劉 磊

(中煤科工集團西安研究院有限公司，西安 710077)

0 引言

直流電法超前探測是解決煤層巷道掌子面前方探測的一種常用方法[1-3]。傳統(tǒng)方式在迎頭前方布置三個供電電極，供電電極之后以一定間距布置若干個接收電極，供電電極分別供電，得到三條電位差曲線并計算相應(yīng)視電阻率曲線。通過“交匯”方法進行迎頭前方電阻率分布一維解釋[4-5]。數(shù)值模擬結(jié)果表明，迎頭采用點電極供電方式對前方激勵有限，巷道內(nèi)可測量異常幅度較小[6]。“交匯”處理方法過程相對簡單，運用較多。由測量數(shù)據(jù)到電性分布屬于地球物理反問題，求解反問題需要建立待反演物理量變化梯度與測量數(shù)據(jù)之間的近似線性關(guān)系，即計算雅克比矩陣，不斷獲取模型修正量，通過反復(fù)迭代最終獲得反演結(jié)果。對于直流電法反演的研究一般集中于地面情況，從最初的一維到目前的三維反演都有文獻論述[7-8]。

直流電法反演研究文獻很多，shima H在1987年提出了地面電阻率成像的概念，將待成像區(qū)域網(wǎng)格化，試圖建立單元電阻率與視電阻率的近似線性關(guān)系，后來又嘗試將電位表示成級數(shù)和，但對于高阻體和電導(dǎo)率急劇變化的模型遇到了困難[9-10]。毛先進利用格林函數(shù)導(dǎo)出2.5維問題中研究區(qū)域電位滿足的邊界方程，將電位表示成電阻率的顯示形式，分析空間電位與單元電阻率之間的關(guān)系，克服了shima H方法中的問題[11]。李克借鑒醫(yī)學(xué)上成像方法，沿著等位線修正電阻率，隨著深度變大，等位線逐漸平緩，分辨率變差[12]。底青云與李克采用了類似的方法，不同之處在于借鑒地震射線追蹤方法，沿著電流線修正電阻率，同樣存在精度不高的問題[13]。物探異常幅度大小取決于供電源和接收裝置距離待探查異常區(qū)的距離，本文提出一種采用掘進鉆桿供電的方法，將激勵電流傳輸至迎頭前方，增大對異常體的激勵程度。在巷道內(nèi)接收，對待探測區(qū)域進行柱狀剖分，建立剖分單元電阻率與異常電位差之間的近似線性關(guān)系，改變供電鉆桿供電深度，形成不同供電狀態(tài)下的線性代數(shù)方程組，最終得到迎頭前方電阻率分布情況。

1 鉆桿供電超前探測基本原理

均勻全空間點電源電位表達式有比較簡單的形式[14]：

(1)

其中，R是點電源與觀測位置之間的距離，ρ是介質(zhì)電阻率。

根據(jù)JAMES R.WALT的研究成果，低頻短距離條件下，由于供電鉆桿與圍巖介質(zhì)存在明顯的電導(dǎo)率差異，供電電流基本垂直于鉆桿均勻流出，在鉆桿長度方向上不存在流動的電流，鉆桿可視為線電源[15]。線電源全空間的點位表達式為[16]：

(2)

(x0,y0,z0)是源點的坐標，x,y,z是計算點坐標。L為線源長度，線狀源供電下電位等值線在平面上(z=0)的形態(tài)如圖1。

圖1 線電源(鉆桿供電模式下)電位平面分布Figure 1 Line power supply (under drill stem power supply mode) potential plane distribution

全空間中，點電源的電位等值線為以供電點為圓心的同心圓，在供電點附近，電流密度梯度大，電位值衰減快。對于超前探測問題，在巷道掌子面供電方式下流經(jīng)掌子面前方的電流密度小，對異常體激勵有限。采用鉆桿供電后，開孔點(對應(yīng)于點電極供電處)前方電流分布均一性增強，強度也大大提高。

實現(xiàn)超前探測電阻率反演，需要量化電阻率變化與測量電壓之間的關(guān)系。現(xiàn)行反演方法中，一般將待反演區(qū)域離散化并給定初始模型，根據(jù)單元電阻率梯度變化與觀測數(shù)據(jù)之間的關(guān)系獲得模型修正量，經(jīng)過多次迭代求取最小二乘意義下的解，這種方法在未知變量較少的情況下收斂速度快，計算量小，但容易陷入局部最優(yōu)解。當未知參數(shù)較多時，確定梯度方向的計算量以待反演參數(shù)個數(shù)的平方增加，而且導(dǎo)致模型修正量求解方程的病態(tài)性大大增加，帶來求解的不穩(wěn)定性，反演過程可能提前終止。

