張晨霞，張正成，強(qiáng)玉霞

（蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

在實(shí)際中，往往給系統(tǒng)配置一個(gè)貯備元件，以提高系統(tǒng)的可靠性。通常，貯備元件有3種貯備方式：冷貯備、熱貯備和溫貯備。在冷貯備下，貯備元件開始時(shí)是不運(yùn)行的；在熱貯備下，貯備元件在一般環(huán)境下是工作的，也就是說(shuō)運(yùn)行元件和貯備元件組成一個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)；而在溫貯備中，貯備元件在更加溫和的環(huán)境中工作，并且失效率比一般環(huán)境中的要小。貯備情況詳見文獻(xiàn)[1-2]。

在可靠工程系統(tǒng)中，冗余技術(shù)被廣泛地應(yīng)用到提高系統(tǒng)的可靠性中。事實(shí)上一個(gè)元件失效的確影響系統(tǒng)中的剩余元件的失效率。當(dāng)系統(tǒng)的元件逐個(gè)失效時(shí)，系統(tǒng)中總的負(fù)載就得重新分配給剩余的元件，這就是負(fù)載共享系統(tǒng)。1971年Gross[3]觀察了兩個(gè)器官子系統(tǒng)后認(rèn)為：人體的兩個(gè)腎是負(fù)載共享系統(tǒng)的典型代表。

最近，Yun[4]研究了兩個(gè)元件壽命是任意連續(xù)的隨機(jī)變量的一般負(fù)載共享系統(tǒng)。假定這個(gè)系統(tǒng)的總負(fù)載為L(zhǎng)，它被元件C1和C2共同分享。假定C1和C2的分配比例分別為α和1-α，特別地，當(dāng)一個(gè)元件失效，另一個(gè)元件將負(fù)載該失效元件的負(fù)載。不失一般性假定L=1。Zhang等[5]提到元件C2(C1)可能被視為C1(C2)的一個(gè)備用負(fù)載元件，從中可以看出負(fù)載貯備是溫貯備的一般化。

本文在可靠性的基礎(chǔ)上，采用隨機(jī)序的方法，對(duì)貯備系統(tǒng)的隨機(jī)性進(jìn)行研究，試圖分析負(fù)載共享系統(tǒng)、溫貯備系統(tǒng)、冷貯備系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)可靠性的優(yōu)劣。

1預(yù)備知識(shí)

元件C1和C2在滿負(fù)載條件下的壽命設(shè)為X和Y ，分布函數(shù)分別為 F(?)和 G(?)，生存函數(shù)分別為Fˉ(?)和 Gˉ(?)。 XΡ1,YΡ2表示元件 C1和 C2在部分負(fù)載荷 Ρ1，Ρ2下的壽命，其分布函數(shù)分別為 FP1(?)和GP2(?)，生存函數(shù)分別為 FˉP1(?)和 GˉP2(?)。 假定兩元件在部分負(fù)載工作環(huán)境下的工作相互獨(dú)立，特別地，在加速壽命模型中[6]（或在減速壽命模型中[7])。假定對(duì)所有的t≥0

分配函數(shù)(i)γ(0)=0,λ(0)=0；(ii)對(duì)于所有的u≥0，γ(u)≤u,λ(u)≤u；(iii)γ(u)和 λ(u)在 u≥0上是單調(diào)遞增的。事實(shí)上，式(1)揭示了在部分負(fù)載條件下比在滿負(fù)載條件下元件的壽命要隨機(jī)的大。

w(u)和v(u)分別是元件壽命X和Y在滿載條件下的“虛擬壽命”[8-10]，在部分負(fù)載條件下相應(yīng)的正常壽命是u。換句話說(shuō)，元件C1和C2的性能在部分負(fù)載條件(0 ,u]和在滿載條件(0 ,w(u)]和(0 ,v(u)]下是一樣的，且滿足(i)v(0)=0,w(0)=0；(ii)對(duì)于所有的 u≥0，有 v(u)≤u,w(u)≤u；(iii)v(u)和 w(u)都在u≥0上是單調(diào)遞增的。

如果假設(shè)元件C1在部分負(fù)載條件Ρ1下運(yùn)行，然而C2在滿負(fù)載條件下運(yùn)行（即在通常條件下），負(fù)載共享系統(tǒng)就是溫貯備系統(tǒng)。此時(shí)，用T(XΡ1,Y)表示溫貯備的壽命，則X*表示溫貯備元件在貯備狀態(tài)時(shí)的壽命，分布函數(shù)為F(γ (?)) 。 其中 Xw(Y)=(X-w(Y)|X＞w(Y))。當(dāng)t≥0時(shí)，它的可靠度函數(shù)為

如果假設(shè)元件C1和C2都在滿負(fù)載條件下運(yùn)行（即在通常條件下），則溫貯備系統(tǒng)就變成熱貯備系統(tǒng)。在這種情況下，熱貯備的壽命為max{X ,Y},其可靠度函數(shù)為

眾所周知，元件C1和C2的冷貯備系統(tǒng)壽命的可靠度函數(shù)為

定義1：設(shè)X和Y是兩個(gè)非負(fù)的隨機(jī)變量，其分布函數(shù)分別是F(x)和G(x)，密度函數(shù)分別為 f(x)和 g(x)，生 存 函 數(shù) 分 別 為 Fˉ(x)=1-F(x)和。

x關(guān)于 遞增，則稱為X在失效率意義下小于Y，記作:X≤hrY。

關(guān)于更多的隨機(jī)序參見文獻(xiàn)[11-13]。

2主要結(jié)論及證明

設(shè)λ1=3,λ2=1和θ=5，λ3可以為任意值。對(duì)所有的t≥0，P(U2≥t)≥P(U1≥t)。得到U1≤stU2。由例2可得當(dāng)定理6中的所有元件為指數(shù)分布，并在其他條件不變而加強(qiáng)假設(shè)Y1≤lrY2時(shí)，定理6的結(jié)果也無(wú)法得到改變。

4結(jié)語(yǔ)

本文主要討論了由2個(gè)或3個(gè)元件組成的串聯(lián)系統(tǒng)或并聯(lián)系統(tǒng)的隨機(jī)性質(zhì)。以及研究一個(gè)冗余元件在并聯(lián)系統(tǒng)中的最優(yōu)分配問題。從而得知冷貯備系統(tǒng)比溫貯備系統(tǒng)好、負(fù)載共享系統(tǒng)比溫儲(chǔ)備系統(tǒng)好等一系列結(jié)論；也得到把一個(gè)溫貯備元件配置給一個(gè)反失效率序更大的運(yùn)作元件可以提高系統(tǒng)的壽命。并討論了元件壽命服從指數(shù)分布時(shí)系統(tǒng)可靠性的情況，并給出了例子進(jìn)一步說(shuō)明。

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