陶蕊
[摘 要] 數學核心素養(yǎng)是數學課程目標的集中體現(xiàn),是具有數學基本特征、適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關鍵能力. 數學核心素養(yǎng)不是與生俱來的,而是在數學學習過程中逐步形成的,是可以通過數學學習、反思、積累、應用的過程逐漸養(yǎng)成的. 課堂是教學的主戰(zhàn)場,那么如何進行有效的教學設計,在課堂教學中落實、內化數學核心素養(yǎng)?在教學過程中,如何尋找發(fā)展學生數學核心素養(yǎng)的有效途徑?針對這些問題,本文結合筆者的教學實際,以一題為例,談解題教學中強化核心概念、發(fā)展核心素養(yǎng)的實踐與探索.
[關鍵詞] 核心概念;內化;核心素養(yǎng)
“數學根本上是玩概念的,不是玩技巧,技巧不足道也!”掌握數學概念是學習數學的基本要求,它是學生進一步學習數學知識的基礎. 數學核心概念是一個擁有“核”的“概念群”,是由核心概念及其生長出的子概念組成的知識體系. 解題教學中利用核心概念將數學知識有效地整合,構建知識網絡,有利于學生發(fā)展思維能力,內化核心素養(yǎng).
例題?搖 (2004年浙江高考)已知平面上的三點A,B,C滿足■=3,■=4,■=5,求■·■+■·■+■·■的值.
■構建概念思維導圖,使知識網絡化,發(fā)散思維,內化素養(yǎng)
數量積是高考考查的熱點,以基礎題和中檔題為主. 平面向量數量積包含夾角和模兩大幾何核心概念,概念是計算數量積有關問題的源與流. 概念思維導圖有利于整合新舊知識,構建知識網絡,能幫助學生從整體上把握知識,提升學生的自學能力,促進思維發(fā)展,內化核心素養(yǎng). 數量積的思維導圖如圖1.
■一題多解,揭示概念本質,提升技能,內化素養(yǎng)
我們應挖掘概念思維導圖的教學價值,揭示概念的本質,明確概念的內涵與外延. 一題多解、全方位多角度地突破概念生成、分析、組織中的障礙,能使學生更好地形成與獲得概念,提升解題技能,內化核心素養(yǎng).
探究視角1:定義法
平面向量數量積的定義為a·b=a·bcosθ,所以■·■+■·■+■·■=0+4×5×-■+3×5×-■=0-16-9= -25.
探究視角2:投影法
平面向量數量積的幾何意義如下:
a·b=abcosθ=a×(b在a方向上的投影)=b×(a在b方向上的投影),所以■·■+■·■+■·■=0+4×(-4)+3×(-3)=-16-9=-25.
探究視角3:轉化法,化未知為已知
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探究視角4:坐標法
注意到平面向量數量積的坐標表示為a·b=x1x2+y1y2,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).
由已知可得AB⊥BC,建立如圖2所示的坐標系,則B(0,0),C(4,0),A(0,3),■=(0,-3),■=(4,0),■=(-4,3). 所以■·■+■·■+■·■=0+(4,0)·(-4,3)+(-4,3)·(0,-3)=0-16-9=-25.
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圖2
■評價與反思,形成技能,內化核心素養(yǎng)
現(xiàn)代教學論認為:學生在課堂中不僅要主動參與學習活動,還應參與對學習成果的評價. 如果缺少評價,就是不完整的學習. 對解題進行多元評價,有利于教師、學生不斷地對自己的教育活動和學習活動進行反思,對自己的活動進行自我調控、自我完善、自我修正,能讓學生在思索、感悟、內化的過程中提高思維能力,內化核心素養(yǎng). 評價方式以及流程如圖3,反思方法如表1.
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圖3
表1 反思提升:數量積計算方法小結
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■變式拓展,鞏固概念,內化素養(yǎng)
在解題教學中能適時適當地進行變式訓練,通過一道數學題,引導學生從不同方向、不同角度進行思考,這樣不僅能對概念進行辨析和變式訓練,達到對概念的準確運用,還能激活學生的思維,幫助學生訓練基本技能、基本方法,更重要的是,可以開闊學生的視野,培養(yǎng)學生思維的靈活性、發(fā)散性、廣闊性和深刻性,可使學生觸類旁通,能鍛煉學生分析問題、歸納問題和解決問題的能力,進而有效地減輕學生的學業(yè)負擔,提升素養(yǎng).
變式1:如圖4,在矩形ABCD中,AB=■,BC=2,點E為BC的中點,點F在邊CD上,若■·■=■,則■·■的值是__________.
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圖4
變式2:如圖5,已知△ABC的外接圓圓心為O,AB=2,AC=3,BC=■,求■·■.
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圖5
■改編試題,提升能力,發(fā)展核心素養(yǎng)
數學家波利亞指出:“好問題同某種蘑菇有些相像,它們成堆地生長,找到一個以后,你就應當在周圍找一找,很可能附近就有好幾個.” 問題解決后,應當讓學生從問題出發(fā),運用類比、聯(lián)想、特殊化和一般化的思維方法,派生出一些常規(guī)問題和開放性問題,使得問題“成片開發(fā)”.
例題 (2004年浙江高考)已知平面上的三點A,B,C滿足■=3,■=4,■=5,求■·■+■·■+■·■的值.
1. 由特殊到一般,化直角三角形為普通三角形
改編1:已知平面上的三點A,B,C滿足■=3,■=4,■=6,求■·■+■·■+■·■的值.
2. 由靜到動,動靜皆宜,化求值為求范圍
改編2:已知平面上的三點A,B,C滿足■=3,■=4,■=5,P為邊AC上一動點,求■·■的取值范圍.
■配套作業(yè)強化,鞏固概念,內化素養(yǎng),提升能力
作業(yè)是課堂教學的延續(xù),是開拓學生思維、培養(yǎng)和訓練學生各方面能力的主戰(zhàn)場,及時有效的課后作業(yè)能及時補救學生在學習過程中存在的問題,能有效地發(fā)揮評價與檢測的目的,能促進思維的發(fā)展,能提升核心素養(yǎng).
課后作業(yè)(選擇合適的解法,并嘗試用多種解法處理問題):
1. 在菱形ABCD中,AC=5,BD=4,求(■+■)·(■+■)的值.
2. 已知△ABC外接圓的半徑為1,圓心為O,且■+■=2■,■=■·■,求■·■的值.
3. 在邊長為1的菱形ABCD中,∠DAB=60°,■=■,■=2■,求■·■的值.
4. 在長方形ABCD中,AB=2,AD=1,點M,N分別是BC,CD邊上的動點,且■=■,求■·■的取值范圍.
5. 在△ABC中,O為中線AM上一動點,若AM=2,求■·(■+■)的最小值.
“一個人,如果他不是以數學為終身職業(yè),那么他的數學素養(yǎng)并不只表現(xiàn)在他能解多難的題、解題有多快、數學能考多少分,關鍵在于他能否真正領會數學的思想、數學的精神. ” 可見,核心素養(yǎng)是最關鍵、最重要、不可缺的素養(yǎng),任何一門學科的目標定位和教學活動都要從素養(yǎng)的高度來進行. 核心概念是內化核心素養(yǎng)的有效載體,如何創(chuàng)建高效的核心概念應用解題教學,實現(xiàn)價值引領、思維啟迪、品格塑造是新高考背景下一個值得數學教師深入研究的問題!