梁 美 社

(石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院 科技發(fā)展與校企合作部，河北 石家莊 050081)

Pawlak于1982年首次提出了粗糙集理論,主要用來(lái)處理不精確、不確定、不完全的數(shù)據(jù)系統(tǒng)[1].隨后,該理論被廣泛應(yīng)用于人工智能的各個(gè)領(lǐng)域[2].在Pawlak粗糙集模型中,等價(jià)關(guān)系起著至關(guān)重要的作用,由于這一關(guān)系過(guò)于苛刻,因此在很大程度上限制了該近似算子在粗糙集模型中的應(yīng)用.近年來(lái), 許多學(xué)者對(duì)粗糙集進(jìn)行了各種推廣研究[3-9],例如基于鄰域關(guān)系、相似關(guān)系、一般二元關(guān)系等的研究.文獻(xiàn)[10]從公理化角度研究了廣義模糊粗糙集及其近似算子.文獻(xiàn)[11]在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上，提出了基于模糊關(guān)系的廣義模糊粗糙集的(α,β)上下近似算子.

矩陣最早來(lái)自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的二維數(shù)據(jù)表格.矩陣算子用于建立從當(dāng)前矩陣到特殊類型矩陣的映射.文獻(xiàn)[2-20]分別從不同角度研究了矩陣算子在經(jīng)典粗糙集模型和變精度粗糙集模型中的應(yīng)用.文獻(xiàn)[21]用矩陣方法研究了雙論域粗糙集,提出了雙論域上的關(guān)系矩陣，并構(gòu)造了兩個(gè)布爾方陣.文獻(xiàn)[22]基于等價(jià)關(guān)系矩陣和子集列矩陣,研究了模糊粗糙集模型,取得了不錯(cuò)的結(jié)果.這些都是利用論域上的等價(jià)關(guān)系矩陣來(lái)計(jì)算上下近似。本文在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上,利用截關(guān)系矩陣、模糊子集的截列陣之間的運(yùn)算來(lái)表示廣義模糊粗糙集的上下近似算子,并進(jìn)一步計(jì)算廣義模糊粗糙集的粗糙度和相似度.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 廣義模糊粗糙集

設(shè)U為一個(gè)非空有限論域,P(U)為U上的所有子集構(gòu)成的集合,F(U)為U上所有模糊子集構(gòu)成的集合.對(duì)于任意A∈F(U)，?α∈[0,1],Aα={x∈U;A(x)≥α}和Aα+={x∈U;A(x)>α}分別為模糊子集A的α-水平截集和α-水平強(qiáng)截集.由?A,B∈F(U)知，(A∪B)α=Aα∪Bα,(A∩B)α=Aα∩Bα.

定理1設(shè)(U,R)為廣義模糊近似空間,對(duì)于任意A∈F(U),若0.5<β≤1，則

性質(zhì)1設(shè)(U,R)為廣義模糊近似空間.對(duì)于?A,B∈F(U)有：

(4)A,B∈F(U),若A?B則：

以上性質(zhì)均可根據(jù)定義1及定理1直接證明.

由定義1、定理1知,通過(guò)截關(guān)系，可將模糊信息系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為經(jīng)典信息系統(tǒng),通過(guò)研究轉(zhuǎn)化后的經(jīng)典信息系統(tǒng)的性質(zhì)，來(lái)間接反映原模糊信息系統(tǒng)的相關(guān)性質(zhì).

1.2 廣義模糊粗糙集的(α,β)粗糙度、相似性度量

由定理1得到了一對(duì)對(duì)偶的上下近似算子,由這對(duì)對(duì)偶算子可以定義U上任意模糊子集的粗糙度.

結(jié)合文獻(xiàn)[23],也可以得到U上任意兩個(gè)模糊子集的相似性.

定義4設(shè)(U,R)為廣義模糊近似空間,?A,B∈F(U),?1,?2∈[0,1],?1+?2=1,定義A,B在近似空間(U,R)中關(guān)于參數(shù)(α,β)的相似性度量為：

2 廣義模糊粗糙集模型中的矩陣運(yùn)算

2.1 (α,β)上下近似的矩陣表示

證明(1)證明下近似的情形

(2)證明上近似的情形

2.2 廣義模糊粗糙集的(α,β)粗糙度、相似性度量的矩陣計(jì)算

根據(jù)定義3,A∈F(U),定義A在近似空間(U,R)中關(guān)于參數(shù)(α,β)的粗糙度的計(jì)算可以用矩陣計(jì)算，表示為：

2.3 實(shí)例分析

設(shè)論域U={x1,x2,…,x5},R為U上的模糊關(guān)系,取α=0.8,β=0.4,A,B∈F(U),

A=[0.1,0.7,0.5,0.9,0.2]T，

B=[0.5，0.3,0.8,0.2,0.9]T.

