(國(guó)網(wǎng)重慶市電力公司，重慶 400015)

電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性是指在給定的初始運(yùn)行條件下，遭受擾動(dòng)后的電力系統(tǒng)在所有母線上保持穩(wěn)定電壓的能力[1]。它依賴(lài)于電力系統(tǒng)中保持或恢復(fù)負(fù)荷需求和負(fù)荷供給平衡的能力。電力系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性問(wèn)題最早于20世紀(jì)40年代由馬爾柯維奇提出[2]，且隨著電網(wǎng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大而日趨嚴(yán)重。在現(xiàn)代電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性分析中，人們提出了多種基于連續(xù)算法的方法來(lái)研究電壓穩(wěn)定性的問(wèn)題。然而，仍然需要通過(guò)時(shí)域仿真來(lái)捕捉系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)并把握控制系統(tǒng)操作的時(shí)機(jī)。時(shí)域響應(yīng)可以捕捉系統(tǒng)不穩(wěn)定過(guò)程中的變化，從而提出控制的時(shí)序問(wèn)題；而為了捕捉到系統(tǒng)的瞬時(shí)響應(yīng)，則需要對(duì)一組微分代數(shù)方程(DAE)進(jìn)行求解[3-4]。電力系統(tǒng)典型網(wǎng)絡(luò)中包含大量的動(dòng)態(tài)組件和靜態(tài)組件，而其中每個(gè)單獨(dú)的組件都可能需要由數(shù)個(gè)微分代數(shù)方程組來(lái)表示。因此，一個(gè)真正的電力系統(tǒng)，需要很多個(gè)微分代數(shù)方程組。

對(duì)于復(fù)雜電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)組件和靜態(tài)組件，其時(shí)間常數(shù)在一個(gè)較大的范圍內(nèi)變化時(shí)，會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)剛度問(wèn)題的產(chǎn)生[5]。目前，時(shí)域模擬仿真中通常采用的數(shù)值方法會(huì)對(duì)剛性系統(tǒng)產(chǎn)生錯(cuò)誤結(jié)果，這主要是由步進(jìn)式的數(shù)值積分過(guò)程中誤差的累積所導(dǎo)致的[6]。時(shí)域仿真分析中通常需要利用到數(shù)值積分法，這些積分方法主要可以分成兩類(lèi)，即顯性算法和隱性算法。其中，顯性算法涉及固定點(diǎn)迭代，運(yùn)算速度較快，但在處理剛性問(wèn)題時(shí)會(huì)存在數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題；而隱性算法更具穩(wěn)定性，但運(yùn)算速度較慢。文獻(xiàn)[7]指出，在采用顯性算法的情況下需要通過(guò)顯著地減小控制步長(zhǎng)來(lái)保持?jǐn)?shù)值穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[8]則通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的兩變量例子來(lái)說(shuō)明顯性算法與隱性算法對(duì)剛性系統(tǒng)的區(qū)別。本文在當(dāng)前時(shí)域仿真分析所采用的數(shù)值積分法基礎(chǔ)上，提出一種新的解耦仿真分析方法。此方法可用來(lái)解決電力系統(tǒng)中出現(xiàn)的剛度問(wèn)題。然后，利用此解耦的時(shí)域仿真方法，討論了準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)(quasi-steady-state，QSS)仿真在考慮負(fù)載隨時(shí)間變化的條件下的實(shí)現(xiàn)。最后，利用新英格蘭39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)驗(yàn)證了此仿真方法的有效性。

1 解耦的時(shí)域仿真算法

對(duì)于電力系統(tǒng)，可以通過(guò)隱性算法來(lái)實(shí)現(xiàn)保持?jǐn)?shù)值穩(wěn)定性的步長(zhǎng)控制。但由于隱性算法通常用來(lái)模擬動(dòng)態(tài)特性，故每個(gè)方程的積分步驟，都涉及一個(gè)非線性方程的求解過(guò)程，從而導(dǎo)致一組線性問(wèn)題的出現(xiàn)。因此，求解系統(tǒng)的算法需要通過(guò)大量的時(shí)間來(lái)求解系統(tǒng)的線性方程組。采用解耦的時(shí)域仿真方法的目的，就在于減小傳統(tǒng)的隱性算法的計(jì)算量。事實(shí)上，時(shí)域仿真運(yùn)算法則的數(shù)值穩(wěn)定特性是由線性化矩陣的特征值所決定的，而通常引起剛性問(wèn)題的特征值只占整個(gè)范圍的一小部分。某一問(wèn)題可以劃分為剛性部分與非剛性部分，如式(1)所示

