陳素根，劉兵兵

自由變形技術是幾何造型、計算機圖形學、計算機動畫及科學數(shù)據(jù)可視化等領域獲取形狀復雜、形態(tài)多樣的幾何形體的重要手段之一，得到廣泛關注與研究，在實踐中廣泛應用。然而，尋求新的、有效且直觀的變形方法依然是計算機圖形學等領域的研究熱點之一。幾何形體變形的本質是所在空間自身到自身的一個映射，通過映射改變形體的幾何形狀。1984年，Barr首先提出了整體與局部的變形方法[1]，之后，Sederberg等提出了自由變形(FFD)方法[2]，馮結青等提出了參數(shù)曲面控制的變形方法[3]，但上述方法在預定或調(diào)節(jié)變形范圍、控制變形方向、確保變形區(qū)域邊界處的連續(xù)性等方面尚不夠理想。近年來，基于伸縮因子的自由變形方法得到了深入研究[4-7]，該方法在一定程度上提高了控制精度、操作簡單而且適用于任何形式的曲線曲面，但構造的伸縮因子主要基于三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)，構造基于多項式函數(shù)的伸縮因子方法也引起了關注[8-11]，但這些方法都是定義在圓形區(qū)域或四邊形區(qū)域上的。張莉等[12-13]研究了矩形區(qū)域和凸多邊形區(qū)域上的參數(shù)曲面自由變形算法。然而，任意凸多邊形區(qū)域上基于多項式伸縮因子方法的自由曲面變形研究還不多見，本文構造一種新的定義在凸多邊形區(qū)域上的基于多項式的伸縮因子函數(shù)。該伸縮因子具有已有伸縮因子的優(yōu)點，且可以在任意凸多邊形區(qū)域上變形，使曲面變形效果更加豐富，為自由曲面變形提供了一種新方法。

1 伸縮因子的定義及其性質

1.1 基本伸縮函數(shù)的定義

設Pi(ui,vi)(i=1,2,…,n)是R2平面上不共線的n個點，以P1,P2,…,Pn為頂點的凸多邊形D，且按逆時針方向排列構成回路，由幾何知識易知，其內(nèi)部區(qū)域的面積：

對于R2平面上任意點P(u,v)，若記三角形PP1P2的面積為 S1，三角形 PP2P3的面積為S2，…，三角形PPn-1Pn的面積為Sn-1，三角形PPnP1的面積為 Sn，則

令 Xi=Si/S,i=1,2,…,n ，則 (X1,X2,…,Xn)稱為P關于多邊形D的面積坐標，顯然

定義1 設P0(u0,v0)是R2平面上凸多邊形D中P1,P2,…,Pn內(nèi)一定點，P0關于凸多邊形D的面積坐標為 (X10,X20,…,Xn0)，記 t=X1·X2·…·Xn,t0=X10·X20·…·Xn0，作 R2上的函數(shù)：

則稱 f(u,v)為R2平面內(nèi)凸多邊形區(qū)域D上的基本伸縮函數(shù)，其中，n∈N+為光滑指數(shù)，D為支撐區(qū)域，其邊界為?D。圖1～圖3分別給出了三邊形、四邊形和五邊形區(qū)域上基本伸縮函數(shù)圖形，圖4給出了三邊形區(qū)域上鳥巢消失的伸縮函數(shù)圖形。

圖1 三邊形區(qū)域基本伸縮函

圖2 四邊形區(qū)域基本伸縮函數(shù)

圖3 五邊形區(qū)域基本伸縮函數(shù)

圖4 三邊形區(qū)域鳥巢消失時的基本伸縮函數(shù)

定義 2 令 E(u,v)=E(u,v,u0,v0,n,h)=1+h·f(u,v)，則稱E(u,v)為R2平面內(nèi)凸多邊形區(qū)域D上的帶形狀參數(shù)n,h的多項式伸縮因子，n∈N+為光滑指數(shù)，h為伸縮參數(shù)，D為支撐區(qū)域，其邊界為?D。

1.2 伸縮因子的性質

易知伸縮因子E(u,v)具有以下性質：

性質1E(u,v)|?D=1；

性質2單峰值性：在P0(u0,v0)取得極值；

2 空間參數(shù)曲面的變形與控制

2.1 變形的數(shù)學模型

設 p(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))為定義在參數(shù)(u,v)平面中區(qū)域 Ω 上的C(r)類曲面 (r≥1)，Eij(u,v)=E(u,v,u0,v0,n,hij),(i,j=1,2,3)為具有相同支撐區(qū)域和光滑指數(shù)的伸縮因子，光滑指數(shù)(n≤r+1),D?Ω ，變形中心O'=(x0,y0,z0)，令

