徐家杰 李春 任杰 季云峰 施之皓

摘 要： 考慮乒乓球飛行軌跡受溫度影響，在飛行中受到重力、阻力及Magnus力的共同作用，根據(jù)空氣動力學(xué)原理，通過Java虛擬機仿真模擬建立乒乓球右上旋飛行的動力學(xué)方程，仿真得到乒乓球三維空間右上旋飛行軌跡，對比分析乒乓球在不同環(huán)境溫度時的右上旋飛行軌跡。仿真結(jié)果表明：環(huán)境溫度對乒乓球的運動軌跡影響較大，溫度越高，乒乓球軌跡越長，高度越高。

關(guān)鍵詞： 乒乓球；溫度；Magnus力；空氣動力學(xué)；Java虛擬機

中圖分類號：G846 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-9840（2018）02-0074-03

在各種球類運動里，乒乓球是最富有觀賞性和競技性的高難度運動[1]。乒乓球之所以被稱之為高難度運動主要原因有：首先是乒乓球在飛行過程中飛行時間極短（大約0.55 s），飛行距離也很短（最大2.74 m），因此乒乓球飛行球速很快（通常速度為5 m/s）；其次是乒乓球飛行過程中帶有旋轉(zhuǎn)速度，且旋轉(zhuǎn)速度很高（通常3 000 rpm）；最后是乒乓球比賽中復(fù)雜多變的技戰(zhàn)術(shù) [2]。

在乒乓球比賽中，主要有以下六大旋轉(zhuǎn)球：上旋、下旋、左側(cè)旋、右側(cè)旋、順旋以及逆旋。球的旋轉(zhuǎn)對乒乓球運動員存在極大的威脅，其中隱含的威脅不僅是乒乓球戰(zhàn)術(shù)上的變換，而且還有共同特點也就是旋轉(zhuǎn)。本文主要對右上旋乒乓球展開討論。在各種球類運動中，乒乓球的旋轉(zhuǎn)球、排球的側(cè)旋球以及足球的“弧線球”都有著相同的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，這就是空氣動力學(xué)中的Magnus效應(yīng)[1]。其外在表現(xiàn)為旋轉(zhuǎn)球在飛行過程中飛行軌跡發(fā)生彎曲；使軌跡產(chǎn)生彎曲的力稱為Magnus力，Magnus力大小由旋轉(zhuǎn)速度、飛行速度以及密度決定[3-4]。文獻[3]將乒乓球弧圈球的運動方程建立在二維平面中，并對其空氣動力原理以及飛行軌跡進行了仿真分析，發(fā)現(xiàn)乒乓球的轉(zhuǎn)速顯著地影響著乒乓球的飛行軌跡，轉(zhuǎn)速不同的弧圈球有著明顯不同的飛行軌跡；深入研究表明，導(dǎo)致乒乓球速度及轉(zhuǎn)速變化的直接原因是Magnus力（包括其大小和方向）；同時文獻[4]也對于旋轉(zhuǎn)球做出研究，并得到Magnus力的方向會影響乒乓球飛行軌跡以及落點的結(jié)論。

乒乓球在比賽中的間歇式運動，不僅要考慮旋轉(zhuǎn)速度對乒乓球影響，同時還要考慮不同環(huán)境/比賽條件對乒乓球是否會產(chǎn)生影響以及究竟會產(chǎn)生多大影響，文獻[5]雖提到不同環(huán)境條件下對于棒球、高爾夫以及網(wǎng)球產(chǎn)生的影響具有爭議性，但仍然認(rèn)同環(huán)境影響的客觀存在。本文基于以上考慮，通過Java虛擬機仿真，從理論上探討不同溫度條件對乒乓球右上旋飛行軌跡以及落點的影響。

1 建立坐標(biāo)系及計算載荷

1.1 建立坐標(biāo)系

將乒乓球球桌的一角建立為絕對坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點，X軸方向為與球桌長邊平行朝向球網(wǎng)的方向，Y軸方向為與球桌寬邊平行的方向，Z軸方向為垂直于球桌豎直向上；顯然，這個建立在球桌一角的坐標(biāo)系是右手坐標(biāo)系；描述乒乓球飛行軌跡所選的參考系為這個建立在球桌一角的絕對坐標(biāo)系，利用乒乓球的位置參數(shù)表現(xiàn)乒乓球的飛行軌跡。相對坐標(biāo)系的XYZ軸方向分別平行于絕對坐標(biāo)系的XYZ軸方向，相對坐標(biāo)系固連于乒乓球并沿乒乓球的飛行軌跡而運動；乒乓球在空中飛行時，其速度方向和受力方向可在相對坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方向上分解，得到相對坐標(biāo)系下的速度方向參量，從而得到的位置參量可用于描述乒乓球的飛行軌跡。

