李 倩

（四川省自貢市解放路中學(xué)）

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

折紙做60°，30°，15°的角.

2.內(nèi)容解析

本節(jié)內(nèi)容是教材在三角形、軸對稱、四邊形、尺規(guī)作圖等知識的基礎(chǔ)上安排的一次綜合與實(shí)踐活動.教學(xué)重點(diǎn)是用矩形紙片折30°角和折疊問題的探究.學(xué)生通過折紙做角活動，既可以鞏固再認(rèn)已學(xué)知識，深化知識的理解與運(yùn)用，又可以加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，積累活動經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力、實(shí)踐能力和元認(rèn)知能力，為后續(xù)知識的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)實(shí)踐活動奠定認(rèn)知基礎(chǔ).此外，本節(jié)教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含了豐富的文化價(jià)值資源，有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和愛家鄉(xiāng)、愛祖國的情感.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）學(xué)生能掌握折60°，30°，15°角的方法；在實(shí)踐操作中積累活動經(jīng)驗(yàn)，提高動腦、動手能力.

（2）通過折疊探究活動，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

（3）通過折紙做角的實(shí)踐操作活動，培養(yǎng)學(xué)生愛家鄉(xiāng)、愛祖國的情感.

2.目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：首先，學(xué)生能運(yùn)用“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角是30°”和軸對稱性質(zhì)、勾股定理等知識，設(shè)計(jì)出用矩形紙片折30°角的方案；其次，進(jìn)行實(shí)踐操作折出30°角；最后，能利用角的倍分關(guān)系順利折出15°，60°，120°等相關(guān)的角.

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：通過對折紙做角過程的反思再認(rèn)，能理解對折紙片（折疊）的實(shí)質(zhì)是軸對稱，重合點(diǎn)的連線被折痕垂直平分，并能運(yùn)用對稱原理進(jìn)行數(shù)學(xué)中折疊問題的一般推理和計(jì)算.

達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志是：通過把自貢的地方剪紙文化與折紙緊密結(jié)合，學(xué)生表露出對家鄉(xiāng)——自貢剪紙藝術(shù)的驚嘆和贊賞，洋溢出對家鄉(xiāng)、祖國的熱愛之情，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和為傳承祖國優(yōu)秀文化遺產(chǎn)而努力學(xué)習(xí)的熱情.

三、教學(xué)問題診斷分析

折紙做30°角，是在不使用任何作圖工具的前提下，開展的一項(xiàng)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動，在抽象概括能力和實(shí)踐操作技能方面都比尺規(guī)作圖難度大.它要求學(xué)生具有一定的思維能力、推理能力和運(yùn)算能力，并能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、建模等數(shù)學(xué)思想方法解決問題；而且要求學(xué)生做到學(xué)用結(jié)合、手腦結(jié)合.此外，筆者所教班級少數(shù)學(xué)生因基礎(chǔ)不扎實(shí)，動手能力較差，要完成目標(biāo)任務(wù)有一定困難.

四、教學(xué)支持條件分析

雖然折紙做角難度較大，但是它和尺規(guī)作圖的分析方法有相似之處，這對折紙做角的思維活動有啟迪作用.另外，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形、勾股定理、軸對稱性質(zhì)、四邊形、尺規(guī)作圖等與活動相關(guān)的知識，有一定的推理和運(yùn)算能力，并且在前面的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動中，積累了一些活動經(jīng)驗(yàn)，可為本節(jié)數(shù)學(xué)活動提供認(rèn)知支持條件.筆者所在學(xué)校開展的“學(xué)、究、講、用”的課堂教學(xué)改革實(shí)驗(yàn)，較好地解決了教與學(xué)的二元矛盾.通過教師的導(dǎo)學(xué)，多數(shù)學(xué)生能積極主動地參與自主探究、合作探討、展示交流等學(xué)習(xí)活動，這可為本節(jié)數(shù)學(xué)活動提供學(xué)習(xí)主體的能動支持條件.

教師在教學(xué)活動中采用微課導(dǎo)學(xué)等現(xiàn)代信息技術(shù)手段，把折疊問題從平面與立體、靜態(tài)與動態(tài)進(jìn)行對比分析，能增強(qiáng)教學(xué)的直觀性，降低理解難度，提高學(xué)習(xí)效率，這可以為本節(jié)數(shù)學(xué)活動提供教學(xué)手段的媒體支持條件.

五、課前準(zhǔn)備

多媒體課件、微課視頻、矩形紙片、實(shí)物投影儀等.

六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

同學(xué)們，我們美麗的家鄉(xiāng)自貢有著厚重的文化底蘊(yùn)和豐富的地方文化元素，它不僅有聞名世界的“大三絕”，還有享譽(yù)中外的“小三絕”.下面請看視頻.

學(xué)生觀看自貢“大三絕”和“小三絕”的視頻短片，感受“小三絕”中的剪紙與折紙做角的關(guān)系.

教師自然導(dǎo)入新課，并板書課題.

【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)與教學(xué)內(nèi)容密切相關(guān)的生活情境，把數(shù)學(xué)還原于生活，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，從數(shù)學(xué)的運(yùn)用價(jià)值上，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和動力，為教學(xué)活動做情感鋪墊.

