許珊珊 楊玉歡 張孝明

(1.西南石油大學理學院，四川 成都 610500；2.西南石油大學計算機科學學院，四川 成都 610500)

1 引言

CT技術在醫(yī)學應用、無損檢測、精密儀器反演等多個領域發(fā)揮著重要作用，CT系統(tǒng)圖像重建是CT技術的核心。而CT系統(tǒng)參數(shù)的標定對其后的重建效果起著至關重大的作用。任意一個裝置存在幾何偏差時，都會導致重建圖像中產生幾何偽影，幾何偽影的出現(xiàn)會影響斷層圖像的重建質量。為此，本文根據(jù)2017年全國大學生數(shù)學建模競賽A題，對第一問需要求解的CT系統(tǒng)參數(shù)建立數(shù)學模型進行研究分析。

2 問題假設

(1)模板中的橢圓、小圓都是標準的橢圓和圓形；

(2)發(fā)射器發(fā)射的X射線相互平行且忽略空氣對X射線的衰減；

(3)發(fā)射-接收系統(tǒng)均勻轉動。

3 基于Radon變換與最小二乘法的CT系統(tǒng)參數(shù)標定

3.1 模型建立

由于正方形托盤上放置的固體介質是均勻的，并且忽略空氣對X射線的衰減，根據(jù)衰減規(guī)律，CT投影長度與接收信息成正相關，由此可得：

(1)

其中，u為衰減系數(shù)，也就是本題的吸收強度，l為投影長度，γ為接收信息。

由于在掃描過程中，會出現(xiàn)部分X射線會同時穿過橢圓和小圓的情況，設l1為X射線在橢圓中穿過的距離，l2為X射線在小圓中穿過的距離，于是，l=l1+l2。

X射線對均勻固體掃描的過程中，Radon變換可以寫成：

(2)

其中，Rf為投影長度，故有：

(3)

又因為X射線平行入射且垂直于探測器平面，發(fā)射器與探測器的相對位置不變，則l1、l2分別是X射線與橢圓、小圓的相交弦長。

以X射線掃描橢圓為例，以橢圓中心為原點，短軸為x軸，長軸為y軸，建立平面直角坐標系，設旋轉中心為or(x0,y0)，初始角度為θ0，每次轉動的角度為Δθ，于是第i次旋轉后的角度為：

θi=θ0+iΔθ

(4)

根據(jù)幾何知識可得橢圓方程為：

(5)

若第k個探測器對應的平行射線X表示為：

yk=b+(k-1)d

(6)

逆時針旋轉Δθ后，公式(6)旋轉公式為：

(7)

其中，yik表示旋轉第i次后第k個探測器對應的平行射線X的方程。

聯(lián)立方程(5)、(6)、(7)，得到如下表達式：

(8)

設交點為(x11,y11)和(x12,y12)，根據(jù)韋達定理得：

(9)

得到旋轉第i次后第k個探測器對應的平行射線X與橢圓的相交弦長為：

(10)

同理可得，當X射線掃描小圓時，圓的方程設為：

(x-a2)2+y2=r2

(11)

設交點為(x21,y21)和(x22,y22)，聯(lián)立式(7)和(11)，根據(jù)韋達定理可得：

(12)

得到旋轉第i次后第k個探測器對應的平行射線X與小圓的相交弦長為：

(13)

(14)

因此我們建立了基于最小二乘法的CT系統(tǒng)參數(shù)標定模型：

(15)

3.2 模型求解

l是關于參數(shù)(θ,d,x0,y0)的函數(shù)，我們利用MATLAB中的fmincon函數(shù)完成了CT系統(tǒng)待定參數(shù)的求解。得到的結果如表1所示。

表1 CT系統(tǒng)參數(shù)標定結果

4 總結

本文基于CT投影長度與接收信息成正相關，結合Radon變換原理和題目已知信息，自行推導建立了參數(shù)標定模型，利用MATLAB工具箱進行優(yōu)化求解。但模型還不夠成熟，不能廣泛應用于其他問題求解，這也是本文進一步改進的方向。

[1] 2017年全國大學生數(shù)學建模競賽賽題下載，中國大學生在線數(shù)學建模[EB/OL].http://special.univs.cn/service/jianmo/sxjmyw/2017/0724/1164059.shtml.

[2] 石冶郝,余玉峰,程小紅.CT掃描中的數(shù)學——拉東(Radon)變換[J].首都師范大學學報(自然科學版),2013.

[3] 李增云,呂東輝.利用部分投影的二維CT旋轉中心偏移快速校正[J/OL].CT理論與應用研究,2015.

[4] 李真.錐束CT系統(tǒng)幾何校正方法[D].石家莊：河北大學,2014.