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        高速機(jī)器人的分?jǐn)?shù)階終端滑模跟蹤控制

        2018-05-07 06:39:54田雪虹劉煥牢劉海濤
        裝備制造技術(shù) 2018年2期
        關(guān)鍵詞:理論方法系統(tǒng)

        田雪虹,劉煥牢,劉海濤

        (廣東海洋大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院,廣東 湛江524088)

        0 引言

        隨著用戶對機(jī)器人的要求越來越高,傳統(tǒng)的PID控制已無法滿足要求,許多非線性控制方法得到越來越多的重視,如自適應(yīng)控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制、迭代學(xué)習(xí)控制、反步控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等等。這些控制方法各有優(yōu)勢,也存在不足,在實(shí)際應(yīng)用中具有一定的局限性。本文是針對高性能的工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng),其控制要求是高速、強(qiáng)魯棒性和高抗干擾力,而以上方法難于滿足性能要求。

        有些研究表明系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定比漸近穩(wěn)定具有更好的控制精度和抗擾動(dòng)性能[1],因而得到研究者的密切關(guān)注,常見的有限時(shí)間控制方法有時(shí)間最優(yōu)控制[2-3]、終端滑??刂芠4-5]、齊次性方法[6]等。終端滑??刂剖峭ㄟ^設(shè)計(jì)一種動(dòng)態(tài)非線性滑模面方程實(shí)現(xiàn)的,并使得滑模面誤差能夠在有限時(shí)間能收斂到零[7-8]。因此,該控制方法在很多系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)中被廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[9-10]考慮集群航天器電磁編隊(duì)系統(tǒng)的強(qiáng)非線性特性,結(jié)合非奇異終端滑模理論,提出了一種有限時(shí)間穩(wěn)定性控制方法。文獻(xiàn)[11]提出了一類自適應(yīng)終端滑模有限時(shí)間控制方法顯式地引入輸出的飽和幅值,確保閉環(huán)系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)快速收斂到滑模面的鄰域內(nèi)。但是傳統(tǒng)的終端滑模控制存在切換特性,容易使系統(tǒng)產(chǎn)生“抖振”現(xiàn)象。為解決“抖振”問題,張碧陶等[12]將分?jǐn)?shù)階理論引入到滑模面中,從而有效的削減了抖振。在此基礎(chǔ)上文獻(xiàn)[13]將分?jǐn)?shù)階理論與模糊邏輯相結(jié)合,提出了基于模糊分?jǐn)?shù)階的滑??刂撇呗?,同樣能有效地削減抖振,并且能保持滑??刂破鲗ο到y(tǒng)外部擾動(dòng)的全局魯棒性。文獻(xiàn)[14]針對機(jī)器人實(shí)際存在的不確定性問題,提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分?jǐn)?shù)階滑模控制方法,采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近機(jī)器人的逆動(dòng)力學(xué)方程并進(jìn)行補(bǔ)償,因而具有良好的魯棒性。但是以上方法無法獲得閉環(huán)系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性?;诖?,本文為進(jìn)一步提高機(jī)器人的控制性能,將分?jǐn)?shù)階理論推廣至終端滑??刂评碚摚瑥亩WC系統(tǒng)在有限時(shí)間收斂的同時(shí)能夠消減抖振。

        1 問題的描述

        考慮具有n自由度的多輸入多輸出的工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng):

        其中 q,q˙,q¨∈Rn分別是關(guān)節(jié)角度、角速度和角加速度向量,M(q)∈Rn×n為對稱正定的慣性矩陣,C(q,q˙)∈Rn×n是哥氏力和向心力矩陣,G(q)∈Rn是重力項(xiàng),τ∈Rn為各關(guān)節(jié)的控制力矩。

        實(shí)際上很難甚至不可能精確獲得模型(1)的動(dòng)力學(xué)參數(shù),因此基于動(dòng)力學(xué)的控制方法需要考慮這些參數(shù)不確定性對機(jī)器人性能的影響。為此,本文將機(jī)器人的實(shí)際參數(shù)表達(dá)為如下形式

        其中 M0,C0,G0為估計(jì)參數(shù),△M,△C,△G 為參數(shù)的未知部分。則機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程(1)可表達(dá)為

        其中,

        ρ(q¨)∈Rn稱為機(jī)器人參數(shù)的不確定性函數(shù)。

        假設(shè)1.不確定性函數(shù)滿足:

        其中ε>0,由于機(jī)器人的關(guān)節(jié)加速度是有上限的,因而假設(shè)1是符合實(shí)際的。

        2 分?jǐn)?shù)階終端滑??刂?/h2>

        考慮一類帶不確定性的二階非線性系統(tǒng):

        其中x=[x1,x2]T,非線性函數(shù)f(x)和g(x)≠0是平滑的,d(x)為未知不確定函數(shù),滿足‖d(x)‖≤dˉ,dˉ>0.