2.實(shí)踐活動，學(xué)用結(jié)合

活動1：將一張矩形紙片，不用任何工具，折出45°的角.

師生活動：學(xué)生思考折疊方法，進(jìn)行折角活動，并交流展示.教師播放折45°角的動畫課件.

活動2：（方法1）給你一張矩形紙片，不使用任何作圖工具，折出30°的角.

師生活動：教師出示活動2的課件，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想與角相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)折疊方案，組織開展折疊活動，并巡視指導(dǎo)，針對折疊活動的具體情況及時(shí)進(jìn)行點(diǎn)撥指導(dǎo).學(xué)生在教師的啟發(fā)下能聯(lián)想到“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°.”學(xué)生進(jìn)行小組交流活動，展示交流折疊成果或折疊困惑.教師播放折30°角的動畫課件，組織學(xué)生自學(xué)教材.

【設(shè)計(jì)意圖】通過類比的思想方法，促進(jìn)探究活動由易到難的過渡遷移，減緩折疊30°角的難度.通過成功促進(jìn)策略，激勵學(xué)生樹立攻堅(jiān)克難的信心.

（方法2）啟發(fā)學(xué)生還有沒有其他方法可以折出30°的角.

師生活動：請學(xué)生折疊，但是沒有折出來.在學(xué)生遇到困難時(shí)，啟發(fā)學(xué)生“由方法1想到，在直角三角形中，一條直角邊為1，另一條直角邊為 3，同樣可以得到30°的角”.為學(xué)生播放用尺規(guī)作圖法畫線段 3的微課視頻，再啟發(fā)學(xué)生思考折疊方法.學(xué)生進(jìn)行小組交流活動，觀看教師制作的動畫課件，領(lǐng)會折角步驟，說明利用角的倍分關(guān)系可以折出15°，60°，120°等角.

【設(shè)計(jì)意圖】通過一題多法，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性和創(chuàng)造性.

3.實(shí)踐再認(rèn)，原理運(yùn)用

小結(jié)：引導(dǎo)學(xué)生反思折紙做角的實(shí)質(zhì)（折疊的實(shí)質(zhì)是軸對稱），并結(jié)合課件進(jìn)行說明.

探究1：實(shí)踐與運(yùn)用.

第一次折疊：將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為BE（如圖1（1））；

第二次折疊：再沿著過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)D落在BE上的點(diǎn)D′處，折痕為EG（如圖1（2））；再展平紙片（如圖1（3）），求圖1（3）中∠α的大小.

圖1

課件做一次動態(tài)展示.

解：由圖1（1）可知，四邊形ABFE是正方形，且∠AEB=45°，得∠BED=135°.

又由圖1（2）知，∠BEG= ∠DEG.

得∠DEG=67.5°.

所以∠α=∠FED-∠DEG=90°-67.5°=22.5°.

探究2：如圖2，在矩形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)E處，折痕的一端點(diǎn)G在邊BC上，BG=10,當(dāng)折痕的另一端點(diǎn)F在AB邊上時(shí)，試求△EFG的面積.

圖2

圖3

課件動態(tài)展示，閃爍△EFG的面積.

解：如圖3，過點(diǎn)G作GH⊥AD，垂足為點(diǎn)H.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，

所以四邊形ABGH為矩形，AH=BG=10.

由折疊，得EG=BG=10，EF=BF.

在Rt△EGH中，EG2=HG2+EH2，即102=82+EH2.

所以EH=6，AE=10-6=4，AF=8-BF.

設(shè)BF=x，則EF=x，AF=8-x.

在Rt△AEF中，EF2=AF2+AE2，即x2=(8 -x)2+42.解得x=5.

【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)造性地處理教材，促進(jìn)教材使用的校本化.強(qiáng)化對學(xué)生思維能力和思想方法等核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

4.及時(shí)練習(xí)，鞏固提升

練習(xí)：（1）如圖4，把矩形ABCD沿EF對折后使兩部分重合，若∠1=50°，求∠AEF的度數(shù).

圖4

解：由兩部分對折可知∠BFE=∠GFE.因?yàn)椤?=50°，所以∠BFE=∠GFE=65°.所以∠AEF=115°.

（2）將矩形紙片ABCD按如圖5所示的方式折疊，得到如圖6所示的菱形AECF.若AB=3，則BC的長為多少？

圖5

圖6

設(shè)BC=x，則AC=2x.

在Rt△ABC中，由勾股定理得x2+32=(2 x)2.

【設(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)化折疊原理的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力，滲透對轉(zhuǎn)化、建模等數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).

5.課堂總結(jié)，知識重構(gòu)

回顧折紙的基本步驟，即明晰要求—聯(lián)想知識—制定方案—實(shí)踐操作—推理驗(yàn)證.

必做題：（1）用矩形紙片折15°，75°的角.

（2）將一張矩形紙片折疊成如圖7所示的形狀，則∠ABC的度數(shù)為（ ）.

