張國(guó)英 李勇義 李 康

(1.廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院;2.嘉興錦大工程管理咨詢有限公司)

土的固結(jié)是土力學(xué)的重點(diǎn)問(wèn)題之一，主要是由固結(jié)方程、初始條件、邊界條件3個(gè)部分組成，而且與土的變形、強(qiáng)度、滲透有著緊密的聯(lián)系。自Terzaghi[1]在一系列假設(shè)簡(jiǎn)化的條件下建立一維固結(jié)理論之后，固結(jié)理論的研究得到了快速的發(fā)展，隨后許多學(xué)者也相繼研究了一維、二維、三維等各種不同類型的固結(jié)問(wèn)題[2-4]，對(duì)固結(jié)理論的發(fā)展有重要的意義。

但是許多研究工作都是基于現(xiàn)有固結(jié)問(wèn)題中邊界條件不滿足初始條件這一矛盾求解的。針對(duì)這一問(wèn)題，梅國(guó)雄[5]等提出了從透水到不透水的連續(xù)排水邊界條件，能夠很好地解決固結(jié)求解中存在的問(wèn)題，從而對(duì)現(xiàn)有固結(jié)理論中邊界條件不滿足初始條件這一問(wèn)題進(jìn)行修正，本文基于此連續(xù)排水邊界條件開展研究。

1 連續(xù)排水邊界

以Terzaghi一維固結(jié)理論為例，

(1)

其求解初始條件為

u(0,z)=p，

(2)

邊界條件為

頂面透水時(shí)

u(t,0)=0

(3)

底面不透水時(shí)

(4)

式中，u為孔隙水壓力，Pa；t為固結(jié)時(shí)間，d；Cv為固結(jié)系數(shù)，m2/d;p為驟加荷載,Pa;H為土層厚度,m。

從式(2)可以得到

u(0,0)=p.

(5)

從式(3)可以得到

u(0,0)=0 .

(6)

從式(5)和式(6)可以看出方程的邊界條件不滿足初始條件，即邊界條件和初始條件矛盾。

同時(shí),Terzaghi給出解答如下：

(7)

當(dāng)z=0時(shí)，根據(jù)其解答可以得出u(t,0)，這與初始條件u(z,0)也是矛盾的。

基于此，梅國(guó)雄[5]等提出一種連續(xù)排水邊界條件：

u(t,0)=pe-bt,

(8)

式中,u(t,0)為t時(shí)刻邊界z=0的孔壓,Pa；p為荷載，Pa；b為反映邊界排水性能的參數(shù)，d-1，并且b>0，b越大，邊界的排水性能越好。

該邊界條件能夠很好地和初始條件統(tǒng)一，使其更接近實(shí)際的排水情況。

2 固結(jié)方程及其解答

2.1 連續(xù)排水邊界下的解答

地基邊界的排水條件取為連續(xù)排水邊界，分為單面連續(xù)排水邊界和雙面連續(xù)排水邊界，其余假設(shè)和Terzaghi一維固結(jié)理論相同。飽和軟土層的厚度取H，滲透系數(shù)為k，土的體積壓縮系數(shù)為mv，水的容重為γw。本文按照單面排水計(jì)算，雙面排水只需用H/2代替單面排水情況式中的H即可[6]。地基一維固結(jié)模型見圖1。

圖1 地基一維固結(jié)模型

圖1中一維固結(jié)方程為

其求解初始條件與邊界條件為

(9)

為了方便方程的求解，令

u=v+pe-bt，

(10)

代入原方程以及初始條件和邊界條件中可以得

(11)

其中，

f(t)=bpe-bt,

(12)

(13)

將定解問(wèn)題的解v(t,z)和自由項(xiàng)f(t)按關(guān)于z的固有函數(shù)展開為傅立葉級(jí)數(shù),即

(14)

(15)

(16)

將式(14)、式(15)代入式(11)中可得

(17)

求解以上一階常微分方程可得

(18)

(19)

然后將式(18)代入式(14)中可得v(t,z)，再代入式(10)中可求得u(t,z)的一般解答式:

(20)

當(dāng)b→∞ 時(shí),式(20)中孔壓解答可退化為

(21)

即為Terzaghi固結(jié)解析解。

固結(jié)度解答為

(22)

沉降解答為

(23)

從解析式可以看出,固結(jié)度和沉降不僅與固結(jié)系數(shù)、排水距離有聯(lián)系，還與邊界的排水性能有關(guān)。

2.2 解答的分析

為了驗(yàn)證文中解析解的正確性，編制了相關(guān)計(jì)算程序，將本文解答和Terzaghi解答進(jìn)行對(duì)比分析，所用土體參數(shù)γ=18.1 kN/m3，H=10 m，μ=0.3，E=10 MPa，荷載p=100 kPa，水的容重γw=10 kN/m3。

由連續(xù)排水邊界的特點(diǎn)可知，當(dāng)b無(wú)窮大時(shí)，連續(xù)排水邊界即退化為一般排水邊界。不同時(shí)間因數(shù)時(shí)土層的孔壓曲線變化見圖2?？梢缘贸觯?dāng)本文計(jì)算時(shí)b取較大值10 000 d-1時(shí)，本文解答就已經(jīng)與Terzaghi解答的孔壓消散曲線重合非常好，這也充分說(shuō)明了本文推導(dǎo)的解析解及計(jì)算程序的正確性。