        為了消除“抖振”,本文提出一種基于分?jǐn)?shù)階理論的終端滑模方法,即選擇如下滑模面:

        采用基于分?jǐn)?shù)階的滑模面,本文得到如下定理:

        定理 1針對系統(tǒng)(6),若選擇滑模面(7),將控制器設(shè)計(jì)為:

        式中k>d>0,則系統(tǒng)狀態(tài)能在有限的時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)到TSM滑模面。

        證明:

        對滑模面(7)求導(dǎo)可得

        選擇如下Lyapunov函數(shù)

        對上式求導(dǎo)可得

        將控制器(9)代入上式得

        因此,由Lyapunov穩(wěn)定性理論可知,系統(tǒng)狀態(tài)能在有限的時(shí)間內(nèi)T到達(dá)滑模面。

        為證明沿著滑模面的系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)平衡點(diǎn)的時(shí)間也是有限的,文獻(xiàn)[14]得到如下引理:

        引理1[14]假設(shè)連續(xù)正定函數(shù)V(t)滿足微分不等式

        式中μ>0,0<η<1均為常數(shù)。則V(t)滿足不等式

        V(t)≤V1-η(0)-μ(1-η)t 0≤t≤tr1(15)

        并且 V(t)=0,?t≤ tr1,有限時(shí)間

        在終端滑模s(t)=0上。由引理1可證明到達(dá)平衡點(diǎn)的時(shí)間也是有限的。

        即由 s(t)=0 可得

        定義Lyapunov函數(shù)為

        V沿滑模面對時(shí)間求導(dǎo)有

        其中 μ =2(1+λ)/2α,0 < η =(1+ λ)/2 < 1.由引理1 可知,當(dāng) t≥ tr1時(shí),有 x1=0,且

        說明:式(9)中的符號(hào)函數(shù) sgn(s)也會(huì)造成“抖振”現(xiàn)象,故本文采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的濾波特性來抑制“抖振”,即將 sgn(s)修正為:

        證明:當(dāng)采用分?jǐn)?shù)階控制律時(shí),可選擇如下Lyanpunov函數(shù)

        對上式求導(dǎo)可得:

        因此設(shè)計(jì)控制器為

        其中d^>d>0.則恒有V˙≤ 0,根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可知,系統(tǒng)能在有限的時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)到切換面.故得到以下定理:

        定理 2針對系統(tǒng)(6),若設(shè)計(jì)滑模面為式(7),有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)為式(24),則系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)TSM滑模面的時(shí)間是有限的。

        3 基于分?jǐn)?shù)階的機(jī)器人終端滑模控制

        工業(yè)機(jī)器人有限時(shí)間軌跡跟蹤控制的目的就是使機(jī)器人的關(guān)節(jié)q能有效地跟蹤期望的qd,且使跟蹤誤差 e 收斂至零的時(shí)間是有限的,其中 e(t),e˙(t)∈Rn分別定義為 x1=e=q-qd,x2=e˙=q˙-q˙d則機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型(3)可表達(dá)為:

        若采用同式(7)的滑模面,則有以下定理。

        定理2 針對系統(tǒng)(20),若選擇滑模面(7),且將控制器設(shè)計(jì)為:

        證明類似于定理2,略。

        4 仿真

        為了驗(yàn)證本文算法的有效性,本文對如圖1所示的高速二自由度機(jī)器人進(jìn)行仿真,其動(dòng)力學(xué)方程為

        其中

        m11=p1+p2+2p3cosq2-2p4sinq2

        m12=p2+p3cosq2-p4sinq2

        m22=p2

        b=p3sinq2+p4cosq2

        p1,p2,p3和 p4為機(jī)器人的最小慣性參數(shù),d1=0.5sint,d2=0.5cost為機(jī)器人的外界干擾;機(jī)器人的實(shí)際參數(shù)值為:p1=0.049 8 kg·m2,p2=0.003 6 kg·m2,p3= -0.001 5 kg·m2,p4=0.008 1 kg·m2;而其估計(jì)參數(shù)值為:p1=0.038 6 kg·m2,p2=0.019 24 kg·m2,p3= -0.000 45 kg·m2,p4=0.004 923 kg·m2. 機(jī)器人的期望軌跡為qd1=sin2t,qd2=sin2t.系統(tǒng)的初始狀態(tài)為q1(0)=0.2 rad,q2(0)=0.2 rad,q˙1(0)=0 rad/s,和q˙2(0)=0 rad/s.控制器的控制參數(shù)為:α=diag(25,25,25),β =diag(20,20,20),w=diag(30,30,30),r=0.8,λ =0.8.

        圖1 兩自由度平面機(jī)器人

        仿真結(jié)果如圖2、圖3所示,由圖2可以看出這些關(guān)節(jié)的響應(yīng)時(shí)間在1 s左右,且各關(guān)節(jié)的位置跟蹤誤差為0.05 rad,容易得出,本文提出的算法具有較高的跟蹤精度、較快的瞬態(tài)特性和較強(qiáng)的魯棒性。由圖3可以看出,各軸的控制量相對平滑,也不存在抖振現(xiàn)象。

        圖2 機(jī)器人的跟蹤誤差

        圖3 各關(guān)節(jié)的控制輸入量

        5 結(jié)論

        本文針對傳統(tǒng)整數(shù)階終端滑??刂葡到y(tǒng)的抖振問題,提出了分?jǐn)?shù)階的終端滑??刂扑惴āMㄟ^采用分?jǐn)?shù)階的切換流形來抑制抖振,再結(jié)合終端滑模控制的有限時(shí)間收斂特性,從而保證機(jī)器人閉環(huán)系統(tǒng)具有較高的跟蹤精度、較快的瞬態(tài)特性和較強(qiáng)的魯棒性。仿真結(jié)果表明,本文提出的控制方法是有效的、可行的。

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