1.2 計算載荷

[JP2]當(dāng)乒乓球的飛行速度方向與旋轉(zhuǎn)軸的方向垂直時，旋轉(zhuǎn)的乒乓球在飛行過程中除了受到的重力作用外還受到其他力的作用，包括空氣阻力以及Magnus力[6]。[JP]

對于乒乓球比賽中所使用的乒乓球及乒乓球桌，國際乒聯(lián)都做出了詳細(xì)的規(guī)定：比賽用球為半徑2 cm質(zhì)量2.7 g的乒乓球，比賽球桌尺寸為274×152.5×76 cm、球桌網(wǎng)高15.25 cm。

1.2.1 空氣阻力

乒乓球在飛行過程中受到與其速度方向相反的空氣阻力，且速度越大空氣阻力越大，空氣阻力的計算表達式為：

1.2.2 Magnus力

旋轉(zhuǎn)的乒乓球在飛行過程中，由于Magnus效應(yīng)的作用使其實際飛行軌跡偏離原有飛行軌跡，這個由于乒乓球的旋轉(zhuǎn)受到的作用力被稱作為Magnus力。Magnus（Heinrich Gustav Magnus）在1852年通過實驗研究了旋轉(zhuǎn)圓柱體的Magnus效應(yīng)[7]。以做上旋的乒乓球為例，乒乓球下方的旋轉(zhuǎn)方向與流體速度方向相反，流體速度因乒乓球表面的粘性作用而減??；乒乓球上方的旋轉(zhuǎn)方向與流體速度方向相同，表面的粘性作用與下方相比較小，使得流體速度大于乒乓球下方流體的速度。據(jù)伯努利方程可知：流速大的地方壓力小，流速小的地方壓力大。因此乒乓球上方的壓力小于下方的壓力，產(chǎn)生一個綜合向上的力作用于乒乓球，這個綜合的作用力也就是Magnus力 [8]：

2.1 動力學(xué)方程

根據(jù)牛頓第二定律將作用力及加速度向各方向分解，構(gòu)建三維力學(xué)方程：

2.2 初始溫度條件

2.3 JAVA虛擬機實現(xiàn)流程

乒乓球的初始溫度參數(shù)作為輸入條件，乒乓球飛行軌跡的運動方程采用如圖1所示的程序算法流程進行求解。程序計算中輸出的軌跡包括無效球（乒乓球未過網(wǎng)超界、碰網(wǎng)或過網(wǎng)超界）軌跡和有效球（乒乓球過網(wǎng)未超界且落回桌面）軌跡；因為無效球飛行軌跡和飛行時間都較短，故僅將有效球軌跡作為結(jié)果分析對象以減小誤差。

3 結(jié)果與分析

如圖2所示，給出五種不同初始溫度條件下兩個方向上的二維圖：圖2（a）為乒乓球X軸方向與Z軸方向位移的平面圖，圖2（b）為乒乓球X軸方向與Y軸方向位移平面圖。

4 結(jié)論

通過求解不同的初始溫度條件下乒乓球的運動方程，得到不同初始溫度條件下乒乓球的飛行軌跡，分析所得結(jié)果，得出以下結(jié)論：環(huán)境溫度的改變，會使乒乓球飛行軌跡發(fā)生變化；如乒乓球做右上旋旋轉(zhuǎn)時，在X軸方向和Z軸方向的飛行軌跡隨溫度的上升而增長，在Y軸方向變化不明顯。

參考文獻：

[1]劉北湘.運動生物力學(xué)運動技術(shù)分析與評價[M]. 成都：四川科學(xué)技術(shù)出版社，2008.

[2]Tamaki T， Sugino T， Yamamoto M. Measuring Ball Spin by Image Registration[C].Proc. of FCV2004，the 10th Korea-Japan Joint Workshop on Frontiers of Computer Vision，2004.

[3]孫在， 余廣鑫， 郭美，等. 乒乓球弧圈球的空氣動力學(xué)原理及其飛行軌跡的仿真分析[J]. 體育科學(xué)， 2008， 28（4）：69-71.

[4]楊華， 關(guān)志明. 基于ODE的乒乓球運動軌跡仿真研究[J]. 計算機仿真， 2011（9）：230-233.

[5]Mehta R D. Aerodynamics of sports balls[J]. Annual Review of Fluid Mechanics， 1985， 17（1）：151-189.

[6]李宏德. 乒乓球右側(cè)上旋球的運動力學(xué)[J]. 河南機電高等?？茖W(xué)校學(xué)報， 2010（6）：40-41.

[7]Glenn Research Center. Ideal lift of a spinning Ball[EB/OL]. [2008-08].http：//www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/beach.html.

[8]潘慧炬.馬格努斯效應(yīng)的力學(xué)模型[J]. 浙江體育科學(xué)，1995（3）：16-19.