為支撐區(qū)域D上的伸縮矩陣，則變形后的曲面pd(u,v)與變形前的曲面p(u,v)可表示為

更一般的情形，設第s(s=1,2,…,k)次變形以O's為中心，其伸縮因子為Es，伸縮矩陣為Ts，則變形后的曲面pd(u,v)與變形前的曲面p(u,v)滿足如下遞推關系：

2.2 變形的幾何意義

令T=(dij)3×3,e1,e2,e3為線性無關的單位向量，記 p(u,v)-O'=p1e1+p2e2+p3e3，則（1）式可表示為

由此可知（1）式所定義的變形幾何意義：在支撐區(qū)域內(nèi)，在原曲面上的每一點p(u,v)處，對向量 p(u,v)-O'在仿射坐標系[O',e1,e2,e3]下的坐標(p1,p2,p3)T作仿射變換，變換矩陣就是伸縮矩陣T。

2.3 變形的交互控制

在變形過程中，通過調(diào)控變形中心、支撐區(qū)域、光滑指數(shù)和伸縮參數(shù)，可以靈活地控制變形曲面的形狀：

（1）改變O'，可控制曲面的相對變形中心；

（2）改變D，可控制曲面的支撐區(qū)域形狀；

（3）改變P0，可控制曲面的峰值點位置；

（4）改變光滑指數(shù)n，可控制變形曲面在邊界處的光滑性；

（5）改變伸縮參數(shù)hij(i,j=1,2,3)，可以控制曲面的伸縮方向和調(diào)整各方向的伸縮幅度，如取h11=h≠0,hij=0(i,j=1,2,3)且 i,j不同時為1，可以控制曲面沿X軸的凹凸變形；改變h11的符號，可以控制曲面沿X軸的正向或負向變形，改變 ||h11的大小，可以控制曲面沿X軸變形的幅度；改變h12,h13的大小，可以控制曲面沿X軸的剪切效果變形，類似可以得到控制曲面沿Y軸、Z軸的剪切效果變形。

3 應用實例

以拋物面 p(u,v)=(u,v,16-u2-v2)為例，分別演示本文方法的實際變形效果及變形控制參數(shù)改變時對曲面形狀的調(diào)控作用。簡單起見，本文實驗選取相同的定義區(qū)域Ω=[-4,4]×[-4,4]，相同的變形中心O'=(0,0,-16)。圖5給出了變形的原始拋物面，圖6～圖14給出了變形效果。圖6～圖7為三邊形區(qū)域的變形效果圖，圖6中三邊形區(qū)域頂點為 P1(-2,-2)，P2(2,-2)，P3(0,2)，單峰值點P0(0,0)，光滑指數(shù)n=3，伸縮參數(shù)h33=1，其余伸縮參數(shù)hij=0；圖7改變圖6中峰值點位置P0(0,-2/3)，其余參數(shù)不變，顯示了峰值點對變形的控制效果。圖8～圖10為四邊形區(qū)域的變形效果圖，四邊形區(qū)域的頂點為 P1(-2,0)，P2(0,-2)，P3(2,0)，P4(0,2)，單峰值點 P0(0.5，0.5)，光滑指數(shù)n=3。圖8中伸縮參數(shù)h33=1，其余伸縮參數(shù)hij=0；圖9中伸縮參數(shù)h33=1，h13=0.05，其余伸縮參數(shù)hij=0；圖10中伸縮參數(shù)h33=1，h31=10，其余伸縮參數(shù)hij=0，這三張圖顯示了伸縮參數(shù)對變形的控制效果。圖11給出了五邊形區(qū)域的變形效果圖，五邊形區(qū)域頂點為P1(-2,1)，P2(-1,-2)，P3(1,-2)，P4(2,1)，P5(0,3)，單峰值點 P0(0,0)，光滑指數(shù)n=1，伸縮參數(shù)h33=-0.5，其余伸縮參數(shù)hij=0，該圖顯示了伸縮參數(shù)為負時的沿Z軸下凸變形效果。圖12為互不相交的兩多邊形區(qū)域的復合變形效果圖，三邊形區(qū)域頂點為 P1(-3,-3)，P2(-1,-3)，P3(-2,-1)，單峰值點P0(-2,-2)，光滑指數(shù)n=2，伸縮參數(shù)h33=h13=1，其余伸縮參數(shù)hij=0，四邊形區(qū)域頂點為 P1(1,1)，P2(3,1)，P3(3,3)，P4(1,3)，單峰值點P0(2,2)，光滑指數(shù)n=2，伸縮參數(shù)h33=1，其余伸縮參數(shù)hij=0。

