劉勝林

(湖北省武穴市實驗高中 435400)

數學教學的核心活動是數學解題，數學解題是在數學思想的引領下，利用數學方法與技能形成解題思路的思維活動. 對一些典型的數學試題進行一題多解、多題一解，不僅可增強各知識、方法間的縱橫聯系形成系統(tǒng)的知識網絡，還可有效訓練學生的思維，鍛煉學生的能力，開拓學生的視野，對提高學生的綜合解題能力，提升學生的數學素養(yǎng)大有脾益. 下面是我校近期周測中的一道邏輯試題，本文將從不同的思維入口來切入探析演繹別樣精彩.

題目命題p:log2(6x+12)≥log2(x2+3x+2)，命題q:4ax+a<2x2-2x-3.

(1)若p為真命題，求x的取值范圍；

(2)若p為真命題是q為真命題的充分條件，求a的取值范圍.

本題是一道立足于邏輯的試題，該試題主要考查指、對數型不等式、含參的一元二次不等式的解法、不等式恒成立求參數的取值范圍等基礎知識，意在考查學生轉化與化歸、分類討論、數形結合的數學思想及綜合分析解決問題的能力. 雖題面精巧，題設條件簡約，但內涵豐富，具有一定的典型性與示范性. 讀罷研磨，發(fā)現試題入口平實、思路寬泛，若從不同的思維視角來切入可得不一樣的精彩. 從某種意義上來說，本題值得探究.

第一問解對數型不等式得：p為真命題時，-1

視角1 基于等價轉化后的命題q:2ax+2a

解法1 由(1)知p:-10. ∵p為真命題是q為真命題的充分條件，∴p?q，從而有：當-1<3+2a即a>-2時，q:x>3+2a或x<-1，此時p?q，不合題意舍去；當-1>3+2a即a<-2時，q:x>-1或x<3+2a，此時p?q，合乎題意；當-1=3+2a即a=-2時，q:x≠-1，此時p?q，合乎題意. 綜上知：a≤-2.

點評本解法將目標問題轉化到p、q兩集合間的關系上來數形結合分析求解，通俗自然、易于上手，是該類問題的一種常見求解策略. 其中對含參的一元二次不等式的求解著實考查學生的基本功底，平凡之處見真功.

視角2 考慮到命題p:-1

解法2 易知命題p:-10在x∈(-1,5]上恒成立. ∵-1-4，∴2a≤-4，得a≤-2.

點評將問題轉化到不等式2ax+2a

視角3 注意到命題q:2ax+2a0在x∈(-1,5]上恒成立時參數a取值范圍的求解，可利用二次函數f(x)=x2-(2a+2)x-3-2a的圖象數形結合分析探究.

點評利用二次函數的圖象與性質數形結合解決一元二次不等式恒成立問題，是該類試題一種最基本且極為常見的做法. 但值得注意的是，在使用該做法處理一元二次不等式恒成立時，要特別留意二次函數圖象上的一些關鍵點(如本題中f(-1)=0)對二次函數圖象的影響，這樣可使問題的求解變得簡捷明了，否則問題的求解就會變得很被動繁瑣起來.

通過對上述試題進行不同思維視角的探究可以發(fā)現，上述三種解法雖方式不同，但均從不同的層面揭示了該類試題的通性通法，可謂是各有千秋. 其中解法1利用分類討論的數學思想求解含參的一元二次不等式，繼而將問題轉化到兩集合間的關系上來數形結合求解，樸實之處體現了扎實的數學功底；解法2解法3將問題轉化到不等式恒成立求參數取值范圍這類熟知的問題上來，對學生綜合分析處理問題的能力提出了一定的要求，要求學生具有較好的數學素養(yǎng). 特別是當含參的一元二次不等式無法求解(或非一元二次不等式)時，該做法更顯得尤為珍貴、勢在必行. 其中解法3利用二次函數圖象來解決一元二次不等式恒成立問題，是對二次函數圖象與性質的簡單應用，而解法2通過分離參數進而將問題轉化到求具體函數在給定區(qū)間上的最值上來求解，相比于法三，其適應性更廣泛. 題不在難，有“涵”則靈. 在平日教學中，要多關注具有典型性、示范性的一些基礎試題、基本問題中所蘊含的數學思想與方法，要及時的探究、歸納與總結，通過試題的探究活動，深化思維自然凸顯優(yōu)美解法，這樣才能使我們的解題教學真正回歸到基礎知識、基本問題上進行探究，提煉思想與方法，進而形成高效課堂.

參考文獻：

[1]劉勝林.一道高考試題的多視角求解[J].高中數學教與學，2015(4).