魯艷飛，宋勃震，張 銳,，蔡林杰，張瑜萍，董陳江

1 鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院，鄭州450046

2 鄭州大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，鄭州450001

SiC晶體是一種最重要的半導(dǎo)體材料，具有較高的電阻率、較好的熱穩(wěn)定性、良好的機械強度和硬度、可調(diào)電導(dǎo)率和低密度等優(yōu)點[1-5]。工業(yè) SiC一般是通過 Acheson法合成[6]，合成溫度高達2200°C ～ 2400°C，既浪費能量，又污染環(huán)境[7]。因此急需尋求一種簡易、經(jīng)濟、環(huán)保的方法合成SiC。

作為一種新型的加熱方式，微波加熱在高溫材料制造領(lǐng)域得到了廣泛的關(guān)注[8-10]。微波加熱過程中的體能量吸收方式使得材料整體均勻升溫，克服了傳統(tǒng)加熱方式產(chǎn)生的溫度梯度。微波在材料內(nèi)部的損耗是微波加熱的基礎(chǔ)，微波損耗特征決定了材料的熱生成過程，進而影響化學(xué)反應(yīng)進程。因此，通過此控制實驗條件降低SiC合成溫度[11]，即可采用微波加熱方法合成出SiC粉體[12]、SiC晶須[13]和SiC納米棒[14]等。由于微波加熱的復(fù)雜性[15-17]，微波損耗的理論計算和微波加熱過程中的溫度測量通常不易進行。因此，本文將運用多物理場仿真軟件COMSOL對微波加熱無定形碳的動態(tài)過程進行模擬分析，通過分析微波損耗特征及其所導(dǎo)致的溫度變化規(guī)律對SiC合成過程中的熱效應(yīng)問題做出解釋，以期完善微波加熱理論、優(yōu)化生產(chǎn)工藝。

1 微波-熱耦合控制方程

微波在真空中的傳播基于Maxwell方程組：

對于存在極化損耗和磁化損耗的介質(zhì)，電容率和磁導(dǎo)率為復(fù)數(shù)，即

根據(jù)時諧場中存在線性介質(zhì)的Poynting定理可得各種損耗功率密度和電磁能量密度的瞬時值[18]：

其中式 (5) 中的PE包括：

即：ajEPPP += (其中，σ 為電導(dǎo)率，K為非電性場強度)。

進一步可以得到各種損耗功率密度和電磁能量密度的平均值[18]：

忽略微波的磁效應(yīng)，碳的微波損耗包括電極化損耗 (介電損耗) 和焦耳損耗 (電導(dǎo)損耗)。

電流密度與電場的關(guān)系為

聯(lián)立式 (8)、(10) 和 (12) 可得平均電損耗功率密度：

由Maxwell方程組可以推導(dǎo)出損耗角正切與介電常數(shù)虛部和電導(dǎo)率的關(guān)系為

聯(lián)立式 (13) 和 (14) 可得平均電損耗功率密度：

微波在諧振腔中傳播遵從電磁波頻域方程：

邊界條件為：

電磁波在材料內(nèi)部有一定的穿透深度，用集膚深度表示：

固體傳熱方程為

邊界條件為

對于微波加熱只存在電磁損耗，式 (18) 變?yōu)椋?/p>

邊界電磁熱源為

圖1 微波加熱模型Figure1 Microwave heating model

2 微波加熱碳的動態(tài)過程模擬

2.1 建模及參數(shù)設(shè)置

運用COMSOL建立的微波加熱模型如圖1所示：長方體加熱腔尺寸為0.1092 m × 0.0546 m× 0.222 m，BJ-26波導(dǎo)口尺寸為 0.1092 m ×0.0546 m，位于長方體加熱腔的XY面上，波導(dǎo)口激勵頻率為2.45 GHz，輸入功率為10000 W，工作模式為 TE103，圓柱形碳半徑和高度均為0.006 m，中心點坐標為 (0.0546 m，0.0273 m, 0.111 m)。

微波加熱腔壁為完美導(dǎo)電體，全反射微波，腔內(nèi)為真空，不參與傳熱。模擬分析采用的真空電磁參數(shù)為：相對介電常數(shù)1，相對磁導(dǎo)率1，電導(dǎo)率0。

