王亭朝

(河北省衡水市第一中學(xué) 053000)

著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授曾指出：“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非.”由此可見，數(shù)和形在數(shù)學(xué)題目的解答中是不可或缺的重要兩個組成部分.向量既是代數(shù)的載體，又是幾何的載體，更是數(shù)形結(jié)合的重要載體，因此，數(shù)形結(jié)合思想在向量中得到了充分的體現(xiàn).本文通過一道平面向量題目剖析如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題，供大家參考.

一、坐標(biāo)法，以“形”助“數(shù)”

平面向量具有代數(shù)和幾何的雙重特征，比如平面向量運(yùn)算的平行四邊形法則、三角形法則等都可以認(rèn)為是從幾何的角度來研究平面向量，而引入坐標(biāo)后，就可以通過代數(shù)的方法來研究平面向量，凸顯了平面向量的代數(shù)特征.在處理很多與平面向量有關(guān)的問題時，通過建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，坐標(biāo)化是一種常見的思路，利用坐標(biāo)可以使許多問題變得更加簡捷.此題由所給圖形建系，只要將向量關(guān)系式用坐標(biāo)來表示，問題的本質(zhì)將看得更清楚，即將抽象的幾何問題(“形”)轉(zhuǎn)化為純粹的代數(shù)運(yùn)算(“數(shù)”).而這一條件就是該題貫徹?cái)?shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵一步.

二、取數(shù)量積法，“形”中覓“數(shù)”

當(dāng)點(diǎn)C在圓弧上運(yùn)動時，x,y都是變化的，如何來刻畫這個變化呢？引入一個輔助角θ是一個重要的技巧.向量是近代數(shù)學(xué)中一個重要而基本的數(shù)學(xué)概念，是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具.我們遇到旋轉(zhuǎn)變化的問題時常引入輔助角來解決問題，這樣做的優(yōu)點(diǎn)是：可以將所求問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題來解決，這是我們所熟知的題型，巧妙實(shí)現(xiàn)“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化.同時在等式兩邊同乘以一個或兩個向量，便可找到系數(shù)和角的關(guān)系.

故x+y=2[cosθ+cos(120°-θ)]=2sin(θ+30°)≤2，

即x+y的最大值是2.

三、分解向量法，“數(shù)”“形”并進(jìn)

如圖3，過點(diǎn)C作CE∥OA,交直線OB于點(diǎn)E，作CF∥OB,，交直線OA于點(diǎn)F.

故當(dāng)θ+30°=90°,即θ=60°時x+y取到最大值2.

四、三點(diǎn)共線法，以“數(shù)”輔“形”

此題完美溝通數(shù)與形兩個方面，得到了以上不一樣的解法，都將x+y轉(zhuǎn)化為某角的三角函數(shù)式，充分體現(xiàn)了

向量與三角的緊密聯(lián)系.但是不要忘了，向量問題還有向量的方法，而且有時向量方法更直接、更簡單.通過分析一下子發(fā)現(xiàn)了一個熟悉的圖形：三點(diǎn)共線，這樣思路納入了“形”的軌道，與“數(shù)”緊密地聯(lián)系在一起了.

從以上分析我們可以看出，數(shù)形結(jié)合法的實(shí)質(zhì)是通過對圖形的認(rèn)識，數(shù)形的轉(zhuǎn)化，使問題化難為易，化抽象為具體.學(xué)生要真正掌握數(shù)形結(jié)合思想的精髓，必須有雄厚的基礎(chǔ)知識和熟練的基本技巧，注意改變觀察和理解問題的角度，揭示問題的本質(zhì)聯(lián)系，用“數(shù)”的準(zhǔn)確澄清“形”的模糊，用“形”的直觀啟迪“數(shù)”的計(jì)算，從而使問題解決事半功倍.

參考文獻(xiàn)：

[1]李玉峰.數(shù)形結(jié)合求解平面向量問題[J]. 高中數(shù)學(xué)教與學(xué), 2009(06).

[2]邵剛.“數(shù)形結(jié)合”思想在平面向量中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化(高中版), 2005(02).