邢婷文

（廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 廣州 510403）

元素取自于集合{1，-1，0}的矩陣稱為符號模式矩陣。設(shè)Rn×n表示所有n階實(shí)矩陣的集合。設(shè)A∈Rn×n，以sign（A）記把實(shí)矩陣A的所有正元和負(fù)元分別替換為“1”和“-1”所得的符號模式矩陣。對于一個(gè)n階符號模式矩陣S，記S的符號模式矩陣類為：Q(S)={A∈Rn×n:sign(A)=S}.

在過去的二十多年，有大量的研究關(guān)注于包括符號模式矩陣在內(nèi)的矩陣特征問題［1］，其中包含了“要求”或“允許”給定性質(zhì)的相關(guān)問題［2，3］。對于一個(gè)給定的性質(zhì)φ，一個(gè)符號模式矩陣S稱為“要求φ”，如果任意的A∈Q(S)均滿足性質(zhì)φ;而S稱為“允許φ”，如果存在一個(gè)A∈Q(S)其滿足性質(zhì)φ（見文獻(xiàn)［6］）。同時(shí)，關(guān)于各類矩陣（特別是非負(fù)矩陣）其非零元數(shù)目的界和極矩陣刻畫問題一直備受關(guān)注（見［5］及其引文）。在近年來，越來越多的文獻(xiàn)關(guān)注于要求（或允許）給定性質(zhì)的符號模式矩陣其非零元的數(shù)目［3，4］。例如：確定“要求屬于某個(gè)n階譜任意符號模式矩陣類”的符號模式矩陣其非零元的最小數(shù)目（即著名的2n-猜想［4］）；尋找“允許屬于某個(gè)n階慣量任意符號模式矩陣類”的符號模式矩陣其非零元的最小數(shù)目等。

記Zn為所有非主對角線位置的元素均是非正的n階實(shí)矩陣的集合。一個(gè)n階實(shí)矩陣A稱為N-矩陣，如果其所有主子式是負(fù)的；A稱為P-矩陣，如果其所有主子式是正的;A稱P0-為陣，如果其所有主子式是非負(fù)的；一個(gè)n階矩陣A稱為M-矩陣，如果A∈Zn且A是正穩(wěn)定的（文章均假設(shè)M-矩陣是非奇異的）；一個(gè)n階非奇異矩陣A稱為逆M-矩陣，如果A-1是M-矩陣。分別把所有n階N-矩陣，P-矩陣，P0-矩陣，M-矩陣和逆M-矩陣所成之集稱為N-矩陣類，P-矩陣類，P0-矩陣類，M-矩陣類和逆M-矩陣類。

文章研究“要求（或允許）分別屬于N-矩陣類，P-矩陣類，P0-矩陣類，M-矩陣類和逆M-矩陣類”的符號模式矩陣其非零元數(shù)目的上、下界和極矩陣刻畫問題。

1 要求（或允許）給定性質(zhì)的符號模式矩陣其非零元的數(shù)目

記一個(gè)符號模式矩陣S的非零元數(shù)目為σ(S).

1.1 要求（或允許）屬于N-矩陣類

若一個(gè)（符號模式）方陣其非主對角線上的元素都是零，則稱其為對角（符號模式）方陣。設(shè)D是一個(gè)主對角線上的元素均非零的對角（符號模式）方陣，稱P和DPD是對角相似的，其中D和P是階數(shù)相同的（符號模式）方陣。顯然，DPD也是一個(gè)（符號模式）方陣。設(shè)

引理1.1［8］任一n階N-矩陣必對角相似于一個(gè)N-矩陣A∈Sn.

定理1.2 設(shè)S是“允許屬于N-矩陣類”的n階符號模式矩陣，則σ(S)=n2，且S對角相似于sign(A)，其中A∈Sn.

證明 依定理?xiàng)l件，存在一個(gè)N-矩陣B∈Q(S)，根據(jù)引理1.1，B對角相似于一個(gè)N-矩陣A∈Sn，即存在對角方陣D使得A=DBD.從而，sign(A)=ESE，其中E=sign(D).故S對角相似于sign(A)，且由A∈Sn可導(dǎo)出σ(S)=n2.

