劉樹勇，位秀雷，王 基，楊慶超

（海軍工程大學(xué) 動力工程學(xué)院，武漢，430033）

對非線性隔振系統(tǒng)進行反饋控制的目的是通過實時調(diào)整參數(shù)改變系統(tǒng)的動力學(xué)特征，從而使系統(tǒng)處于所需要達到的工作狀態(tài)，目前國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)開展了大量的研究。Ji等研究了參數(shù)激勵Duffing系統(tǒng)在反饋控制時的動力學(xué)特性，結(jié)果表明系統(tǒng)平凡解對應(yīng)的參數(shù)區(qū)可以擴大，當(dāng)采用合適反饋控制時，可以使系統(tǒng)的不連續(xù)分岔轉(zhuǎn)換為連續(xù)分岔，并消除系統(tǒng)中的突跳現(xiàn)象[1]。Xu等研究了Duffing系統(tǒng)在位移延遲反饋控制條件下，通向混沌的兩種途徑，即倍周期分岔和環(huán)面破裂[2]。Attilio Maccari研究了Van der Pol-Duffing系統(tǒng)在位移和速度延時反饋條件下的主共振響應(yīng)[3]，應(yīng)用漸進攝動（asymptotic perturbation）法推導(dǎo)了系統(tǒng)主共振響應(yīng)時的幅值和相位解析表達式。Kakmeni等則研究了雙頻激勵時的Duffing-Van der Pol振子中的混沌控制[4]；Li等在研究中，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)耦合的非線性反饋控制可以通過解耦的非線性反饋控制來代替[5]。此外，還有一些研究表明合理的延時反饋將使得系統(tǒng)產(chǎn)生有效阻尼并被大量應(yīng)用于各種懸掛系統(tǒng)的主動控制。S.Chatterjee等研究了非線性機械振動系統(tǒng)中的加速度延遲反饋控制方法，發(fā)現(xiàn)具有延時的加速度反饋可能影響被控制系統(tǒng)的阻尼特性[6]。該方法可用于控制受迫Duffing振子的主共振和1/3次諧波共振。在連續(xù)系統(tǒng)控制方面，Khaled等對于系統(tǒng)在參數(shù)激勵條件下梁的延遲主動控制進行了研究，包括三種非線性延遲反饋控制即位移、速度和加速度的三次方延遲反饋。同時，應(yīng)用多尺度方法推導(dǎo)了控制梁的具有非線性動力學(xué)特性的運動方程，并應(yīng)用這些方程研究了延遲對系統(tǒng)穩(wěn)定性、幅值和頻響特性的影響。結(jié)果表明，即使是非常小的延遲，也能改變參數(shù)激勵梁的穩(wěn)定性并產(chǎn)生一些奇怪的動力學(xué)行為[7]。

然而，由于高維非線性系統(tǒng)中既存在各自由度之間的耦合，又存在非線性模態(tài)之間能量的傳遞，因而分析和計算的難度比低維系統(tǒng)急劇增加[8-10]。從研究的文獻來看，目前對多自由度非線性隔振系統(tǒng)在反饋控制條件下幅頻特性以及系統(tǒng)動力學(xué)特征的控制規(guī)律研究很鮮見。本文建立了兩自由度非線性振動系統(tǒng)的無量綱動力學(xué)模型，并推導(dǎo)了系統(tǒng)幅頻特性曲線近似解析表達式，得到系統(tǒng)在不同反饋控制增益條件下幅頻特性曲線的變化特征，從而為非線性振動的控制奠定基礎(chǔ)。

1 非線性隔振系統(tǒng)反饋控制模型

非線性隔振系統(tǒng)的模型如圖1所示，包括上下層質(zhì)量塊M1和M2、加速度傳感器、上層彈簧元件，其線性剛度為K1，非線性剛度為U1，下層彈簧元件剛度為K2；上下層質(zhì)量塊的振動位移分別為X1、X2，激勵力的幅值為F，激勵頻率為Ω。作動器安裝在上下層質(zhì)量塊之間。在主動控制過程中采用上層速度反饋控制，因此有

圖1 非線性隔振系統(tǒng)反饋控制圖

應(yīng)用力學(xué)分析方法，得到系統(tǒng)的振動方程為

為了便于分析，進行如下坐標(biāo)變換

其中X1、X2為自由伸長狀態(tài)時的振動位移；Y1、Y2為彈簧壓縮后相對系統(tǒng)平衡位置狀態(tài)的振動位移；Δi是位移差（i=1,2）。代入式（1）得到

