羅 倩，周菊玲

（新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017）

逆伽馬分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)中一種重要的連續(xù)概率函數(shù)。目前，許多學(xué)者在數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)以及可靠性分析領(lǐng)域?qū)δ尜ゑR分布進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)研究，取得了豐碩的成果。文獻(xiàn)［1］丁新月等在Mlinex損失函數(shù)下對(duì)逆伽馬分布尺度參數(shù)進(jìn)行了Bayes估計(jì)；文獻(xiàn)［2］張永利對(duì)伽馬分布及其相關(guān)分布性質(zhì)的一點(diǎn)研究，得出伽馬分布和指數(shù)分布、卡方分布以及均勻分布等分布之間的關(guān)系；文獻(xiàn)［3］慈教進(jìn)做了消費(fèi)者伽馬模型與演化訪問(wèn)行為模型及參數(shù)擬合比較；文獻(xiàn)［4］杜玲玲等研究了對(duì)數(shù)伽馬分布的尾部性質(zhì)；文獻(xiàn)［5］張永全等基于廣義伽馬分布的系統(tǒng)可靠性增長(zhǎng)預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)了系統(tǒng)的未來(lái)失效時(shí)間。

在對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)作統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，常常會(huì)遇到數(shù)據(jù)缺失的情況，對(duì)缺失數(shù)據(jù)的樣本的統(tǒng)計(jì)分析變得十分重要。對(duì)缺失數(shù)據(jù)樣本的研究也有很多，比如文獻(xiàn)［6］廖娟芬等對(duì)具有缺失數(shù)據(jù)的多個(gè)泊松總體的檢驗(yàn)，還對(duì)兩個(gè)總體的分布是否一致的似然比統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行了檢驗(yàn)；文獻(xiàn)［7］王莉等對(duì)具有缺失數(shù)據(jù)的兩個(gè)0-1分布總體參數(shù)的估計(jì)和檢驗(yàn)；文獻(xiàn)［8］趙志文等對(duì)具有缺失數(shù)據(jù)的兩個(gè)冪分布總體參數(shù)的矩估計(jì)與檢驗(yàn)；文獻(xiàn)［9］馮鳳飛等對(duì)具有缺失數(shù)據(jù)的兩個(gè)艾拉姆咖分布總體參數(shù)的估計(jì)和檢驗(yàn)，給出了兩總體參數(shù)之差的置信區(qū)間和假設(shè)檢驗(yàn)。文獻(xiàn)［10］龍兵等對(duì)具有缺失數(shù)據(jù)的兩個(gè)Pareto分布總體參數(shù)的估計(jì)與檢驗(yàn)。利用極大似然估計(jì)方法對(duì)具有缺失數(shù)據(jù)的兩個(gè)逆伽馬分布總體參數(shù)的推斷和假設(shè)檢驗(yàn)的相關(guān)研究還沒(méi)有成果，所以文章就此討論這個(gè)問(wèn)題。

1 極大似然估計(jì)及其漸進(jìn)性質(zhì)

設(shè)觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)自兩個(gè)逆伽馬分布總體，其概率密度函數(shù)為

其中α為形狀參數(shù)，λ1，λ2為尺度參數(shù)，文章假設(shè)形狀參數(shù)α已知。

依次對(duì)兩個(gè)總體進(jìn)行n次獨(dú)立觀測(cè)，從每個(gè)總體中抽取樣本進(jìn)行觀測(cè)時(shí)，每次以概率P被觀測(cè)，以概率1-P被丟失。記取自第一個(gè)分布總體（1）的觀測(cè)值為(Xi,δi),i=1,2,…,n.Xi是來(lái)自第一個(gè)總體的第i個(gè)樣本壽命.若觀測(cè)到具體的值時(shí)記δi=1，若丟失記δi=0，記來(lái)自第二個(gè)總體（2）的觀測(cè)值為(Yi,ηi),i=1,2,…n.Yi是來(lái)自第二個(gè)總體的第i個(gè)樣本壽命，若可觀測(cè)到具體的值時(shí)記ηi=1,若丟失記為ηi=0。

下面對(duì)未知參數(shù)λ1用極大似然估計(jì)，取上面一組觀測(cè)值(Xi)，δi，i=1,2,…,n，有如下的似然函數(shù)為：

將似然函數(shù)取對(duì)數(shù)，則：

兩邊對(duì)λ1求導(dǎo)為：

同理，取來(lái)自第二個(gè)分布總體的一組樣本觀測(cè)值(Yi,ηi),i=1,2,…,n.能得出參數(shù)λ2的極大似然估計(jì)為：

有了參數(shù)λ1的極大似然估計(jì)，下證相合性與漸進(jìn)正態(tài)性。

定理1.1 來(lái)自伽馬分布總體（1）的一組觀測(cè)值(Xi,δi),i=1,2,…,n.則

證明：由于{Xiδi,1≤i≤n}為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，則由強(qiáng)大數(shù)定律可知

其中

同理

即

引理1.1[11]記Tn=(T1n,…,Tkn)T，θ=(θ1,…,θk)T，設(shè)

其中Σ=(σij)k×k.又設(shè)g(t1,…,tn)對(duì)各ti有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)n→∞時(shí)，有

令

則

所以由引理1.1可得到

其中

所以

2 兩尺度參數(shù)之差的區(qū)間估計(jì)及參數(shù)之比的假設(shè)檢驗(yàn)

在實(shí)際問(wèn)題中，常常會(huì)比較兩個(gè)參數(shù)的大小，這樣就可以歸結(jié)到參數(shù)之差的置信區(qū)間問(wèn)題，這樣可以得到如下的定理。

定理2.1 在前面的記號(hào)下，若是(3)式所給出的λ1的極大似然估計(jì)，是(4)式所給出的λ2的極大似然估計(jì)。若0＜μ＜1，則λ1-λ2的置信水平為1-μ的近似置信區(qū)間為

其中Zμ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的μ下分位數(shù)。

所以

同理

又因?yàn)橄嗷オ?dú)立，所以

所以λ1-λ2的置信水平為1-μ的置信區(qū)間為

（1）對(duì)于假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題

當(dāng)H0成立時(shí)

對(duì)于給定的顯著性水平μ( )0＜μ＜1，檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?/p>

（2）對(duì)于假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題

同樣地，對(duì)于給定的顯著性水平μ( )0＜μ＜1，檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?/p>

（3）對(duì)于假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題

同樣地，對(duì)于給定的顯著性水平μ( )0＜μ＜1，檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?/p>

3 結(jié)語(yǔ)

在實(shí)際問(wèn)題中，通過(guò)對(duì)具體數(shù)據(jù)隨機(jī)抽取觀測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)總體參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)，得到參數(shù)估計(jì)的置信區(qū)間，能更好的得到統(tǒng)計(jì)分析的可靠度。

參考文獻(xiàn)：

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