(1)

式中：xs，xn分別表示剛性變量與非剛性變量；fs，fn則代表剛性方程與非剛性方程。

那么，對(duì)這個(gè)系統(tǒng)的處理可以分為兩個(gè)部分，即對(duì)剛性部分使用隱性算法，而對(duì)非剛性部分使用顯性算法。

對(duì)于數(shù)值穩(wěn)定性，它要求特征值位于某一穩(wěn)定域內(nèi)，方可產(chǎn)生收斂效果。若某些特征值是位于顯性算法的穩(wěn)定域外部，那么動(dòng)態(tài)仿真的數(shù)值穩(wěn)定性可能不會(huì)得到顯示。但是，這些數(shù)值結(jié)果可以通過(guò)對(duì)處于穩(wěn)定域外部的特征值進(jìn)行不同的處理而得到修正。從幾何學(xué)的角度來(lái)看，常微分方程(ODE)系統(tǒng)與DAE系統(tǒng)的解就是多維空間內(nèi)的點(diǎn)或向量?？梢园堰@個(gè)空間劃分為兩個(gè)或更多的子空間，而那些解向量也就可以分解為相應(yīng)于每個(gè)子空間內(nèi)的子向量。因而，通過(guò)把空間分解為若干子空間，把解向量分解為子向量，從而使原始的ODE系統(tǒng)與DAE系統(tǒng)也可以解耦為若干個(gè)小維度的系統(tǒng)。

假設(shè)P為對(duì)應(yīng)位于某種顯性算法穩(wěn)定域之外的m個(gè)特征值的不變子空間，Z1為P內(nèi)的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。因此，Z1是一個(gè)n×m的矩陣，且其滿(mǎn)足下列條件：

(2)

這里Im是m×m的單位陣。

此外，還存在一個(gè)正交補(bǔ)Q，并設(shè)Z2為Q內(nèi)的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則

(3)

因?yàn)?，Q是P的一個(gè)正交補(bǔ)，那么有

(4)

由于位于原始的n維空間內(nèi)的向量可以分解為兩個(gè)小維度的向量之和，那么原始系統(tǒng)也可以分解為兩個(gè)子系統(tǒng)，即

(5)

ODE系統(tǒng)方程式可以解耦為：

(6)

通過(guò)對(duì)上述方程式的求解，可以分別計(jì)算出向量p和q，從而系統(tǒng)的初始狀態(tài)可表示為：x=Z1p+Z2q。

可以看出，式(6)有著類(lèi)似于式(1)的期望的形式，而且其第二組方程的所有特征值都位于穩(wěn)定域內(nèi)部。因此，可采用顯性算法來(lái)求解第二組方程，用隱性算法來(lái)求解第一組方程。為了捕獲長(zhǎng)期的電壓穩(wěn)定的響應(yīng)，人們提出了許多有效的算法，用以減少計(jì)算量，其中使用最廣泛的方法就是準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)時(shí)域仿真。

2 準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)(QSS)仿真的實(shí)現(xiàn)