最小二乘意義下的反演過程中，梯度方向的計算實際是為了尋求某種線性關(guān)系，通過解方程更正模型。直流電場中，電位與單元電阻率關(guān)系復(fù)雜，異常電位與單元電阻率關(guān)系更有規(guī)律。全空間點電源供電下電位計算模型如圖2。

圖2 全空間點電源電流場中的導(dǎo)電球體模型Figure 2 Conductive sphere model in full space point power supply current field

點電源供電下異常球體的電位表達式為[14]：

Pn(cosθ)]

(3)

公式(3)可以看出，總電位由兩部分構(gòu)成：正常背景電位值和由于電流激勵異常體產(chǎn)生的異常電位值?？倛鲈谛问缴媳硎境扇缦滦问剑?/p>

U=U0+U1

(4)

U0是全空間背景電位，U1是異常電位，背景電位僅與全空間電阻率值和供電點、接收點之間的距離有關(guān)，異常電位形式復(fù)雜，是一個無窮級數(shù)，在形式上可進一步分解：

(5)

其中，Yn是一個與階數(shù)和相對位置關(guān)系有關(guān)的量，qn是描述異常體和圍巖電阻率差異的量。Yn在一定的觀測方式下，可視為常數(shù)，異常電位只與異常體和圍巖電阻率差異相關(guān)，對qn表達式做等價變換：

(6)

異常體與圍巖電阻率往往相差較大，以u12的常用對數(shù)為自變量，d,r,r0均為常數(shù)情況下，qn的變化規(guī)律如圖3所示：

圖3 不同階數(shù)u12與qn的關(guān)系Figure 3 Relationship between u12 and qn at different orders

圖3可以看出，異常體電阻率在0.1～10變化時，異常電位值與u12存在近似的線性關(guān)系，在能獲取背景電阻率的條件下，可以通過純異常場電位差值嘗試建立相對簡單的近似意義下的線性代數(shù)方程組，相比需要求解雅克比矩陣及其逆矩陣的反演過程，節(jié)省極大計算量，能實現(xiàn)電阻率的快速反演。

2 鉆桿供電超前探測反演方程

在超前探測原理一節(jié)闡述了異常電位的計算方法和反演實現(xiàn)基礎(chǔ)，井下超前探測要考慮全空間因素，實現(xiàn)反演成像，還需要對觀測數(shù)據(jù)和電阻率分布之間的具體聯(lián)系做進一步明確。

圖4 鉆桿供電、巷道接收模式探測示意圖Figure 4 A schematic diagram of prospecting under drill stem power supply and roadway receiving mode

圖4展示了鉆桿供電超前探測方法的施工原理圖，接收電極預(yù)先放置在掌子面后方，鉆桿不斷向前鉆進，在不同鉆進深度分別供電，采集測量電位差。

由于巷道施工空間限制，采集數(shù)據(jù)觀測方位十分有限，采集數(shù)據(jù)量也無法滿足三維反演要求(數(shù)據(jù)量小)，井下超前探測完全的三維反演難以實現(xiàn)。鉆桿供電條件下，鉆桿鉆進方向和接收數(shù)據(jù)在同一直線上，圍繞該直線，異常位置對于觀測數(shù)據(jù)有等值特征，將三維空間進行柱狀剖分(圖5)，剖分方案如下。

圖5 鉆桿供電、巷道接收迎頭前方空間剖分示意圖Figure 5 A schematic diagram of front space subdivision under drill stem power supply and roadway receiving mode

將鉆孔開孔點之前的空間，以鉆桿為軸心進行柱狀剖分，這種剖分方式與供電、接收之間的關(guān)系最為契合。反演時，對異常體定位只考慮鉆進和徑向兩個方向，三維空間利用對稱關(guān)系簡化為二維分布(圖6)。

圖6 三維空間剖分對應(yīng)的偽二維反演網(wǎng)格Figure 6 3D space subdivision corresponding pseudo-2D inversion grid