圖2 不同時(shí)間因數(shù)時(shí)土層的孔壓曲線

◆—Tv=0.3,b=10 000 d-1時(shí)本文解；■—Tv=0.5,b=10 000 d-1時(shí)本文解；★—Tv=0.7,b=10 000 d-1時(shí)本文解；●—Tv=0.9,b=10 000 d-1時(shí)本文解

為了研究本文解答的收斂性情況，選取時(shí)間因數(shù)Tv=0.5，深度z=5 m處的孔壓進(jìn)行分析，同時(shí)取b=0.1d-1，其孔壓計(jì)算結(jié)果見圖3?？梢缘贸觯探Y(jié)系數(shù)Cv取較小值時(shí)的收斂性比取較大值的收斂性好，但是總體上本文解答的收斂性都非常好，基本上取級(jí)數(shù)前五項(xiàng)就能夠滿足精度要求。同時(shí)可得出，當(dāng)固結(jié)系數(shù)Cv取值不同時(shí)，孔壓也不同，而且固結(jié)系數(shù)Cv取較小值0.1、0.01、0.001時(shí)孔壓相差不大，固結(jié)系數(shù)Cv取較大值10、1時(shí)孔壓相差很大，這也說(shuō)明當(dāng)時(shí)間因數(shù)一定時(shí)，固結(jié)系數(shù)越大，固結(jié)所需的時(shí)間越短，b對(duì)結(jié)果的影響越大。而經(jīng)典Terzaghi一維固結(jié)中,當(dāng)時(shí)間因數(shù)相等時(shí)，孔壓不變，這也和Terzaghi一維固結(jié)不一樣。

圖3 級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)孔壓的影響

3 參數(shù)敏感性分析

3.1 邊界參數(shù)b對(duì)孔壓的影響

選取時(shí)間因數(shù)Tv=0.5，并對(duì)連續(xù)排水邊界參數(shù)b取不同值時(shí)，計(jì)算土層的孔壓，其孔壓曲線見圖4。圖4表明，當(dāng)b取值越大時(shí)，土層孔壓消散得越快，孔壓消散曲線越接近Terzaghi解答孔壓消散曲線，而且邊界z=0 m孔壓不再是零，而是隨著時(shí)間逐漸減小到零，這也說(shuō)明了排水邊界不再是直接由初始孔壓直接突變?yōu)榱?，而是將排水邊界與時(shí)間建立關(guān)系，這對(duì)研究孔壓消散規(guī)律有重要的意義。

圖4 b取不同值時(shí)土層的孔壓曲線

3.2 邊界參數(shù)b對(duì)固結(jié)度的影響

圖5為不同連續(xù)排水邊界參數(shù)b值地基的固結(jié)度隨時(shí)間因數(shù)的變化曲線。圖5表明，隨著b取值增大，即邊界排水性能增加，地基固結(jié)速度越快，但是固結(jié)速度增加率越來(lái)越小。在固結(jié)前期，b取值不同，其固結(jié)速度相差較大，而在中后期固結(jié)度的變化曲線相差不是很大，并且越來(lái)越接近Terzaghi固結(jié)曲線。

圖5 不同b值時(shí)地基的固結(jié)度曲線

3.3 邊界參數(shù)b對(duì)沉降的影響

圖6為不同連續(xù)排水邊界參數(shù)b值地基的沉降隨時(shí)間的變化曲線?？梢钥闯?，b取值越大，地基沉降速度越快，但是沉降增加率隨著b值的增大而減小，特別是在地基沉降完成的中后期，b值對(duì)沉降影響不大，并且地基的最終沉降量不受b值大小的影響，和Terzaghi固結(jié)沉降曲線計(jì)算一樣，這也說(shuō)明了本文解答的正確性，邊界排水參數(shù)b值只影響沉降完成的速度，而不會(huì)影響最終的沉

圖6 不同b值時(shí)土層的沉降曲線

降量。

4 結(jié) 論

(1)通過(guò)引入連續(xù)排水邊界條件，建立了該邊界條件下的一維均值地基單面排水固結(jié)方程，并求得孔壓、固結(jié)度及沉降解答。

(2)通過(guò)將本文解析解退化到Terzaghi解，可以得出Terzaghi解是本文解答的一種特例，而且通過(guò)與其對(duì)比，驗(yàn)證了連續(xù)排水邊界下解析解的正確性。

(3)固結(jié)系數(shù)Cv取值較小時(shí)的收斂性比取值較大時(shí)的收斂性好，基本上取級(jí)數(shù)前五項(xiàng)就能夠滿足精度要求，方便在實(shí)際工程中推廣應(yīng)用，而且當(dāng)固結(jié)系數(shù)Cv取值不同時(shí)，孔壓也不同。

(4)當(dāng)邊界參數(shù)b取值越大，孔壓消散越快，而且邊界z=0 m處孔壓不再是零，而是隨著時(shí)間逐漸減小到零，將排水邊界與時(shí)間建立聯(lián)系。

(5)隨著邊界參數(shù)b值的增大，地基固結(jié)速度越快，不同b值對(duì)固結(jié)前期的固結(jié)速度影響大于固結(jié)中后期的影響。

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