2 系統(tǒng)非線性幅頻特性

為了計算方便，令式（3）中y1-y2=x1，因此得到

設(shè)系統(tǒng)的解分別為

將式(5)代入式（4）后，出現(xiàn)了 cosωt和 sinωt的高次項，由于在消除永年項的過程中，通常針對于cosωt和sinωt的一次項系數(shù)進行運算，因此略去高階項的運算，得到

將系統(tǒng)的響應(yīng)向正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的基上進行投影，可以得到

令式(9)中的三角函數(shù)項系數(shù)為零以消除永期項

將式(12)、式(13)代入式(8)后消除永年項得到

為了使式(8)恒成立，令式中常數(shù)項為零，并略去系數(shù)c10的高階項得到

為了便于計算幅頻關(guān)系，令

a1,1=cos[ρ]A1,b1,1=sin[ρ]A1，其中ρ為振動響應(yīng)中的相位角，將上述公式代入式(14)和式(15)中，結(jié)合三角函數(shù)恒等式關(guān)系，可求得A1-ω幅頻關(guān)系。

3 仿真結(jié)果

3.1 無反饋時的兩自由度非線性振動系統(tǒng)

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)的取值為μ=0.2，ξ1=0.1，k1=1，μ=0.2，ξ1=0.1，k1=1，η=3，k2=5，ξ2=0.2，f=12 ，反饋控制參數(shù)較小時k=0，得到兩自由度非線性隔振系統(tǒng)的幅頻特性曲線，如圖2所示。

圖2 反饋控制增益對系統(tǒng)幅頻特性曲線的影響

從圖中可以看出，在兩自由度條件下，系統(tǒng)的幅頻特性曲線具有兩個峰值。第二個共振峰發(fā)生明顯的彎曲，即發(fā)生共振頻率轉(zhuǎn)移現(xiàn)象。幅值和頻率之間不是簡單的線性關(guān)系。這種系統(tǒng)的另一個特點是可以主動避開共振，一旦由于共振使振幅增大時，系統(tǒng)的共振頻率就發(fā)生轉(zhuǎn)移，使得共振減弱。

3.2 反饋增益變化時的幅頻曲線

當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)取值為μ=0.2，ξ1=0.1，k1=1，η=3，k2=5，ξ2=0.2，f=12，反饋控制參數(shù)較小時k=0.5，系統(tǒng)的幅頻曲線如圖2所示。和系統(tǒng)無反饋控制情況相比較，可以看出曲線的外部輪廓沒有發(fā)生變化；但振動峰值已經(jīng)明顯降低。由原來11.6降低為5.5。振動的反饋控制已效果明顯。當(dāng)反饋控制增益增加為1.0時，系統(tǒng)的第二共振峰進一步減小，而第一共振峰保持不變，如圖3所示。當(dāng)反饋控制增益為2.0時，第二共振峰開始消失。從物理意義上來說，速度反饋將使得大幅值振動現(xiàn)象得到抑制。

3.3 系統(tǒng)的混沌振動

(1)反饋控制參數(shù)不同時的Lyapunov指數(shù)曲線

根據(jù)前面的分析可知，系統(tǒng)呈現(xiàn)出明顯的非線性特征。如果系統(tǒng)處于非線性混沌參數(shù)區(qū)域，將產(chǎn)生混沌振動。由于Lyapunov指數(shù)是判斷系統(tǒng)是否處于混沌的重要指標(biāo)，根據(jù)不同的參數(shù)可以計算出系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜，從而為混沌識別提供依據(jù)。

當(dāng)系統(tǒng)中μ=0.2，ξ1=0.1，k1=1，η=3，k2=5，ξ2=0.2，f=12 ，反饋控制參數(shù)k=0.2，1.0，2.0和2.5時，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)曲線如圖3所示。

從圖中可以看出，當(dāng)反饋控制增益參數(shù)值較小時，隨著激勵頻率在0.1～14范圍內(nèi)變化，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)曲線大于零的區(qū)間比較密集，如圖3(a)所示，表明系統(tǒng)存在較寬的混沌振動參數(shù)區(qū)。隨著反饋控制增益的增加，最大Lyapunov指數(shù)大于零的區(qū)間逐漸稀疏，特別是在圖3(d)中，由于反饋控制的作用，系統(tǒng)在大部分參數(shù)區(qū)間中最大Lyapunov指數(shù)小于零，表明系統(tǒng)從混沌態(tài)被控制到周期運動狀態(tài)。

(2)系統(tǒng)的混沌吸引子

根據(jù)圖3的計算結(jié)果，選取系統(tǒng)的參數(shù)為：μ=0.2，ξ1=0.1，k1=1，η=3，k2=5，ξ2=0.2，f=12反饋控制參數(shù)為k=0.2和2.5，激勵頻率為3.85時，系統(tǒng)的相圖如圖4所示。