設(shè)A是一個(gè)n階（符號模式）矩陣，記選取A的若干行α及若干列β的子（符號模式）矩陣為A[α|β]，其中α,β?{1,…,n}.特別地，簡記選取A的若干行α及對應(yīng)列的主子（符號模式）矩陣A[α|α] 為A[α].

定理1.3 設(shè)S是“要求屬于N-矩陣類”的1階符號模式矩陣，則S=(- 1)且σ(S)=1.另外，不存在“要求屬于N-矩陣類”的n階符號模式矩陣，其中n≥2.

證明 若S是“要求屬于N-矩陣類”的1階符號模式矩陣，則S=(- 1)且σ(S)=1.顯然成立。下面用反證法說明n≥2時(shí)的結(jié)論。不妨設(shè)存在一個(gè)“要求屬于N-矩陣類的n階符號模式矩隊(duì)S=(sij)，其中n≥2.因?yàn)槿魏我粋€(gè)A=(aij)∈Q(S)都是N-矩陣，所以A的所有主子式都是負(fù)的，從而det(A[{i}])＜0，故sii=-1，其中i∈{1,…,n}.下面對主子符號模式矩陣S[{1,2}]分類討論。

情形1s12=0或s21=0.對于任一A∈Q(S),det(A[{1，2} ]）=a11a12＞0，與A是N-矩陣矛盾。

1.2 要求（或允許）屬于P-矩陣類

設(shè)R（nm）表示主對角線上的元素均是1，且恰有m個(gè)非零元在非主對角線的位置的n階符號模式矩陣之集，其中0≤m≤n2-n.

定理1.4 設(shè)S是“允許屬于P-矩陣類”的n階符號模式矩陣，則n≤σ（S）≤n2，且σ(S)=k當(dāng)且僅當(dāng)S∈R（nk-n），其中k∈{n,n+1,…,n2}.

證明 因?yàn)榇嬖谝粋€(gè)P-矩陣A∈Q(S)，所以對于任意的α?{1,2,…,n}，det(A[α] )＞0。特別地，對i∈{1,…,n}均有det(A[{i} ] )＞0.從而?i∈{1,…,n}，sii=1,故n≤σ(S)≤n2.

下面，證明σ(S)=k當(dāng)且僅當(dāng)S∈Rn(k-n)，其中k∈{n,n+1,…,n2}.

這亦說明了n≤σ(S)≤n2是最好的上、下界。

一方面，如果σ(S)=k，注意到sii=1(i∈{1,…,n})，故恰有k-n個(gè)非零元在非主對角線的位置，即S∈Rn(k-n).另一方面，若S∈Rn(k-n)，易見σ(S)=k，故只需驗(yàn)證S是“允許屬于P-矩陣類”的n階符號模式矩陣Bε=（bij）是一個(gè)n階實(shí)矩陣，其中ε是一個(gè)正實(shí)數(shù)，

顯然，Bε∈Q(S).那么，對于任意的α?{1,…,n}，de（tBε[α])=1+pα(ε)，其中pα(ε)是一個(gè)零多項(xiàng)式或關(guān)于ε的無常數(shù)項(xiàng)多項(xiàng)式。從而，取充分接近于0的正實(shí)數(shù)ε，使得pα(ε)趨向于0，故 det(Bε[α])＞0.因此Bε是一個(gè)P-矩陣。

定理1.5 設(shè)S是“要求屬于P-矩陣類”的n階符號模式矩陣，則σ(S)≥n，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)S∈Rn(0).

證明 因?yàn)槿我獾腁∈Q(S)都是P-矩陣，所以對i∈{i, …,n}均有det(A[{i}])＞0.從而sii=1(i∈{1,…,n})，故σ(S)≥n.