表1給出了對東勝褐煤進行元素分析所得到的結(jié)果?？梢钥闯?，東勝褐煤成分以碳為主，因此本文采用東勝褐煤的性能作為模擬分析中無定形碳的參考值。

表2 東勝褐煤元素分析結(jié)果Table2 Element analysis results of Dongsheng lignite

圖2 相對介電常數(shù)實部隨溫度的變化Figure2 Variation of the real part of relative permittivity with temperature

圖3 相對介電常數(shù)實部隨溫度的變化Figure3 Variation of the imaginary part of relative permittivity with temperature

碳的相對介電常數(shù)實部和虛部在20°C ～ 700°C范圍內(nèi)為階段線性變化，外延部分也設(shè)為線性變化，碳的相對介電常數(shù)實部和虛部與溫度的變化關(guān)系分別如圖2和圖3所示。電導(dǎo)率與溫度的變化關(guān)系可以近似用公式 (21) 表示：

式中，σ0為溫度t0時的電導(dǎo)率 (S/m)，α 為電阻溫度系數(shù) (°C-1)。

根據(jù)文獻 [20]，微波頻率為 2.45 GHz時碳的室溫電導(dǎo)率約為 0.02 S/m，電阻溫度系數(shù)設(shè)為-0.0005°C-1，可以將碳的電導(dǎo)率隨溫度的變化關(guān)系寫成：

碳的恒壓熱容為502 J/(kg·K)，材料庫中碳的導(dǎo)熱系數(shù)和密度都是溫度的函數(shù)。

2.2 模擬結(jié)果分析

2.2.1 溫度變化過程及微波損耗特征

微波加熱前6 s碳的溫度變化如圖4所示。微波加熱過程中，碳外表面一點 (0.0546 m，0.0273 m，0.105 m) 過中心點 (0.0546 m，0.0243 m，0.111 m) 到另一點 (0.0546 m，0.0273 m，0.117 m) 的溫度梯度隨弧長的變化如圖5所示。可以看出，碳是整體同時升溫，從外到內(nèi)碳的溫度逐漸減小，說明升溫速率從外到內(nèi)逐漸降低。0 s ～ 5 s區(qū)間內(nèi)，內(nèi)外溫差逐漸拉大；隨著熱傳遞的進行，5 s ～ 6 s期間，溫差開始縮小，對應(yīng)碳中心點溫度梯度在5 s時開始減小，如圖6所示。

圖4 微波加熱碳的溫度變化過程Figure4 Temperature change process during the microwave heating of carbon

圖5 溫度隨弧長的變化Figure5 Variation of temperature with arc length

圖6 中心點溫度梯度隨時間的變化Figure6 Variation of center point temperature gradient with time

圖7 中心點溫度隨時間的變化Figure7 Variation of center point temperature with time

圖8 中心點電損耗功率密度隨時間的變化Figure8 Variation of center point electric loss power density with time

中心點溫度隨時間的變化關(guān)系如圖7所示：0 s ～ 3 s升溫速率逐漸降低，3 s ～ 6 s升溫速率逐漸升高。這主要是由于0 s ～ 3 s之間電損耗減小，而3 s ～ 6 s之間電損耗增大 (如圖8所示)，也就是說升溫速率隨電損耗的增大而升高。

圖9 中心點介電損耗功率密度隨時間的變化Figure9 Variation of center point dielectric loss power density with time

圖10 中心點電導(dǎo)損耗功率密度隨時間的變化Figure10 Variation of center point conduction loss power density with time

