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        差比型數(shù)列前n項和公式

        2018-05-09 06:02:48楊春猛
        數(shù)理化解題研究 2018年4期
        關(guān)鍵詞:化簡通項評析

        楊春猛

        (云南省玉溪第三中學(xué) 653100)

        一、問題的提出

        處理高中數(shù)學(xué)中“等差乘以等比”型數(shù)列的主要方法是錯位相減法,在具體計算過程中計算方法是比較容易掌握的,計算化簡過程卻比較復(fù)雜,很多學(xué)生不容易計算出正確的結(jié)果,筆者針對這一問題推導(dǎo)出一個方便記憶和計算的公式,以方便大家使用.

        二、公式

        三、應(yīng)用

        設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a3=5,S5=25.

        (1)求數(shù)列{an}的通項公式;

        (2)設(shè)bn=an2an,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

        解(1)略.

        (2)由(1)知,bn=an2an=(2n+1)22n+1=(4n+2)4n,

        則Tn=6·41+10·42+14·43+…+(4n+2)4n,

        4Tn=6·42+10·43+14·44+…+(4n+2)4n+1.

        (*)

        評析上述公式在使用時的技巧性在于分子的q2往上乘時,等差等比各乘一個q.

        例2 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,且對任意正整數(shù)n,滿足2an+1+Sn-2=0.

        (1)求數(shù)列{an}的通項公式;

        例3 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,(an-Sn-1)2=Sn·Sn-1(n≥2),且a1=1,a2>0.

        (1)求a2的值,并證明{Sn}的等比數(shù)列;

        (2)設(shè)bn=(-1)nlog2Sn,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn.

        解(1)略.(2)由(1)知,Sn=4n-1.

        ∴bn=(-1)n(2n-2),

        四、推導(dǎo)過程

        cn=anbn,

        所以Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn

        qSn=a1b2+a2b3+a3b4+…+an-1bn+anbn+1

        所以c0=a0b0,就是cn中的n取0時的值.

        參考文獻:

        [1]藍云波. 差比型數(shù)列前n項和的三種求解方法[J]. 中學(xué)生數(shù)理化:高二高三版, 2016(1):8-8.

        [2]于克清. 探究差比型數(shù)列求和的方法[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考, 2016(Z3):82-83.

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