若σ(S)=n，易見S∈Rn(0).反之，如果S∈Rn(0)，則S是一個(gè)主對角線上元素均是1的對角符號模式矩陣，從而對于任意的A∈Q(S)，都有det(A[α])＞0，其中α?{1,…,n}.因此，S是“要求屬于P-矩陣類”的n階符號模式矩陣且σ(S)=n.

令Un=(uij)和分別為n階的符號模式矩陣，其中

引理1.6 對于所有A∈)，均有 det(A)＞0.

證明 將用數(shù)學(xué)歸納法對階數(shù)n歸納證明：det(An)＞0，其中An=(aij)∈).當(dāng)n=1時(shí)，因?yàn)閍11＞0，易見det(A1)=a11＞0.假設(shè)結(jié)論當(dāng)n≤p-1時(shí)均成立，下面考慮n=p的情形，其中p≥2.通過在第一列處展開行列式det(Ap)，有

命題1.7 存在“要求屬于P-矩陣類”的n階符號模式矩陣S滿足σ(S)=k，其中且n≥2.

對于k∈，記X(k)為把Un中位于的0元替換為-1所得的n階符號模式矩陣，顯然，，對于任意的矩陣A=(aij)∈Q(X(k))，任取{i1,…,it}?{1,2,…,n}(t=1,2,…,n)（不失一般性，假設(shè)＜ip+1＜it且P∈{0,1,…,t})，那么

注意到：A[{i1,…,ip}]∈Q(Un*)，故根據(jù)引理1.6可得：

又因?yàn)閍ii＞0(i∈ {1,…,n} )，所以det(A[{i1,…,it}])＞0，其中{i1,…,it}?{1,…,n}，綜上可得：任意的A∈Q(X(k))均是P-矩陣，故存在“要求屬于P-矩陣類”的n階符號模式矩陣X(k)其滿足σ(X(k))=k.

1.3 要求（或允許）屬于P0-矩陣類

以O(shè)n表示n階零符號模式矩陣，即其所有元素都是0的符號模式矩陣。

定理1.8 設(shè)S是“允許屬于P0-矩陣類”的n階符號模式矩陣，0≤σ(S)≤n2，且第1個(gè)等號成立當(dāng)且僅當(dāng)S=On，第2個(gè)等號成立當(dāng)且僅當(dāng)S∈Rn(n2-n).

證明 顯然，對于任意的n階符號模式矩陣S均有O≤σ(S)≤n2，若σ(S)=0，則S=On;

反之，對于A∈Q(On)的所有主子式均為零，故On是“允許屬于P0-矩陣類”的n階符號模式矩陣。因此，σ(S)=0，當(dāng)且僅當(dāng)S=On.下面，將證明σ(S)=n2當(dāng)且僅當(dāng)S∈Rn(n2-n).

一方面，因?yàn)榇嬖谝粋€(gè)P0-矩陣A∈Q(S)，所以 ?i∈{1,…,n}，det(A[{i}])≥0.若σ(S)=n2，則sii=1(?i∈ {1,…,n}).注意到：σ(S)=n2，即恰有n2-n非零元位于非主對角線位置，從而S∈Rn{n2-n}.

另一方面，若S∈Rn{n2-n}，則σ(S)=n2，現(xiàn)只需驗(yàn)證S是“允許屬于P0-矩陣類”的n階符號模式矩陣。令A(yù)ε=(aij)是一個(gè)n階實(shí)矩陣，其中

注意到：Aε∈Q(S)，且 det(Aε[α] )=1+Pα(ε)(?α?{1,…,n})，其中Pα(ε)是一個(gè)關(guān)于ε的無常數(shù)項(xiàng)多項(xiàng)式。因此，取充分接近于0的正實(shí)數(shù)ε，使得Pα(ε)趨向于0，故 det(Aε[α])＞0.因此Aε是一個(gè)P0-矩陣。

命題1.9 存在“允許屬于P0-矩陣類”的n階符號模式矩陣S滿足σ(S)=k，其中k∈{1 , 2,…,n2-1}.