2.2.2 介電損耗與電導(dǎo)損耗的變化特征

電損耗功率密度主要包括介電損耗功率密度和電導(dǎo)損耗功率密度，其隨時間的變化關(guān)系分別如圖9和圖10所示。

圖11是中心點電場模隨時間的變化關(guān)系曲線。根據(jù)式 (17)，微波在材料內(nèi)部有一定的穿透深度，隨著復(fù)介電常數(shù)和電導(dǎo)率的增大，穿透深度減小，相應(yīng)的中心點電場模也減小。根據(jù)公式，微波損耗與電場模平方成正比，電場減小導(dǎo)致微波損耗減小。圖10中電導(dǎo)損耗與電場模減小趨勢大致相同，而圖9中介電損耗在0 s ～ 2 s之間減小，2 s ～ 6 s之間增大，3 s時與電損耗同時增大，說明微波加熱碳的過程中，0 s ～ 2 s之間介電損耗和電導(dǎo)損耗共同主導(dǎo)，2 s之后介電損耗占主導(dǎo)。

圖11 中心點電場模隨時間的變化Figure11 Variation of center point electric field mode with time

3 微波熱效應(yīng)的影響因素

3.1 復(fù)介電常數(shù)的影響

分別討論相對介電常數(shù)實部和虛部對耦合熱的影響：(1) 控制相對介電常數(shù)虛部為 0.1，電導(dǎo)率為0.02 S/m，其他不變，相對介電常數(shù)實部引起的溫度變化如圖12所示?？梢钥闯?，隨著相對介電常數(shù)實部增大，升溫速率減小。這是由于介電常數(shù)增大導(dǎo)致電場模減小 (如圖 13所示)，從而電損耗減小。(2) 保持介電常數(shù)實部為2，電導(dǎo)率為0.02 S/m，其他不變，介電常數(shù)虛部引起的溫度變化如圖14所示?？梢钥闯?，隨介電常數(shù)虛部增大，升溫速率升高，升溫速率主要受介電損耗的影響，如圖15所示，2 s ～ 3 s之間介電損耗增大，升溫速率升高，3 s ～ 6 s之間介電損耗減小，升溫速率降低。

圖12 中心點溫度隨時間的變化Figure12 Variation of center point temperature with time (ε″ = 0.1, σ = 0.02 S/m)

圖13 中心點電場模隨時間的變化Figure13 Variation of center point electric field mode with time (ε″ = 0.1, σ = 0.02 S/m)

圖14 中心點溫度隨時間的變化Figure14 Variation of center point temperature with time (ε′ = 2, σ = 0.02 S/m)

圖15 中心點介電損耗功率密度隨時間的變化Figure15 Variation of center point dielectric loss power density with time (ε′ = 2, σ = 0.02 S/m)

圖16 中心點溫度隨時間的變化Figure16 Variation of center point temperature with time (εc = 2 - 0.1j)

圖17 中心點電導(dǎo)損耗功率密度隨時間的變化Figure17 Variation of center point conduction loss power density with time (εc = 2 - 0.1j)

3.2 電導(dǎo)率的影響

保持碳的復(fù)介電常數(shù)為εc= 2 - 0.1j，其他條件不變，得到的中心點升溫速率如圖16所示，電導(dǎo)損耗功率密度隨時間的變化關(guān)系如圖17所示?？梢钥闯?，電導(dǎo)率增大使電導(dǎo)損耗增大，相同時間內(nèi)吸收更多的熱量，從而升溫速率升高。

3.3 微波輸入功率的影響

改變微波輸入功率分別為5000 W和7500 W，中心點溫度隨時間的變化關(guān)系分別如圖18和圖19所示。比較圖18、圖19和圖7可以看出，隨著微波輸入功率的增大，升溫速率分別在5 s、4 s、3 s時開始增大，相應(yīng)的其電損耗也在對應(yīng)時間點開始增大，6 s時達到最大溫度，分別為660 K、1000 K、1250 K，說明增大微波輸入功率可以提高升溫速率，并且能更快達到最大升溫速率。

圖18 中心點溫度隨時間的變化Figure18 Variation of center point temperature with time (microwave power 5000 W)

圖19 中心點溫度隨時間的變化Figure19 Variation of center point temperature with time (microwave power 7500 W)

3.4 保溫結(jié)構(gòu)的影響

不加保溫層的碳與空氣之間存在熱交換。在這種情況下，中心點溫度隨時間的變化關(guān)系如圖20所示。比較圖7和圖20可知，由于熱交換的影響，無保溫結(jié)構(gòu)的碳升溫速率有所降低，但溫度總體變化趨勢不變。