偽二維反演網(wǎng)格采用不均勻剖分方式，遠離開孔端逐漸放大網(wǎng)格間距。反演網(wǎng)格繞鉆進方向旋轉(zhuǎn)360°即為開孔點前方的三維空間剖分形式，點電源球狀異常體電位表達式可以看出，供電電流激發(fā)條件下，異常體類似于一個次生“源”，產(chǎn)生的異常電位疊加于背景電位之上。線電源背景場可采用離散方式進行點電源積分疊加，不同網(wǎng)格單元產(chǎn)生的異常電位值也可以采取類似方式疊加到異常場中。將二維反演網(wǎng)格繞軸旋轉(zhuǎn)30°,各單元均對應(yīng)一部分空間體積，該空間體積用等效球體替代，將該空間體積的異常響應(yīng)作為網(wǎng)格單元的異常響應(yīng)，通過鉆進深度的改變建立線性代數(shù)方程組，具體過程如下。

①對反演網(wǎng)格按照先行后列的順序依次編號，記為m行，n列。

②在鉆桿鉆進至0.5m時(近似為0m)，采用“無窮遠”電極和鉆桿作為供電電極向地下供電，按照網(wǎng)格編號順序分別計算電阻率差異10倍下1、2號電極之間的異常電位差，形成1行，m×n列數(shù)據(jù)。

③計算各網(wǎng)格對應(yīng)的等效球體對2、3號電極之間的異常電位差貢獻，新一行數(shù)據(jù)續(xù)接第一行，…,以此類推，計算所有網(wǎng)格對第24、25電極間的異常電位差，形成24行，m×n。

④鉆桿鉆進至10，20,……100m,依次重復(fù)步驟②-③形成新的24行，m×n列矩陣并續(xù)接；最終形成24×鉆進深度個數(shù)，m×n列的總體反演矩陣。

⑤采用小四極方式，測量背景電阻率，從測量數(shù)據(jù)中減去不同供電狀態(tài)下背景電位大小，得到純異常電位；形成反演方程：

(7)

求解方程，可以得到電阻率分布的二維反演結(jié)果。

3 模型測試

為驗證反演方法可行性，用正演模擬方法生成模擬數(shù)據(jù)，將設(shè)定模型與反演結(jié)果進行對比，通過對比結(jié)果對反演成像方法優(yōu)劣進行評價。超前探測過程中，斷層、陷落柱是比較常見的構(gòu)造導(dǎo)水通道，采空區(qū)和老窯巷道是比較常見的儲水空間，陷落柱和采空區(qū)分別是比較典型的點狀、面狀構(gòu)造，分別用陷落柱和采空區(qū)兩種模型，說明鉆桿供電超前探測反演效果。

3.1 陷落柱模型超前探測反演

按圖4所示的施工方法，在巷道中布置25個接收電極，間隔4m，以開孔點為坐標原點，設(shè)立模型如(圖7)。

圖7 鉆桿供電-巷道接收陷落柱超前探測示意圖Figure 7 A schematic diagram of drill stem power supply roadway receiving subsided column advanced prospecting

接收電極與鉆桿在同一直線上，接收位置-2m至-98m，間距4m，，異常體為邊長為15m的正六面體，中心坐標(35,20,0)，圍巖電阻率100Ω·m，異常體電阻率10Ω·m，鉆桿鉆進深度為：0(點電極供電)、10、20、…,100m共11個深度。在各個鉆進深度下，異常電位差如圖8。

圖8 陷落柱純異常電位差曲線與鉆進深度關(guān)系Figure 8 Relationship between subsided column pure abnormal potential difference curve and drilling depth

圖(8)中每條曲線為特定鉆進深度下的純異常電位差曲線，接收數(shù)據(jù)按順序排列，0m鉆進深度接收數(shù)據(jù)編號1-24，10m鉆進深度接收數(shù)據(jù)編號25-48，依此類推。數(shù)據(jù)編號為橫坐標，異常電位差值為縱坐標。每條接收曲線都隨編號的增加而減小，最大幅值先增大后減小，鉆進深度與異常距離迎頭前方距離相近時，純異常電位差幅值最大。對計算數(shù)據(jù)按前文所提供方法反演，得到電阻率相對分布如圖9。

圖9 陷落柱模型反演結(jié)果Figure 9 Subsided column model inversion result

反演結(jié)果中，等值線值表示實際電阻率與背景電阻率比值的常用對數(shù)，為無量綱量，負值表示反演電阻率低于背景，正值對應(yīng)高阻，絕對值大小反映偏離程度。陷落柱反演結(jié)果可以看出，反演結(jié)果異常體形態(tài)與實際存在差距，異常形態(tài)呈“豆瓣”狀，圖9中黑色虛線框標明了異常體在模型中的平面位置，反演異常中心與實際模型一致，分布范圍有所擴大。對比反演網(wǎng)格不難得出結(jié)論：反演網(wǎng)格剖分形式?jīng)Q定了結(jié)果分辨率，反演網(wǎng)格逐漸放大方式符合分辨率隨接收距離變大而減小的規(guī)律，在一定程度上平衡反演矩陣中元素數(shù)量級差異，減小反演矩陣條件數(shù)，提高穩(wěn)定性，同時造成距離迎頭較遠處分辨率降低，分辨率與穩(wěn)定性難以同時兼顧。