2.1 相關(guān)概念

準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)是指在某些確定條件下系統(tǒng)響應(yīng)的近似值。QSS仿真的基本思想是用一系列由長(zhǎng)期動(dòng)態(tài)過(guò)程驅(qū)動(dòng)的短期平衡點(diǎn)來(lái)近似系統(tǒng)的長(zhǎng)期動(dòng)態(tài)過(guò)程，是潮流計(jì)算和全時(shí)域仿真的一種折衷。QSS仿真通過(guò)時(shí)標(biāo)分解，分開(kāi)求解暫態(tài)和中長(zhǎng)期過(guò)程，協(xié)調(diào)了中長(zhǎng)期仿真在計(jì)算速度和計(jì)算精確度兩方面的矛盾。QSS近似基于如下假設(shè)：存在短期動(dòng)態(tài)過(guò)程的穩(wěn)定平衡點(diǎn)；短期動(dòng)態(tài)過(guò)程在足夠短的時(shí)間內(nèi)達(dá)平衡點(diǎn)。QSS仿真具有不存在PV和Vθ假設(shè)，能夠較準(zhǔn)確地計(jì)及各種限制作用，能夠反映控制作用和元件動(dòng)作的時(shí)域規(guī)律，計(jì)算速度快，收斂性能好等優(yōu)勢(shì)，是中長(zhǎng)期電壓穩(wěn)定分析的有力工具。

2.2 準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型

在引入了穩(wěn)態(tài)假設(shè)后，電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程可用具有連續(xù)-離散時(shí)間的微分-代數(shù)方程組表示

(7)

0=G(X，Y，zD，zC，λ)

(8)

(9)

zD(k+)=hD[x(k-)，y(k-)，zD(k)，λ(k)]

(10)

在式(7)中，函數(shù)F描述了同步機(jī)、勵(lì)磁系統(tǒng)、原動(dòng)機(jī)以及調(diào)速器的動(dòng)力學(xué)，而式(8)中的函數(shù)G則代表了系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)功能。式(7)和式(8)分別包含了瞬態(tài)變量X與代數(shù)變量Y。變量Y通常與網(wǎng)絡(luò)母線電壓的幅值和相角有關(guān)。長(zhǎng)期動(dòng)態(tài)響應(yīng)通過(guò)式(9)和式(10)中的離散的或/和連續(xù)的時(shí)間變量來(lái)捕獲。zC為連續(xù)狀態(tài)變量列向量，代表了連續(xù)負(fù)載的恢復(fù)動(dòng)態(tài)；zD為離散狀態(tài)變量列向量，與發(fā)電機(jī)過(guò)勵(lì)限制及定子過(guò)流限制相關(guān)；式中的λ表示了負(fù)荷需求的變化以及相應(yīng)的電源延時(shí)。

2.3 QSS仿真思路

基本的QSS仿真原理如圖1所示。A點(diǎn)是出現(xiàn)干擾之前的平衡點(diǎn)，而A′是這些方程式在受到干擾之后的平衡點(diǎn)。從A′到B的連續(xù)變化是由于λ和zC的變化所引起的，從B到B′的過(guò)渡則來(lái)自于zD的不連續(xù)改變。

圖1 準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)仿真原理

點(diǎn)A′和B′處的狀態(tài)為固定zC和zD于當(dāng)前值下式(7)、(8)的解所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)，表示設(shè)備動(dòng)作后系統(tǒng)的暫態(tài)平衡點(diǎn)。點(diǎn)A′至B以及點(diǎn)B′至C處的狀態(tài)變化對(duì)應(yīng)于式(9)所描述的系統(tǒng)慢動(dòng)態(tài)變化，或系統(tǒng)某些參數(shù)的變化(如系統(tǒng)負(fù)荷的增加)。通過(guò)聯(lián)立求解式(7)～(9)，可獲得點(diǎn)B，C處的狀態(tài)。再結(jié)合系統(tǒng)的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型，將式(9)差分化后，可以求得在zD固定的情況下暫態(tài)平衡點(diǎn)B，C處的狀態(tài)。

2.4 考慮負(fù)載變化下QSS仿真的實(shí)現(xiàn)

最基本的QSS仿真分析中并沒(méi)有包含對(duì)于時(shí)間的積分，但卻能夠在平衡跟蹤期間間接地得到時(shí)間信息，這些時(shí)間信息基于離散控制的內(nèi)部延遲。過(guò)渡時(shí)間步長(zhǎng)s=tk+1-tk是由最短內(nèi)部延遲或長(zhǎng)期組件的采樣周期zD所決定的。更具體地說(shuō)，在這個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)，會(huì)根據(jù)一些控制邏輯進(jìn)行修正。連續(xù)潮流算法中介紹了參數(shù)λ，它可以對(duì)步長(zhǎng)控制下的系統(tǒng)平衡進(jìn)行跟蹤。在變壓器有載調(diào)壓分接開(kāi)關(guān)(OLTC)工作的過(guò)程中，λ也會(huì)根據(jù)時(shí)間特性進(jìn)行變化。應(yīng)當(dāng)通過(guò)適當(dāng)?shù)乜紤]λ在固定的時(shí)間間隔tk+1-tk內(nèi)的變化，以滿(mǎn)足相應(yīng)的時(shí)間函數(shù)。