證明 若k∈{1,2,…,n-1,n}，令為一個(gè)n階符號模式矩陣，其中，而其余位置為0.顯然σ(S(k))=k，且對于任意的A∈Q(S(k))其所有的主子式均是非負(fù)的。故S(k)是“要求屬于P0-矩陣類”的，從而亦是“允許屬于P0-矩陣類”的n階符號模式矩陣。

若k∈{n+1,n+2,…,n2-1}，根據(jù)定理1.4，S∈R（nk-n）是“允許屬于P-矩陣類”的，自然也是“允許屬于P0-矩陣類”的n階符號模式矩陣。

定理1.10 設(shè)S是“要求屬于P0-矩陣類”的n階符號模式矩陣，則σ(S)≥0，且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)

S=On.另外，存在“要求屬于P0-矩陣類”的n階符號模式矩陣S滿足σ(S)=k，其中

證明 顯然，σ(S)≥0.若σ(S)=0，則S=On另一方面，任意的A∈Q(On)其所有主子式都為零，因此On是“要求屬于P0-矩陣類”的n階符號模式矩陣且σ(On)=0.故σ(S)=0當(dāng)且僅當(dāng)S=On.

當(dāng)k∈{1,2,…,n-1,n} 時(shí)，令Sk=()為一個(gè)n階符號模式矩陣，其中=…==1，而其余位置為0.由命題1.9的證明過程知：S(k)是“要求屬于P0-矩陣類”的n階符號模式矩陣。

足σ(S)=k，從而S亦是“要求屬于P0-矩陣類”的n階符號模式矩陣。

注1.11 根據(jù)命題1.7和定理1.10，猜想:

其中S是“要求屬于P-矩陣類（或P0-矩陣類）”的n階符號模式矩陣。

下面，證明上述猜想當(dāng)n=1，2，3時(shí)是正確的。

定理1.12 設(shè)S=(sij)是“要求屬于P-矩陣類（或P0-矩陣類）”的n階符號模式矩陣，其中n=1，2，3.則

證明 當(dāng)n=1或2時(shí)，顯然，

當(dāng)n=3時(shí)，用反證法，假設(shè)，從而sij=1或-1(?i，j∈{1,2,3}).

斷言1sij=1(i=1,2,3).因?yàn)镾=(sij)是“要求屬于P-矩陣類（或P0-矩陣類）”的n階符號模式矩陣，所以對于任意的A∈Q(S)及i∈{1，2，3}，det(A[{i}])＞0（或det(A[{i}])≥0），故結(jié)合條件σ(S)=9可得：sii=1.

斷言2sij=-s（ji?i≠j）用反證法，不失一般性，假設(shè)s12=s21.結(jié)合斷言1可知：

S[{1,2}]顯然A∈Q(S).容易計(jì)算得：det(A[{1,2}])=-1＜0，其與A∈Q(S)是一個(gè)P-矩陣（或P0-矩陣）矛盾。

令易見A∈Q(S).直接計(jì)算可得：det(A)=-77＜0，與A∈Q(S)是一個(gè)P-矩陣（或）P0-矩陣）矛盾。

1.4 要求（或允許）屬于M-矩陣類

引理1.13［6］A∈是一個(gè)M-矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A是一個(gè)P-矩陣。

以Nn(m)表示主對角線上元素均是1，且恰有m個(gè)負(fù)元位于非主對角線位置的n階符號模式矩陣之集，其中0≤m≤n2-n.

定理1.14 設(shè)S是“允許屬于M-矩陣類”的n階符號模式矩陣，則n≤σ(S)≤n2.另外，σ(S)=k當(dāng)且僅當(dāng)S∈Nn(k-n)，其中k∈{n,n+1…,n2}.

證明 因?yàn)榇嬖谝粋€(gè)M-矩陣A∈Q(S)，結(jié)合引理1.13可得：A∈Zn且A是一個(gè)P-矩陣。根據(jù)定理1.4的證明過程可得：sii=1(?i∈{1,…,n} ).又由于A∈Zn，故sij=0或-1，其中i,j∈{1,…,n} 且i≠j，因此，n≤σ(S)≤n2.