從圖4(a)、圖4(b)中可以看出，系統(tǒng)處于混沌振動狀態(tài)，相圖為奇怪吸引子；從圖4(c)、圖4(d)中可以看出系統(tǒng)處于周期振動狀態(tài)，相圖為極限環(huán)。因此，在不同控制條件下，系統(tǒng)將呈現(xiàn)出不同的非線性動力學(xué)行為。

4 實驗研究

4.1 試驗臺組成

試驗裝置主要包括帶偏心質(zhì)量塊的電機、電源控制柜、作動器、雙層隔振平臺、光滑導(dǎo)軌、加速度傳感器、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)、數(shù)據(jù)輸出系統(tǒng)、功率放大器；軟件部分包括LabVIEW信號采集程序、MATLAB數(shù)據(jù)分析處理程序。主要儀器如表1所示。

表1 實驗儀器

4.2 實驗數(shù)據(jù)分析

調(diào)整控制箱右電機旋扭使得偏心塊產(chǎn)生的激勵頻率為13.67時，未施加主動控制的系統(tǒng)的時域響應(yīng)和頻譜特征如圖5所示?？梢钥吹交l、2倍和3倍頻峰值。實施主動控制后系統(tǒng)的響應(yīng)特征如圖6所示。

從圖5(b)、圖6(b)中可以看出，下層振動加速度幅值有顯著降低。從圖5(d)、圖6(d)的頻譜圖來看，有控制時的頻譜峰值比無控制時下降27.5 dB，證明了控制方法的有效性。

圖3 不同反饋控制參數(shù)條件下Lyapunov指數(shù)譜曲線

圖4 NVIS系統(tǒng)的混沌和周期吸引子

5 結(jié)語

圖5 主動控制前系統(tǒng)的響應(yīng)特征

圖6 主動控制后系統(tǒng)的響應(yīng)特征

通過建立兩自由度速度反饋控制非線性振動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)系統(tǒng)在反饋控制條件下幅頻特性近似解析表達式，得到振動系統(tǒng)的幅頻特性曲線。研究了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和反饋增益對幅頻特性曲線的影響，觀察到幅頻特性曲線上的共振峰及其舌狀結(jié)構(gòu)，這體現(xiàn)了系統(tǒng)中的共振頻率轉(zhuǎn)移現(xiàn)象和多幅值特性。隨著反饋增益增加，共振峰骨架曲線左移，幅值降低直至消失。這反映了在該控制過程反饋對大幅值響應(yīng)的抑制。計算了系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜隨結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的曲線，得到系統(tǒng)混沌控制的參數(shù)范圍。實驗研究表明，系統(tǒng)出現(xiàn)基頻和超諧波響應(yīng)，通過控制可以使得線譜成分得到有效降低，從而為非線性振動系統(tǒng)控制提供有益參考。

參考文獻：

[1]JI J C,LEUNG A Y T.Resonances of a nonlinear SDOF system with two time-delays on linear feedback control[J].Journal of Sound and Vibration,2002,(253):985-1000.

[2]XU J,CHUNG W K.Effects of time delayed position feedback on a van der Pol-Duffing oscillators[J].Physica D,2003,180:17-39.

[3]MACCARI ATTILIO.Vibration amplitude control for a van der Pol-Duffing oscillator with time delay[J].Journal of Sound and Vibration,2008,(317):20-29.

[4]KAKMENI F M M,BOWONG S,CHAWOUA C T,et al.Strange attractors and chaos control in a Duffing-van der Poloscillatorwith two externalperiodic forces[J].Journal of Sound and Vibration,2004(277):783-799.

[5]LI X,JI J C,HANSEN C H,et al.The response of a Duffing-van der Pol oscillator under delayed feedback control[J].Journal of Sound and Vibration,2006(291):644-655.

[6]CHATTERJEE S.Vibration control by recursive timedelayed acceleration feedback[J].Journal of Sound and Vibration,2008(317):67-90.

[7]ALHAZZA KHALED A,DAQAQ MOHAMMED F,NAYFEH ALI H,et al.Non-linear vibrations of parametrically excited cantilever beams subjected to nonlinear delayed-feedback control[J].International Journal of Non-Linear Mechanics,2008(43):801-812.

[8]梁建術(shù).高維非線性系統(tǒng)的分岔和混沌控制[D].天津：天津大學(xué)，2003.

[9]孫濤，秦衛(wèi)陽.一類高維動力學(xué)系統(tǒng)的混沌預(yù)測同步實現(xiàn)方法研究[J].振動與沖擊，2016，35(15)：50-52.

[10]袁德強，趙榮珍.基于LLTSA的轉(zhuǎn)子故障數(shù)據(jù)集降維方法[J].噪聲與振動控制，2014，34(5)：150-155.