張 興 李雪琴

(寧夏回族自治區(qū)固原市第二中學(xué) 756000)

坐標(biāo)法思想是近代數(shù)學(xué)發(fā)展的開端，坐標(biāo)系是用代數(shù)方法處理幾何問題的基本工具.參數(shù)方程是以參變量為中介表示曲線方程的又一種形式，更解決曲線方程的一種思路和方式，所以坐標(biāo)系與參數(shù)方程的學(xué)習(xí)，是提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題能力，提升學(xué)生綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑之一，因此成為高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容之一，下面就其高考的試題的命題特點(diǎn)及其解答方法進(jìn)行探究.

一、高考試題的命題特點(diǎn)

從2007年到2016年新課標(biāo)高考共15套數(shù)學(xué)試題，其中關(guān)于極坐標(biāo)與參數(shù)方程的有15道考題.它們的相同之處都涉及坐標(biāo)變換，即直角坐標(biāo)系方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互相轉(zhuǎn)化.它們的不同之處，按已知曲線化分：第一類，直線和圓位置關(guān)系的有2016(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)、2015(Ⅰ)(Ⅱ)、2013(Ⅰ)(Ⅱ)、2011、2010、2008共10道.其中包括直線和圓相離時(shí)的點(diǎn)線距離問題，直線和圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)問題，直線和圓相切時(shí)的切點(diǎn)問題.第二類，直線與橢圓2012、2014(Ⅰ)共2道.第三類，園及橢圓位置關(guān)系如2007、2009、2014(Ⅱ)共3道.從統(tǒng)計(jì)數(shù)字上看以直線和圓位置關(guān)系為主.按所求問題劃分：第一類，有關(guān)交點(diǎn)坐標(biāo)、線段長(zhǎng)度和圖形面積，如2007、2008、2012、2013(Ⅰ)、2014(Ⅱ)共5道.第二類，有關(guān)距離、范圍或最值問題，如2009、2011、2012、2014(Ⅱ)、2015(Ⅱ)、 2016(Ⅰ)、2016(Ⅰ)、2016(Ⅲ)共8道.第三類，有關(guān)點(diǎn)的軌跡、曲線方程，如2010、2013(Ⅱ)共2道.從統(tǒng)計(jì)數(shù)字上看以有關(guān)距離、范圍或最值計(jì)算問題為主.

二、高考試題的題型解析

高考試題按解答方法劃分：第一類，極坐標(biāo)中的運(yùn)算.第二類，參數(shù)方程中任意點(diǎn)或動(dòng)點(diǎn)問題.第三類，直線與圓錐曲線相交問題.第四類，點(diǎn)的坐標(biāo)、線段長(zhǎng)度、圖形面積、軌跡方程等的計(jì)算.

1.極坐標(biāo)中的運(yùn)算

解析(1)把變換公式x=ρcosθ,y=ρsinθ，代入C1、C2的已知方程，得C1：ρcosθ=-2，C2：ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.

∴C1為以(0，1)為圓心，a為半徑的圓.化簡(jiǎn)即為x2+y2-2y+1-a2=0.

把x2+y2=ρ2,y=ρsinθ代入上式，得C1的極坐標(biāo)方程ρ2-2ρsinθ+1-a2=0.

(2)C2:ρ=4cosθ兩邊同乘ρ，得ρ2=4ρcosθ.∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x,∴x2+y2=4x.配方即得(x-2)2+y2=4 ②，C3:化為普通方程為y=2x.

由題意：C1和C2的公共方程所在直線即為C3

①-②得：4x-2y+1-a2=0,即為C3，∴1-a2=0,∴a=1.

二、任意點(diǎn)或動(dòng)點(diǎn)用參數(shù)方程

其中C1為圓心是(-4,3)，半徑是1的圓.

C2為中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是8，短半軸長(zhǎng)是3的橢圓.

評(píng)析上面例3的第一問為參數(shù)方程化為普通方程.解答這類題需注意：

(1)要注意防止變量x和y取值范圍的擴(kuò)大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定x和y的取值范圍.

(2)消去參數(shù)通常有代入消元法、加減消元法、平方消元法、乘除消元法和三角消元法等.第二問為求最值或取值范圍.解答這類題需要把曲線方程化為參數(shù)形式，以參數(shù)方程形式表示點(diǎn)的坐標(biāo)，既可以減少約束條件而簡(jiǎn)化運(yùn)算，又能利用特殊的三角變換進(jìn)行計(jì)算.

三、直線與圓錐曲線相交問題

解析(1)化簡(jiǎn)、整理圓的方程得x2+y2+12x+11=0.

解析(1)ρ=2cosθ等價(jià)于ρ2=2ρcosθ. ①

將ρ2=x2+y2，ρcosθ=x代入①,

即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0.

②

則由參數(shù)t的幾何意義即知，|MA|·|MB|=|t1t2|=18.

評(píng)析上面例4、例5均為直線與圓錐曲線相交.第二問的解答均為直線參數(shù)方程代入圓錐曲線方程中，轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及參數(shù)的幾何意義使得問題得到解答.解答這類問題需要注意：(1)過P0(x0，y0)且傾斜角為α的直線參數(shù)方程為x=x0+tcosα,

四、求點(diǎn)坐標(biāo)、線段長(zhǎng)度、圖形面積、軌跡方程等的計(jì)算

(2)C1的普通方程為xsinα-ycosα-sinα=0.A點(diǎn)坐標(biāo)為(sin2α-cosαsinα)，

評(píng)析上面例6為求點(diǎn)的坐標(biāo)和軌跡方程.2015年理Ⅰ卷23題為求面積.這類題問題雖然差別很大，但其解答的基本方法依然是幾種坐標(biāo)的互化，再結(jié)合圖形進(jìn)行計(jì)算.

綜上所述，坐標(biāo)系與參數(shù)方程的命題，以直線與圓的位置關(guān)系為主，突出極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)非常和參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化，呈現(xiàn)為四大趨勢(shì)，即極坐標(biāo)中的運(yùn)算，參數(shù)方程中任意點(diǎn)或動(dòng)點(diǎn)問題，直線與圓錐曲線相交問題，交點(diǎn)坐標(biāo)、線段長(zhǎng)度、圖形面積、軌跡方程等基本數(shù)學(xué)問題.通過解題活動(dòng)理解坐標(biāo)系的作用，掌握幾種坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和解決問題的能力.體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值，更重要的是提升學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]王新宏.高考坐標(biāo)系與參數(shù)方程難點(diǎn)透析[J].數(shù)理化解題研究，2016(11)：2-3.

[2]劉紹學(xué)等，普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)選修4-4[M].北京：人民教育出版社，2007(02).