若σ(S)=k，注意到：?i∈{1,…,n}，sii=1，故恰有k-n個(gè)負(fù)元位于非主對角線位置，即S∈Nn(k-n)，其中k∈{n,n+1,…,n2}.

反之，若S∈Nn(k-n)，顯然σ(S)=k，現(xiàn)只需證明S是“允許屬于M-矩陣類”的n階符號模式矩陣。令Bε=(bij)是一個(gè)n階實(shí)矩陣，其中

注意到：Bε∈Q(S)且扎Bε∈Zn.類似于定理1.4的證明，可證得對于充分接近于0的常數(shù)ε，Bε是一個(gè)P-矩陣。再結(jié)合引理1.13，可得：Bε∈Q(S)是一個(gè)M-矩陣。故S是“允許屬于M-矩陣類”的n階符號模式矩陣。

定理1.15 設(shè)S是“要求屬于M-矩陣類”的n階符號模式矩陣，則σ(S)≥n，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)S∈Nn(0).

證明 因?yàn)槊恳粋€(gè)實(shí)矩陣A∈Q(S)均是M-矩陣，所以根據(jù)引理1.13知：A∈Zn且A是一個(gè)P-矩陣。從而?i∈{1,2,…,n}，det(A[{i} ] )=aii＞0，這便導(dǎo)出了sii=1.因此σ(S)≥n.

若σ(S)=n，則S∈Nn(0).反之，若S∈Nn(0)，則對于任意的A∈Q(S)，有 det(A[α] ) ＞0，且A∈Zn，其中α?{1,…,n}.因此S是“要求屬于M-矩陣類”的n階符號模式矩陣且σ(S)=n.

令V=(vij)一個(gè)n階符號模式矩陣，其中

命題1.16 存在“要求屬于M-矩陣類”的n階符號模式矩陣S滿足σ(S)=k，其中

定理1.17 設(shè)S是“要求屬于M-矩陣類”的n階符號模式矩陣，則

證明 用反證法，假設(shè)S是“要求屬于M-矩陣類”的n階符號模式矩陣但

由定理1.15的證明過程可知：sii=1且sij=0或-1，其中i，j∈{1,…,n} 且i≠j.因?yàn)椋灾辽俅嬖谝粚υ豷kl=slk=-1，其中k≠l.考察子符號模式矩陣S，令A(yù)∈Q(S)滿足.直接計(jì)算得：det(A[{k，l} ] )=-3＜0，與A∈Q(S)是一個(gè)M-矩陣矛盾。定理得證。

1.5 要求（或允許）屬于逆M-矩陣類

一個(gè)n階實(shí)矩陣A稱為可約的，如果n≥2且存在某個(gè)n階置換矩陣P使得:，其中B和D都是方陣；如果n=1且A=(0).否則，稱A為不可約的。一個(gè)n階符號模式矩陣S稱為可約（或不可約）的，如果所有的矩陣A∈Q(S)都是可約（或不可約）的。

引理1.18［9］設(shè)S=(sij)是一個(gè)n階符號模式矩陣，且其Frobenius標(biāo)準(zhǔn)型為:

其中S11,S22，…,Skk，分別是q1,q2,…,qk階的不可約符號模式矩陣。若存在一個(gè)逆M-矩陣A∈Q(S)，則S11，S22，…，Skk都是全正符號模式矩陣（即其所有的元素都是1），且Sij(i≠j)是全正或零符號模式矩陣。反之，若Sij(j≥i)都是全正符號模式矩陣，則存在一個(gè)逆M-矩陣A∈Q(S).

記n階單位矩陣為In，而n階全正矩陣為Jn.