圖5 原始拋物面

圖6 三邊形區(qū)域變形效果

圖7 峰值點位置對三邊形區(qū)域變形的控制

圖8 四邊形區(qū)域變形效果

圖9 伸縮參數(shù)對四邊形區(qū)域變形的控制（X軸方向）

圖10 伸縮參數(shù)對四邊形區(qū)域變形的控制（Z軸方向）

圖11 五邊形區(qū)域沿Z軸下凸變形效果

圖12互不相交區(qū)域的復合變形

圖13 ～圖14為三個多邊形區(qū)域的疊加變形效果圖。圖13中變形支區(qū)間分別為三邊形、四邊形和五邊形區(qū)域，單峰值點P0(0,0)，光滑指數(shù)n=2，三邊形頂點為 P1(-0.5,-0.5)，P2(0.5,-0.5)，P3(0,1)，伸縮參數(shù)h33=0.2，其余伸縮參數(shù)hij=0；四邊形頂 點 為 P1(-1.5,-1.5)，P2(1.5,-1.5)，P3(1.5,1.5)，P4(-1.5,1.5)，伸縮參數(shù) h33=0.5，其余伸縮參數(shù)hij=0；五 邊 形 頂 點 為 P1(-4,0)，P2(-3,-4)，P3(3,-4)，P4(4,0)，P3(0,4)，伸縮參數(shù) h33=1，其余伸縮參數(shù)hij=0；圖14是對圖13變形效果的進一步控制，分別改變了三邊形和四邊形區(qū)域上的部分伸縮因子。

圖13 不同區(qū)域的疊加變形效果

圖14 伸縮參數(shù)對不同區(qū)域的疊加變形的控制

4 結束語

本文提出的任意凸多邊形區(qū)域上基于多項式的伸縮因子具有已有伸縮因子的特性：能精確控制變形范圍，變形模型簡單、易于操作；控制參數(shù)具有明顯的幾何意義；對于任何參數(shù)曲面均適用，具有普遍性。與現(xiàn)有方法比較，本文方法具有以下優(yōu)點：

(1)可實現(xiàn)任意凸多邊形區(qū)域上的自由變形，變形區(qū)域不再僅為圓域或四邊形區(qū)域；

(2)伸縮因子的構造是基于多項式的，避免了三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)，計算更簡單；

(3)伸縮參數(shù)可實現(xiàn)沿坐標軸的剪切及對疊加變形的進一步控制，變形效果更豐富。

為了使得變形效果更加多樣化、變形方法更加實用化，下一步將研究基于多項式伸縮因子的曲面周期變形以及結合幾何變換的平移和旋轉功能實現(xiàn)曲線曲面自由變形。

參考文獻：

[1]BARR A H.Global and local deformation of solid primitives[J].Computer Graphics,1984,18(3)：21-30.

[2]SEDERBERG T W,PARRY R.Free-form deformations of solid geometric models[J].Computer Graphics,1986,20(4)：151-160.

[3]FENG J Q,MA L Z,PENG Q S.A New free-form deformation through the control of parametric surfaces[J].omputer&Graphics,1996,20(4)：531-539.

[4]WANG X P,YE Z L,HU X M.Shape modification and deformation of parametric surfaces[J].Computer Aided Drafting Design and Manufacture,2002,12(1)：1-7.

[5]WANG X P,LIU S L,ZHANG L Y.Construction surface features through deformation[J].International Journal of Image and Graphics,2010,10(1)：41-56.

[6]宋來忠，彭剛，楊文穎,等.用于參數(shù)曲線自由變形的新的伸縮因子[J].工程圖學學報,2009,30(3)：87-93.

[7]宋來忠，彭剛，楊文穎.具有區(qū)間峰值的曲面伸縮因子及其實驗[J].計算機工程與應用,2009,45(7)：187-190.

[8]宋來忠，彭剛，沈艷軍.參數(shù)曲面多邊形區(qū)域上變形的伸縮因子及其實驗[J].計算機工程與應用,2011,47(12)：192-195.

[9]陸友太，周來水，王志國，等.基于多項式伸縮因子的參數(shù)曲面自由變形[J].中國機械工程,2012,23(5)：609-613.

[10]陸友太，周來水，王志國，等.基于脊曲線控制的參數(shù)曲面周期變形[J].中國機械工程,2012,23(15)：1860-1864.

[11]李軍成.基于伸縮因子的代數(shù)曲線曲面變形方法[J].計算機工程與科學,2016,38(6)：1225-1230.

[12]張莉,余慧芳,檀結慶.凸多邊形域上的參數(shù)曲面自由變形[J].計算機輔助設計與圖形學學報,2015,27(5)：892-899.

[13]張莉,葛先玉,檀結慶.矩形域上的參數(shù)曲面自由變形算法[J].計算機研究與發(fā)展,2016,53(5)：1118-1127.