張晨霞，張正成，強玉霞

（蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

在實際中，往往給系統(tǒng)配置一個貯備元件，以提高系統(tǒng)的可靠性。通常，貯備元件有3種貯備方式：冷貯備、熱貯備和溫貯備。在冷貯備下，貯備元件開始時是不運行的；在熱貯備下，貯備元件在一般環(huán)境下是工作的，也就是說運行元件和貯備元件組成一個并聯(lián)系統(tǒng)；而在溫貯備中，貯備元件在更加溫和的環(huán)境中工作，并且失效率比一般環(huán)境中的要小。貯備情況詳見文獻[1-2]。

在可靠工程系統(tǒng)中，冗余技術(shù)被廣泛地應(yīng)用到提高系統(tǒng)的可靠性中。事實上一個元件失效的確影響系統(tǒng)中的剩余元件的失效率。當(dāng)系統(tǒng)的元件逐個失效時，系統(tǒng)中總的負載就得重新分配給剩余的元件，這就是負載共享系統(tǒng)。1971年Gross[3]觀察了兩個器官子系統(tǒng)后認為：人體的兩個腎是負載共享系統(tǒng)的典型代表。

最近，Yun[4]研究了兩個元件壽命是任意連續(xù)的隨機變量的一般負載共享系統(tǒng)。假定這個系統(tǒng)的總負載為L，它被元件C1和C2共同分享。假定C1和C2的分配比例分別為α和1-α，特別地，當(dāng)一個元件失效，另一個元件將負載該失效元件的負載。不失一般性假定L=1。Zhang等[5]提到元件C2(C1)可能被視為C1(C2)的一個備用負載元件，從中可以看出負載貯備是溫貯備的一般化。

本文在可靠性的基礎(chǔ)上，采用隨機序的方法，對貯備系統(tǒng)的隨機性進行研究，試圖分析負載共享系統(tǒng)、溫貯備系統(tǒng)、冷貯備系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)可靠性的優(yōu)劣。

1預(yù)備知識

元件C1和C2在滿負載條件下的壽命設(shè)為X和Y ，分布函數(shù)分別為 F(?)和 G(?)，生存函數(shù)分別為Fˉ(?)和 Gˉ(?)。 XΡ1,YΡ2表示元件 C1和 C2在部分負載荷 Ρ1，Ρ2下的壽命，其分布函數(shù)分別為 FP1(?)和GP2(?)，生存函數(shù)分別為 FˉP1(?)和 GˉP2(?)。 假定兩元件在部分負載工作環(huán)境下的工作相互獨立，特別地，在加速壽命模型中[6]（或在減速壽命模型中[7])。假定對所有的t≥0

分配函數(shù)(i)γ(0)=0,λ(0)=0；(ii)對于所有的u≥0，γ(u)≤u,λ(u)≤u；(iii)γ(u)和 λ(u)在 u≥0上是單調(diào)遞增的。事實上，式(1)揭示了在部分負載條件下比在滿負載條件下元件的壽命要隨機的大。

w(u)和v(u)分別是元件壽命X和Y在滿載條件下的“虛擬壽命”[8-10]，在部分負載條件下相應(yīng)的正常壽命是u。換句話說，元件C1和C2的性能在部分負載條件(0 ,u]和在滿載條件(0 ,w(u)]和(0 ,v(u)]下是一樣的，且滿足(i)v(0)=0,w(0)=0；(ii)對于所有的 u≥0，有 v(u)≤u,w(u)≤u；(iii)v(u)和 w(u)都在u≥0上是單調(diào)遞增的。

如果假設(shè)元件C1在部分負載條件Ρ1下運行，然而C2在滿負載條件下運行（即在通常條件下），負載共享系統(tǒng)就是溫貯備系統(tǒng)。此時，用T(XΡ1,Y)表示溫貯備的壽命，則X*表示溫貯備元件在貯備狀態(tài)時的壽命，分布函數(shù)為F(γ (?)) 。 其中 Xw(Y)=(X-w(Y)|X＞w(Y))。當(dāng)t≥0時，它的可靠度函數(shù)為

如果假設(shè)元件C1和C2都在滿負載條件下運行（即在通常條件下），則溫貯備系統(tǒng)就變成熱貯備系統(tǒng)。在這種情況下，熱貯備的壽命為max{X ,Y},其可靠度函數(shù)為

眾所周知，元件C1和C2的冷貯備系統(tǒng)壽命的可靠度函數(shù)為

定義1：設(shè)X和Y是兩個非負的隨機變量，其分布函數(shù)分別是F(x)和G(x)，密度函數(shù)分別為 f(x)和 g(x)，生 存 函 數(shù) 分 別 為 Fˉ(x)=1-F(x)和。

x關(guān)于 遞增，則稱為X在失效率意義下小于Y，記作:X≤hrY。

關(guān)于更多的隨機序參見文獻[11-13]。

2主要結(jié)論及證明

設(shè)λ1=3,λ2=1和θ=5，λ3可以為任意值。對所有的t≥0，P(U2≥t)≥P(U1≥t)。得到U1≤stU2。由例2可得當(dāng)定理6中的所有元件為指數(shù)分布，并在其他條件不變而加強假設(shè)Y1≤lrY2時，定理6的結(jié)果也無法得到改變。

4結(jié)語

本文主要討論了由2個或3個元件組成的串聯(lián)系統(tǒng)或并聯(lián)系統(tǒng)的隨機性質(zhì)。以及研究一個冗余元件在并聯(lián)系統(tǒng)中的最優(yōu)分配問題。從而得知冷貯備系統(tǒng)比溫貯備系統(tǒng)好、負載共享系統(tǒng)比溫儲備系統(tǒng)好等一系列結(jié)論；也得到把一個溫貯備元件配置給一個反失效率序更大的運作元件可以提高系統(tǒng)的壽命。并討論了元件壽命服從指數(shù)分布時系統(tǒng)可靠性的情況，并給出了例子進一步說明。

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