(11)

(12)

(13)

式中，步長(zhǎng)是σk。

(14)

一般來(lái)說(shuō)，在每個(gè)時(shí)刻，控制步長(zhǎng)都應(yīng)重新計(jì)算以適合負(fù)荷在這一時(shí)期的變化。注意到作用于修正階段的雅可比行列式取決于來(lái)自預(yù)測(cè)階段的狀態(tài)變量。為了得到用于步長(zhǎng)計(jì)算的dλ和Δλ，首先將作用于預(yù)報(bào)器的雅可比行列式同樣作用于校正器。在得到近似步長(zhǎng)以后，對(duì)校正器里的雅可比行列式進(jìn)行修正，通過(guò)求解式(12)得到新的Δλ，并利用式(14)再次計(jì)算步長(zhǎng)，重復(fù)這個(gè)過(guò)程直到修正的Δλ值與原來(lái)值之間的誤差在允許范圍內(nèi)為止。

3 系統(tǒng)仿真實(shí)例

3.1 基本概況

圖2所示為新英格蘭10機(jī)39節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)的單線圖，前文提到的完全顯性前向歐拉算法和完全隱性梯形圖解法等算法均可應(yīng)用于此系統(tǒng)。在此情況下，每臺(tái)發(fā)電機(jī)有9種狀態(tài)，微分狀態(tài)和代數(shù)狀態(tài)的總數(shù)分別是90和78。仿真過(guò)程中的步長(zhǎng)選擇0.025 s，剛性不變子空間是在19維度的初始狀態(tài)下計(jì)算的，對(duì)于使用的解耦算法，系統(tǒng)的非線性方程式的維數(shù)是97。與此同時(shí)，對(duì)于完全顯性算法和完全隱性算法，非線性系統(tǒng)的維度分別是78和168。

圖2 新英格蘭39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)單線圖

3.2 線路跳閘事故的時(shí)域仿真

本仿真選取意外事故是6#母線和7#母線之間的線路在0.05 s時(shí)發(fā)生線路跳閘，仿真時(shí)間是20 s，分別采用完全顯性算法、完全隱性算法和解耦算法進(jìn)行仿真。仿真結(jié)果如圖3至圖5。實(shí)際中要求干擾后的響應(yīng)使系統(tǒng)可以保持其穩(wěn)定性，但由仿真圖3至圖5可以看出，在解耦算法與完全隱性算法產(chǎn)生穩(wěn)定結(jié)果的情況下，完全顯性算法未能給出理想的結(jié)果。

圖3 完全顯性算法的仿真結(jié)果

圖4 完全隱性算法的仿真結(jié)果

圖5 解耦算法的仿真結(jié)果

由圖3可以看出，完全顯性算法(采用純粹前向歐拉算法)的結(jié)果大約在1s時(shí)出現(xiàn)分岔，導(dǎo)致動(dòng)態(tài)仿真無(wú)法完成，而在顯性算法分岔之前，可以觀察到一個(gè)振蕩行為，這只是由數(shù)值取值的原因引起的，而并不代表實(shí)際的系統(tǒng)響應(yīng)。

與此同時(shí)，完全隱性算法與解耦算法的仿真結(jié)果給出了穩(wěn)定的系統(tǒng)響應(yīng)，分別如圖4和圖5所示。這兩種算法都給出了系統(tǒng)受干擾后的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，而且這兩種算法的結(jié)果也較好地匹配了系統(tǒng)運(yùn)行結(jié)果。從仿真結(jié)果可以看到，系統(tǒng)擾動(dòng)后暫態(tài)過(guò)程很快平息，達(dá)到一個(gè)新的暫態(tài)平衡點(diǎn)。此后，系統(tǒng)逐步向臨界點(diǎn)逼近的驅(qū)動(dòng)力即為OLTC的動(dòng)作和由選定增長(zhǎng)方式確定持續(xù)增加的負(fù)荷。對(duì)兩種算法下的仿真結(jié)果進(jìn)行比較可知，圖5所示的解耦算法仿真曲線比圖4 所示的完全隱性算法仿真曲線更理想。