R截關(guān)系矩陣、模糊子集A,B的截列陣分別為：

A0.4=[0,1,1,1,0]T,B0.4=[1,0,1,0,1]T.

根據(jù)定理2,模糊子集A,B在近似空間(U,R)中關(guān)于參數(shù)(0.8,0.4)的上下近似矩陣分別為：

模糊子集A,B在近似空間(U,R)中關(guān)于參數(shù)(0.8,0.4)的上下近似為：

A,B在近似空間(U,R)中關(guān)于參數(shù)(0.8,0.4)的粗糙度為：

令?1=0.4,?2=0.6,A,B在近似空間(U,R)中關(guān)于參數(shù)(0.8,0.4)的相似度為：

3 結(jié)語(yǔ)

本文首先利用截關(guān)系,將模糊信息系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為經(jīng)典信息系統(tǒng),而后將矩陣思想應(yīng)用于該系統(tǒng)中.研究表明,用矩陣運(yùn)算計(jì)算參數(shù)(α,β)下模糊子集的上下近似、粗糙度及相似度簡(jiǎn)單易行.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題需要，可以選取不同的參數(shù)(α,β)，以得到不同的結(jié)果.

參考文獻(xiàn)：

[1] PAWLAK Z.Rough Set[J].International Journal of Computer and Information Sciences,1982,11(5):205-218.

[2] 張文修,梁怡,吳偉志，等.信息系統(tǒng)與知識(shí)發(fā)現(xiàn)[M].北京:科學(xué)出版社,2003:1-228.

[3] ZIARKO W.Variable Precision Rough Set Model[J].Journal of Computer and System Sciences,1993,46(1):39-59.

[4] INUIGUCHI M,YOSHIOKA Y,KUSUNOKI Y.Variable-precision Dominance-based Rough Set Approach and Attribute Reduction[J].International Journal of Approximate Reasoning,2009,50(8):1199-1214.

[5] LIU GUILONG.Generalized Rough Sets over Fuzzy Lattices[J].Information Sciences,2008,178 (6):1651-1662.

[6] RADZIKOWSKA A,KERRE E.Fuzzy Rough Sets Based on Residuated Lattices[M].Berlin:Heidelberg Springer,2005:278-296.

[7] 石夢(mèng)婷,劉文奇,范敏.兩個(gè)域上的覆蓋粗糙集模型[J]. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2013,49(10):132-135.

[8] LIU GUILONG.Rough Set Theory Based on two Universal Sets and Its Applications[J].Knowledge-Based Systems,2010,23(2):110-115.

[9] YAO YIYU.Generalized Rough Set Models[J].Rough Sets in Knowledge Discovery,1998(1):286-318.

[10] MADZIKOWSKA A M,KERRE E E.A Comparative Study of Fuzzy Rough Sets[J].Fuzzy Set and Systems,2002,126(2):137-155.

[11] 吳建春,李曉琴.廣義模糊粗糙集的粗糙度[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào),2014,40(6):156-159.

[12] GUAN J W,BELL D A,GUAN Z.Matrix Computation for Information Systems[J].Information Sciences,2001,131(1):129-156.

[13] 雷曉蔚.粗糙集理論的矩陣方法[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2006,42(17):73-75.

[14] 楊勇.粗糙集的矩陣定義[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2007,43(14):1-2.

[15] 羅來(lái)鵬.粗糙集的矩陣關(guān)系[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2009(23):203-207.

[16] 羅來(lái)鵬,劉二根,曾毅.粗糙集理論研究的矩陣方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2009(4):859-862.

[17] ZHANG J B,LI T R,RUAN D,et al.Rough Sets Based Matrix Approaches with Dynamic Attribute Variation in Set-valuedtion Systems[J].International Journal of Approximaximate Reasoning,2012,53(4):620-635.

[18] LIU GUILONG.The Axiomatization of Rough Set Upper Approximation Operation[J].Fundamental Informaticae,2006,69(3):331-342.

[19] 王磊.信息系統(tǒng)動(dòng)態(tài)知識(shí)更新的矩陣方法研究[D].成都:西南交通大學(xué),2013.

[20] 王磊,李天瑞.基于矩陣的粗糙集上下近似的計(jì)算方法[J].模式識(shí)別與人工智能,2011,24(6):756-762.

[21] 劉慧,祝峰,林姿瓊.雙論域粗糙集的矩陣表示[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2015,(24):154-158.

[22] 李中然,舒蘭.模糊粗糙集的上下近似的矩陣計(jì)算[J].計(jì)算機(jī)技術(shù)與發(fā)展,2015,25(4):10-12.

[23] 林娟,米據(jù)生,解濱.粗糙集的兩種相似性度量[J].計(jì)算機(jī)科學(xué),2015,42(6):97-100.