引理1.19［9］給定實(shí)數(shù) 0＜a＜1，則n階實(shí)矩陣Cnα=(1-α)In+αJn是一個(gè)逆M-矩陣。

定理1.20 設(shè)S是“允許屬于逆M-矩陣類”的n階符號模式矩陣，且其Frobenius標(biāo)準(zhǔn)型如式（1）所示，則

上式第1個(gè)等號成立當(dāng)且僅當(dāng)Sii(1≤i≤k)均是全正符號模式矩陣，且Sij(1≤i＜j≤k)都是零符號模式矩陣，上式第2個(gè)等號成立當(dāng)且僅當(dāng)Sij(1≤i≤j≤k)都是全正符號模式矩陣。

證明 若S是“允許屬于逆M-矩陣類”的n階符號模式矩陣，根據(jù)引理1.18，S11，S22，…，Skk都是全正符號模式矩陣，且Sij(i≠j)是全正或零符號模式矩陣。于是，有.另外，易見上式第1個(gè)和第2個(gè)等號成立的必要性是顯然的。

對于上式第1個(gè)等號的充分性，若Sii(1≤i≤k)均是全正符號模式矩陣，且Sij(1≤i＜j≤k)都是零符號模式矩陣，則只需證明S是“允許屬于逆M-矩陣類”的n階符號模式矩陣。令

其中0＜α＜1.顯然，C∈Q(S)，結(jié)合引理1.19不難證得：C是一個(gè)逆M-矩陣。

對于上式第2個(gè)等號的充分性，若Sij(1≤i≤j≤k)都是全正符號模式矩陣，容易計(jì)算又根據(jù)引理1.18，必存在一個(gè)逆M-矩陣A∈Q(S)，即S是“允許屬于逆M-矩陣類”的n階符號模式矩陣。

定理1.21 設(shè)S是“要求屬于逆M-矩陣類”的n階符號模式矩陣，貝σ(S)≥n，且上式的等號是可達(dá)的。

證明 如果S是“要求屬于逆M-矩陣類”的n階符號模式矩陣，那么任意的A∈Q(S)均是非奇異的，故A至少含有n個(gè)非零元，從而σ(S)≥n.考察n階符號模式矩陣sign(In)，易見σ(s i gn(In))=n.下證 sign(In)是“要求屬于逆M-矩陣類”的n階符號模式矩陣。對于任意的A=(aij)∈Q(sign(In))，不難發(fā)現(xiàn)：

因?yàn)椋?(i=1,2,…,n)且A，A-1∈Zn，所以A-1是一個(gè)P-矩陣，從而也是一個(gè)M-矩陣，故任意的A∈Q(sign(In))是一個(gè)逆M-矩陣。

參考文獻(xiàn)：

［1］C.R.Johnson，Combinatorial matrix analysis:an overview［J］.Linear Algebra Appl.1988，（107）：3-15.

［2］M.Catral，D.D.Olesky，P.van den Driessche，Allow problems concerning spectral properties of sign pattern matrices:A survey［J］.Linear Algebra Appl.2009，（430）：3080-3094.

［3］C.Mendes Araiijo，J.R.Torregrosa，Sign pattern matrices that admit M-，N-，P-or inverse M-matrices［J］.Linear Algebra Appl.2009，（431）：724-731.

［4］T.Britz，J.J.McDonald，D.D.Olesky，P.van den Driessche，Minimal spectrally arbitrary sign patterns，SIAM［J］.Matrix Anal.Appl.2004，（26）：257-271.

［5］M.Fang，A.Wang，Possible numbers of positive entries of imprimitive nonnegative matrices［J］.Linear and Multilinear Algebra 2007，（55）：399-404.

［6］A.Berman，R.J.Plemmons，Nonnegative Matrices（非負(fù)矩陣）in the Mathematical Sciences［M］.SIAM，1994.

［7］M.Lewin，M.Neumann，On the inverse M-matrix problem for（0，1）-matrices［J］.Linear Algebra Appl.1980，（30）：41-50.

［8］C.Mendes Araujo，J.R.Torregrosa，A.M.Urbano，N-matrix completion problem［J］.Linear Algebra Appl.2003，（372）：111-125.

［9］方保镕，等，矩陣論［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2013.