3.3 負(fù)荷逐漸增加的長(zhǎng)期時(shí)域仿真

設(shè)定與6#母線通過(guò)變壓器相連的31#母線負(fù)載以每秒0.5%的速率增加，以捕獲長(zhǎng)期的系統(tǒng)不穩(wěn)定的響應(yīng)。6#母線電壓的仿真結(jié)果如圖6所示。由仿真結(jié)果可以看出，解耦算法綜合了完全顯性算法與完全隱性算法的優(yōu)點(diǎn)，既可以得到數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性，又具有很高的效率。在使用這種方法時(shí)，剛性與非剛性的子空間是分開(kāi)考慮的，而且是用不同的算法處理的。然而，和任何時(shí)域分析算法一樣，它仍然需要相當(dāng)數(shù)量的CPU時(shí)鐘來(lái)獲取相關(guān)的系統(tǒng)響應(yīng)，尤其是對(duì)于中長(zhǎng)期電壓穩(wěn)定的仿真。

圖6 負(fù)載增長(zhǎng)情況下的長(zhǎng)時(shí)期仿真結(jié)果

4 結(jié)論

本文對(duì)采用準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)假設(shè)后的中長(zhǎng)期電壓穩(wěn)定的仿真算法進(jìn)行了研究，在當(dāng)前時(shí)域仿真分析中，根據(jù)數(shù)值積分法提出一種新的解耦仿真算法。此算法綜合了顯性算法和隱性算法的期望特性，在保證數(shù)值計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定性的同時(shí)，又具有良好的運(yùn)算效率。利用此解耦的時(shí)域仿真方法，討論了QSS仿真在考慮負(fù)載隨時(shí)間變化條件下的實(shí)現(xiàn)，并利用新英格蘭39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)驗(yàn)證了此仿真方法的有效性。仿真算例表明，提出的解耦算法可以幫助QSS仿真追蹤系統(tǒng)中長(zhǎng)期動(dòng)態(tài)過(guò)程，在負(fù)荷需求增加導(dǎo)致的崩潰點(diǎn)附近也有較好的數(shù)值性能，可以較為準(zhǔn)確地得到中長(zhǎng)期電壓穩(wěn)定的極限點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 周雙喜,朱凌志,郭錫玖,等.電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性及其控制[M].北京:中國(guó)電力出版社, 2004 .

[2] 蘇永春,程時(shí)杰,文勁宇.電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性及其研究現(xiàn)狀(一) [J].電力自動(dòng)化設(shè)備,2006,26(6): 97-101.

[3] 陳文廣,劉明波,林聲宏,等.長(zhǎng)期電壓穩(wěn)定準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)仿真算法比較[J].電網(wǎng)技術(shù),2009,33(9):44-51.

[4] 安寧,周雙喜,朱凌志.中長(zhǎng)期電壓穩(wěn)定準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)時(shí)域軌跡追蹤方法[J].電網(wǎng)技術(shù),2006,30(20):40-45.

[5] 胡揚(yáng)宇,呂天光,褚雙偉，等.基于準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)仿真的電壓穩(wěn)定軌跡靈敏度分析方法[J].電網(wǎng)技術(shù),2012,36(6):157-162.

[6] 徐泰山,鮑顏紅,薛禹勝,等.中期電壓穩(wěn)定的快速仿真算法研究[J].電力系統(tǒng)自動(dòng)化,2000,24(24): 9-11.

[7] DEUFLHARD P, BOMEMANN F.Scientific computing with ordinary differential equations[M].New York: Springer New York,2002.

[8] ISERLES A. A First course in the numerical analysis of differential equations[J]. American Journal of Physics, 1998, 65(5):929.