（A）70° （B）66° （C）73° （D）80°

圖7

圖8

（3）將寬為2 cm的長方形紙條折疊成如圖8所示的形狀，那么折痕PQ的長是（ ）.

（4）以學(xué)習(xí)小組為單位，設(shè)計(jì)制作一幅剪紙畫.

選做題：如圖9，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等邊三角形，E是AB的中點(diǎn)，連接CE，并延長交AD于點(diǎn)F.

①求證：四邊形BCFD是平行四邊形；

②如圖10，將四邊形ACBD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，HK為折痕，求的值.

圖9

圖10

板書設(shè)計(jì)略.

七、教學(xué)反思

“折紙做60°，30°，15°的角”選自人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊中的數(shù)學(xué)活動，屬于義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)內(nèi)容中“綜合與實(shí)踐”的部分.該教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)活動的組織突出了科學(xué)性、實(shí)踐性和創(chuàng)新性等特點(diǎn)，主要體現(xiàn)在以下幾個方面.

1.教學(xué)內(nèi)容分析到位，挖掘深入

教師能夠從知識系統(tǒng)的高度，理順?biāo)讨R與上下位知識的聯(lián)系，能緊密把握教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生知識經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系，準(zhǔn)確理解和掌握本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的實(shí)踐性、運(yùn)用性和探究性的特點(diǎn)；特別是把自貢的剪紙文化與折角活動緊密聯(lián)系起來，較好地挖掘了教學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的文化價(jià)值資源.

2.教學(xué)目標(biāo)符合實(shí)際，達(dá)成度高

教師對教學(xué)目標(biāo)的制定，充分結(jié)合了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求、教材特點(diǎn)和學(xué)生實(shí)際，目標(biāo)緊扣具體內(nèi)容，在知識與能力、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀方面，把結(jié)果性目標(biāo)和過程性目標(biāo)表述的具體、清楚、準(zhǔn)確；通過實(shí)施有效的教學(xué)手段和方法達(dá)到預(yù)設(shè)的目標(biāo)要求.

3.教學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)合理，過程流暢

在教學(xué)設(shè)計(jì)上根據(jù)內(nèi)容由淺入深的特點(diǎn)，教學(xué)環(huán)節(jié)層層遞進(jìn)，內(nèi)容環(huán)環(huán)相扣，過渡自然、流暢，邏輯性強(qiáng)，遵循了循序漸進(jìn)的教學(xué)原則.

4.教學(xué)活動遵循規(guī)律，課改意識強(qiáng)

教師在組織學(xué)生折角活動中，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用已有知識和經(jīng)驗(yàn)開展折疊活動，又對實(shí)踐活動進(jìn)行理性的反思再認(rèn)，從而抽象、概括出折疊的本質(zhì)是軸對稱，再引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用這個原理進(jìn)行數(shù)學(xué)的相關(guān)探究活動.整個探究活動著眼于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，遵循了“實(shí)踐—認(rèn)識—再實(shí)踐—再認(rèn)識”的認(rèn)識規(guī)律.

在教學(xué)中，教師有機(jī)滲透了課改的理念，較好地處理了教與學(xué)的辯證關(guān)系，通過采用啟發(fā)、引導(dǎo)、點(diǎn)撥、激勵等導(dǎo)學(xué)方法，有效地組織學(xué)生開展實(shí)驗(yàn)、觀察、猜想、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等認(rèn)知活動，培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)和探究式學(xué)習(xí)的方法，營造了互動、互補(bǔ)、互進(jìn)的學(xué)習(xí)氛圍，極大地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性.

5.課堂機(jī)制靈活，教學(xué)針對性強(qiáng)

采用提問、演練、展示、巡視、察言觀色等多種方法捕捉教與學(xué)的反饋信息，并及時(shí)調(diào)控、調(diào)整教學(xué)方案，教學(xué)針對性、實(shí)效性強(qiáng).

6.突出了數(shù)學(xué)本質(zhì)特征，數(shù)學(xué)味濃

圍繞目標(biāo)要求設(shè)計(jì)了有價(jià)值的問題串，用以引導(dǎo)學(xué)生開展思維活動，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性，特別是在折角活動中，啟發(fā)學(xué)生利用直角三角形的邊角關(guān)系，把要折的30°角建構(gòu)在特定長度的直角三角形中.又如在運(yùn)用折疊原理進(jìn)行探究活動時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生把要求的線段、角建構(gòu)在一個具體圖形中，再制定解決方案，較好地滲透了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、建模等數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng).

7.媒體手段使用得當(dāng)，教學(xué)效率高

利用現(xiàn)代信息技術(shù)輔助手段對本節(jié)教學(xué)難點(diǎn)從平面到立體、靜態(tài)到動態(tài)進(jìn)行對比分析，把抽象的折角過程演繹的直觀易懂，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效率.

當(dāng)然，教師在授課過程中也存在很多問題，如板書太簡略，示范性不夠強(qiáng)，不利于中等生和學(xué)困生對解題過程的理解.

參考文獻(xiàn)：

［1］顧泠沅.數(shù)學(xué)思想方法［M］.北京：中央廣播電視大學(xué)出版社，2004.