羅元皓

(北京交通大學(xué)附屬中學(xué)高三(8)班 100081)

眾所周知，對(duì)于任意一個(gè)存在一階和二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)(三角函數(shù)總是存在的)，其一階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的極值點(diǎn)，再結(jié)合二階導(dǎo)數(shù)就可判斷出極大值與極小值.二階導(dǎo)數(shù)大于0的點(diǎn)為極小值，否則為極大值.而且，對(duì)于周期的三角函數(shù)，這些極大(小)值點(diǎn)連接起來(lái)就是一條平行于橫軸的直線，而且一定存在許多這樣的極值點(diǎn).因此，相鄰兩個(gè)極大(小)值點(diǎn)之間的距離對(duì)應(yīng)的就是該三角函數(shù)的周期.其實(shí)，對(duì)于周期函數(shù)，這些極大值與極小值一定是交替出現(xiàn)且等間隔的，所以，其周期就是任意兩個(gè)相鄰極值點(diǎn)間距離的2倍(此時(shí)，就無(wú)須再區(qū)分極大值與極小值).

確定了極大值與極小值的取值點(diǎn)，單調(diào)區(qū)間也就確定了.一階導(dǎo)數(shù)大于0即單調(diào)遞增區(qū)間，也就是區(qū)間 [極小值點(diǎn)，右邊相鄰極大值點(diǎn)]；一階導(dǎo)數(shù)小于0即單調(diào)遞減區(qū)間，也就是區(qū)間 [極大值點(diǎn)，右邊相鄰極小值點(diǎn)].

實(shí)例求下列三角函數(shù)的周期：

(1)sin2x；

(2)sin2x+cos2x；

(3)3sin2x+5cos2x.

解法1(直接法) 利用sinωx和cosωx的周期均為2π/ω，先確定三角函數(shù)的ω，或者將三角函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算合并為一個(gè)角的一種三角函數(shù)后再直接使用公式2π/ω求解即可.

(1)sin2x的ω=2，周期T=π.

(2)sin2x和cos2x的周期均為π，故sin2x+cos2x的周期也是π.

或者，利用三角函數(shù)和差與積的關(guān)系進(jìn)行變換

sin2x+cos2x

(3)3sin2x和5cos2x的周期均為π，故3sin2x+5cos2x的周期也是π.

3sin2x+5cos2x

解法2(導(dǎo)數(shù)法) 對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，其一階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)是極值點(diǎn).而對(duì)于周期函數(shù)，這些極大(小)值點(diǎn)連接起來(lái)就是一條平行于橫軸的直線，而且一定存在許多這樣的極值點(diǎn).因此，相鄰兩個(gè)極大(小)值點(diǎn)之間的距離對(duì)應(yīng)的就是該函數(shù)的周期.極大值與極小值可利用二階導(dǎo)數(shù)的極性來(lái)進(jìn)行判斷，二階導(dǎo)數(shù)大于0為極小值，否則為極大值.其實(shí)，對(duì)于周期函數(shù)，這些極大值與極小值一定是交替出現(xiàn)的，所以，其周期就是任意兩個(gè)相鄰極值點(diǎn)間距離的2倍.

(1)sin2x的一階導(dǎo)數(shù)是2cos2x，二階導(dǎo)數(shù)是-4sin2x.

單調(diào)遞減區(qū)間

單調(diào)遞增區(qū)間

(2)y=sin2x+cos2x的一階導(dǎo)數(shù)是y′=-2sin2x+2cos2x，二階導(dǎo)數(shù)是y″=-4sin2x-4cos2x.

單調(diào)遞減區(qū)間

單調(diào)遞增區(qū)間

(3)y=3sin2x+5cos2x的一階導(dǎo)數(shù)是y′=-6sin2x+10cos2x，二階導(dǎo)數(shù)是y″=-12sin2x-20cos2x.

單調(diào)遞減區(qū)間

單調(diào)遞增區(qū)間

小結(jié)導(dǎo)數(shù)法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解方程問(wèn)題，且同時(shí)很容易就能得到三角函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間，更加方便可行.

參考文獻(xiàn)：

[1]蘇飛文，洪麗敏。探究導(dǎo)數(shù)思想在三角函數(shù)性質(zhì)中應(yīng)用[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2013.