(diǎn)就是沒(méi)有涵義。此外,它還有一個(gè)新功能:當(dāng)它穿過(guò)色標(biāo),它將不同的語(yǔ)境連接了起來(lái)。下文中用[XCZT16.TIF]表示同一線。

        EGδ的變形規(guī)則:

        規(guī)則1插入規(guī)則:奇數(shù)個(gè)切內(nèi)可以插入任意預(yù)備圖。

        規(guī)則2刪除規(guī)則:偶數(shù)個(gè)切內(nèi)可以刪除任意預(yù)備圖。包括部分同一線。注意,同一線和切相交的部分在切外。

        規(guī)則3復(fù)制規(guī)則:①如果預(yù)備圖在斷言頁(yè)上,那么該預(yù)備圖可以復(fù)制于斷言頁(yè)上的除了該預(yù)備圖自身以外的任何位置。②如果預(yù)備圖在卷上[ZW(]卷(scroll): 假設(shè)cn-1,cn,cn+1是三個(gè)切,如果cn+1在cn的區(qū)域內(nèi),并且若cn不在cn-1的區(qū)域內(nèi)則cn+1也不在cn-1的區(qū)域內(nèi),那么后兩個(gè)切構(gòu)成一個(gè)卷。n=2,3,…。[ZW)],那么該預(yù)備圖可以復(fù)制于卷上除了該預(yù)備圖自身以外的任何位置。③如果預(yù)備圖在色標(biāo)上,那么該預(yù)備圖可以復(fù)制于該色標(biāo)上的除了該預(yù)備圖自身以外的任何位置;如果某預(yù)備圖在色標(biāo)和卷的相交區(qū)域上,則該預(yù)備圖只能復(fù)制于該色標(biāo)和該卷的相交區(qū)域。④一線向內(nèi)延伸,可以與切和色標(biāo)相交。⑤若預(yù)備圖經(jīng)過(guò)復(fù)制規(guī)則在斷言頁(yè),卷上或色標(biāo)上復(fù)制了自己,那么原同一線可以向內(nèi)延伸并且和自己的復(fù)制預(yù)備圖連接。

        規(guī)則4復(fù)制規(guī)則的逆規(guī)則:通過(guò)復(fù)制規(guī)則得到的可以刪除。

        規(guī)則5雙切規(guī)則:等同于雙重否定規(guī)則。

        規(guī)則6色標(biāo)的引入規(guī)則:①色標(biāo)可以按需置于預(yù)備圖之下。②

        若在知道語(yǔ)境內(nèi)正協(xié)同 ,那么同一個(gè)切的區(qū)域內(nèi)的兩個(gè)色標(biāo)可以合二為一,一個(gè)色標(biāo)可以一分為二。若在知道語(yǔ)境內(nèi)并非正協(xié)同,則不可以使用此規(guī)則。③在偶數(shù)切的區(qū)域內(nèi),雙切的兩個(gè)切可以分別在不同的色標(biāo)上,或一個(gè)在色標(biāo)上,另一個(gè)在斷言頁(yè)上。④奇數(shù)切的區(qū)域內(nèi),任意疊加在已有色標(biāo)t上的色標(biāo)t1可以被刪除。

        命題2.1規(guī)則1-規(guī)則6保真。

        與羅伯特給出的證明相似[9]143,但規(guī)則3的證明需要借助巴肯公理進(jìn)行限制。

        可以發(fā)現(xiàn),偽存在圖[XCZT28.TIF]是無(wú)法通過(guò)公理和變形規(guī)則得到的;系統(tǒng)內(nèi)每一個(gè)存在圖都可以翻譯為一個(gè)真值為真的閉合公式。若規(guī)則6

        ②沒(méi)有知道語(yǔ)境下正協(xié)調(diào)的限制,則EGδ與量化擴(kuò)展之后的KD4相對(duì)應(yīng)。

        1.引入一個(gè)斷言頁(yè)T。

        2.引入已知條件“我知道晨星”的預(yù)備圖[XCZT44.TIF]。這是這顆星體的第一次出現(xiàn),它被命名為“晨星”,謂詞符號(hào)P表示“是晨星”。將該存在圖的預(yù)備圖放置在斷言頁(yè)上。

        3.引入已知條件“我知道暮星”的預(yù)備圖[XCZT45.TIF]。這是這顆星體的第二次出現(xiàn),它被命名為“暮星”,謂詞符號(hào)[WTBX]Q表示“是暮星”。將該存在圖的預(yù)備圖放置在斷言頁(yè)上。

        4.引入已知條件“金星是晨星”和“金星是暮星”的預(yù)備圖[WTBX]Q——R和P——R。這顆星體的第三次出現(xiàn)被命名為“金星”,謂詞符號(hào)R表示“是金星”。將該存在圖的預(yù)備圖放置在斷言頁(yè)上。

        5.先利用規(guī)則3⑤同一線連接兩個(gè)[WTBX]-R,再用規(guī)則4消除一個(gè)-R。

        6.根據(jù)規(guī)則6①、6②和規(guī)則4,晨星=金星,金星=暮星,乃至晨星=暮星,都是為真的同一陳述,但是由于色標(biāo)“我知道”的介入造成了認(rèn)知上的差異,

        即,在沒(méi)有“知道語(yǔ)境下P-,Q-,R-正協(xié)同”作為已知條件下,無(wú)法推出“知道金星是晨星”等命題。

        否則就違反了變形規(guī)則6②。

        區(qū)別預(yù)備圖和存在圖,是建立嚴(yán)格遞歸的存在圖邏輯系統(tǒng)的關(guān)鍵。從帶色標(biāo)的存在圖看弗雷格難題,就是用EGδ將弗雷格難題形式化。一個(gè)似乎合理的解題方案是跳出弗雷格涵義論的窠臼,用其它層次的差異來(lái)解釋意義上的差異。在借助法恩的協(xié)同模式理論的過(guò)程中,EGδ強(qiáng)調(diào)了視覺(jué)上的直觀展現(xiàn)。以“晨星和暮星”為例,EGδ的建立是存在圖邏輯在非經(jīng)典邏輯領(lǐng)域內(nèi)的一次創(chuàng)新。

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        【責(zé)任編輯吳姣】

        Abstract: The solutions to Freges puzzle basically follow a line of thought: either in some way or by introducing certain terms to explain the difference between A=A and A=B in cognitive value. From the existential graphs with tinctures to see Freges problem solving ideas, first of all, we should stand in the position of antisemantics and regard lines of identity of existential graphs as proper names similar to Kripkes, that is, lines of identity have no meaning. Secondly, by borrowing the concept of “appearing” introduced by Fines theory, it is stipulated that the symbolic connection is appearing and each appearing is named. Thirdly, tinctures are used as the modal operators. Finally, “the Morning Star and Evening Star problem” is taken as an application case to illustrate how the existential graphs with tinctures provide a new perspective for solving Freges puzzles.

        Key words: Freges puzzles; existential graph; modal logic

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