圖20 中心點溫度隨時間的變化Figure20 Variation of center point temperature with time (without insulating layer)

3.5 雜質(zhì)的影響

材料在制備過程中難免存在雜質(zhì)。選取Al2O3為雜質(zhì)成分，其相對介電常數(shù)實部和損耗角正切值隨溫度變化關(guān)系分別如圖 21和圖 22所示[21]，內(nèi)插和外延部分均為階段線性變化。

在圓柱形碳內(nèi)部均勻選取6個點作為Al2O3摻雜點，模型如圖23所示。分析發(fā)現(xiàn)，微波加熱6 s后，系統(tǒng)的最高溫度可以達到1460 K (圖24)。摻雜之后溫度梯度大幅降低 (圖25)，中心點最大溫度梯度則由摻雜前的28000 K/m下降到摻雜后的4000 K/m，溫度沿弧長的變化平緩(圖 26)。

圖21 Al2O3相對介電常數(shù)實部隨溫度的變化Figure21 Variation of real part of relative permittivity with temperature for Al2O3

圖22 Al2O3損耗角正切隨溫度的變化Figure21 Variation of loss tangent with temperature for Al2O3

圖23 Al2O3摻雜點Figure23 Positions for Al2O3 doping (6 points)

圖24 摻雜Al2O3的碳在微波加熱6 s時的溫度分布Figure24 Temperature distribution in A2O3-dopied carbon being microwave heated for 6 s (6 points)

圖25 中心點溫度梯度隨時間的變化Figure25 Variation of center point temperature gradient with time (Al2O3 doping, 6 points)

圖26 溫度隨弧長的變化Figure 26 Variation of temperature with arc length(Al2O3 doping, 6 points)

如果如圖27所示選取12個Al2O3摻雜點，則中心點溫度梯度較6個摻雜點時進一步減小，最大溫度梯度僅為3600 K/m，各部分溫度變化更加平緩，如圖28所示。

圖27 Al2O3摻雜點Figure27 Positions for Al2O3 doping (12 points)

圖28 溫度隨弧長的變化Figure28 Variation of temperature with arc length(Al2O3 doping, 12 points)

圖29 中心點電損耗功率密度隨時間的變化Figure29 Variation of center point electric loss power density with time (up to 9 s)

圖30 中心點溫度隨時間的變化Figure30 Variation of center point temperature with time (up to 9 s)

3.6 加熱時間的影響

延長微波加熱時間至9 s，模擬分析結(jié)果如圖29和圖30所示?？梢钥闯?，中心點電損耗功率密度在7 s時開始減小，升溫速率在7 s時也開始降低。

4 結(jié) 論

根據(jù)Maxwell方程組計算出各種損耗功率密度和電磁能量，運用COMSOL軟件模擬出不同條件下碳的微波損耗特征和溫度變化規(guī)律，模擬結(jié)果與理論計算值符合較好，可以得出以下結(jié)論：

(1) 微波加熱是整體加熱，溫度由內(nèi)而外依次升高，溫度梯度先增加后減小，最終溫度趨于一致。

(2) 微波損耗功率密度與升溫速率成正相關(guān)，碳的微波損耗主要是介電損耗。

(3) 隨復(fù)介電常數(shù)和電導(dǎo)率的增大，碳的電場模減小，電導(dǎo)損耗與電場模的減小趨勢基本一致，所以電導(dǎo)損耗功率密度與電場模在碳內(nèi)部的大小分布基本相同。

(4) 介電常數(shù)實部單獨增大時，電場模減小，介電損耗和電導(dǎo)損耗減小，升溫速率降低；介電常數(shù)虛部單獨增大時，電場模減小，介電損耗先增大后減小，升溫速率先升高后降低。

(5) 電導(dǎo)率單獨增大時，電場模減小，電導(dǎo)損耗增大，升溫速率提高。

(6) 微波輸入功率減小時，各種損耗功率密度減小，損耗功率密度開始增大時間點延長。

(7) 增加保溫結(jié)構(gòu)和Al2O3摻雜點以及適當延長加熱時間都能提高碳的升溫速率，減小溫度梯度。

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