李一帆

導數(shù)是高等數(shù)學中的重要內容之一，它在自然科學、工程技術等方面都有廣泛應用。本文將介紹如何將生活中的有關數(shù)學問題轉化為相關的導數(shù)問題來求解，以此說明導數(shù)對實際生活生產(chǎn)的重要性。

1 導數(shù)有關的基本內容

1.1導數(shù)的定義

設函數(shù) 在點 的某鄰域內有定義，當自變量 在 處取得增量 時，相應的 取得增量 ；當 時，極限 存在，則稱 在點 處可導，并稱此極限值為 在點 處的導數(shù)，記為 ， ， 。

1.2 常見的導數(shù)的定義形式

1.3導函數(shù)的定義

如果函數(shù) 在開區(qū)間 內的每點處都可導，就稱 在開區(qū)間 內可導。對任意 都對應著 的一個確定的導數(shù)值，這樣就構成了一個新的函數(shù)，這個函數(shù)叫做 的導函數(shù)，記作： ， ， 或 ，導函數(shù)簡稱導數(shù)。

即

2 導數(shù)在實際生活生產(chǎn)中的重要應用

在日常生活、生產(chǎn)中，常常會遇到這樣的問題，即求在什么條件下，可以使材料最省、時間最少、效率最高、利潤最大等，這些問題通常稱為優(yōu)化問題。通過在謝的情況下，導數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ摺?/p>

2.1導數(shù)在物理學領域的重要應用

例1 在圖1所示的電路中，已知電源的內阻為 ，電動勢為 ，外電阻 為多大時，才能使電功率最大？最大電功率是多少？

解 電功率 ，其中 為電流強度，則

由 ，解得： 。

分析得，當 時， 取得極大值，且是最大值.最大值為

即：當電阻R等于內電阻 時，電功率最大，最大電功率是 。

2.2導數(shù)在幾何領域的重要應用

例2 在邊長為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起（如圖2），做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？

解 法一：設箱底邊長為 cm，則箱高 cm，可得箱子容積為

令 ，解得 （舍去）， 。

將 代入 得 得箱子的容積為16000cm3。

由題意可知，當 過?。ń咏?）或過大（接近60）時，箱子容積很小，因此，16000是最大值.。

即當 cm時，箱子容積最大，最大容積是16000 cm3。

法二：此題也可設箱高為 cm，則箱底長為 cm，如圖3，

則可得箱子容積為

令 ，解得 （舍去）， 。

將 代入 得 得箱子的容積為16000 cm3。

由題目的兩種方法看出，箱子的容積的最大值出現(xiàn)在函數(shù)的極值點處。事實上，可導函數(shù) ， 在各自的定義域中都只有一個極值點，如果畫出函數(shù)圖象，即圖像只有一個波峰，這個極值點就是最值點，此時不需要考慮端點的函數(shù)值。

2.3 導數(shù)在經(jīng)濟學領域的重要應用

在實際生產(chǎn)中，如何擴大經(jīng)濟效益，提高生產(chǎn)利潤是生產(chǎn)者思考的問題。在經(jīng)濟學中，總利潤是指銷售 個單位的產(chǎn)品所獲得的凈收入，即總收益與總成本之差，記 為總利潤，則：

（其中 表示銷售量）

將 稱為平均利潤函數(shù)。

例3 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為2000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元。已知總收益 為年產(chǎn)量 的函數(shù)，且

問每年生產(chǎn)多少產(chǎn)品時，總利潤最大？此時總利潤是多少？

解 由題意總成本函數(shù)為：

從而可得利潤函數(shù)為：

令

所以 時總利潤最大，此時 ，即當年產(chǎn)量為300個單位時，總利潤最大，此時總利潤為25000元。

3 結語

在本文中，介紹了與導數(shù)有關的基本內容，并將實際生活生產(chǎn)中的物理問題、幾何問題、經(jīng)濟問題以及建筑問題等有關數(shù)學問題轉化為相關的導數(shù)問題來進行求解，以此說明了導數(shù)對實際生活生產(chǎn)的重要性。

（作者單位：河南工業(yè)和信息化職業(yè)學院）