3.2 采空區(qū)模型超前探測反演

陷落柱是典型點狀構(gòu)造，反演異常中心與模型中心對應(yīng)良好。采空區(qū)是巷道掘進中常見的人為遺留隱患，采空區(qū)在平面上呈面狀分布，空間分布如圖10所示。

圖10 采空區(qū)超前探測模型示意圖Figure 10 A schematic diagram of worked-out area advanced prospecting model

供電、接收方式與陷落柱探查相同，采空區(qū)模型為厚度5m的板狀體，x方向30～70m，y方向10～50m，圍巖電阻率100Ω·m，異常體電阻率10Ω·m。鉆桿鉆進深度：0(點電極供電)、10、20、…,100m共11個深度。各鉆進深度下，異常場電位差如圖11。

圖11 采空區(qū)純異常電位差曲線與鉆進深度關(guān)系Figure 11 Relationship between worked-out area pure abnormal potential difference curve and drilling depth

采空區(qū)純異常電位差曲線與陷落柱類似，在鉆桿鉆進至采空區(qū)邊界時，純異常電位幅度最大，采空區(qū)與陷落柱在模型設(shè)計上，只有分布范圍差異，激發(fā)方式和接收方式并無顯著改變，異常電壓響應(yīng)只在數(shù)值上存在差異，規(guī)律上變化不明顯。對數(shù)據(jù)進行處理(圖12)。

圖12 采空區(qū)模型的反演結(jié)果Figure 12 Worked-out area model inversion result

圖12為圖10采空區(qū)模型的反演結(jié)果，圖中黑色虛線框為模型中采空區(qū)設(shè)定位置，藍綠色區(qū)域為數(shù)據(jù)反演結(jié)果，與陷落柱反演結(jié)果不同，采空區(qū)模型反演并沒有明確的異常中心，反演結(jié)果異常最突出處為采空區(qū)靠近開孔點一角，其它位置異常幅度減弱，總體可大略判斷范圍，但分辨率不高。

3.3 采空區(qū)超前探測實例

為了驗證探測方法的可行性和實用性，針對采空區(qū)模型開展了一次實驗，在山西某礦工作面巷道掘進過程中，迎頭前方約50m處存在已知采空區(qū)，采空區(qū)范圍明確。采用本文所陳述的方法，利用鉆桿供電，在巷道中布置接收電極16個采集電壓數(shù)據(jù)，對測量數(shù)據(jù)進行反演，得到的反演結(jié)果和實際情況對照如圖13。

圖13給出了山西某礦實際采空區(qū)超前探測反演結(jié)果，紫色方框為該礦已知采空區(qū)，坐標原點為鉆孔開口位置，藍綠色區(qū)域為反演異常區(qū)域，從反演結(jié)果可以看出，反演異常區(qū)對實際采空區(qū)的反映效果與數(shù)值模擬類似，反演結(jié)果異常最大值處位于采空區(qū)邊界靠近鉆桿位置，偏離鉆桿更遠區(qū)域分辨率變差，但反演結(jié)果總體能體現(xiàn)采空區(qū)位置。

4 結(jié)論

①直流電場激發(fā)情況下，低阻/高阻異常體激發(fā)的異常場幅度在較大范圍內(nèi)和其本身電阻率與背景電阻率比值的常用對數(shù)有近似線性關(guān)系，這構(gòu)成了根據(jù)異常電位差進行快速反演的基礎(chǔ)。

②從正演模擬結(jié)果看到，固定供電狀態(tài)時，純異常電位差遠離異常體時快速減小，通過推進鉆桿，增加供電深度方式，可以提高異常幅度。增加對異常激勵，有助于辨識異常。

③超前探測反演結(jié)果分辨率和可靠性對反演網(wǎng)格的要求相互矛盾，該矛盾主要由觀測方式缺陷造成，數(shù)據(jù)測量在同一直線且遠離異常體，在本質(zhì)上不利于取得好的處理效果。

④采用鉆桿供電方式，能提升對異常體激勵，基于這種探測方式的二維反演方法雖在結(jié)果上并不能完全吻合模型，但突破了常規(guī)一維解釋的局限，對異常體在鉆進方向和徑向兩個方向的位置都有了更為精確的定位。

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