魏自來(lái)，朱曉強(qiáng)

(韶關(guān)市測(cè)繪院，廣東 韶關(guān) 512000)

1 引 言

GPS衛(wèi)星在運(yùn)行過(guò)程中受到諸多誤差的影響，衛(wèi)星鐘差是其中不可忽視的一項(xiàng)，獲得精確的衛(wèi)星鐘差是進(jìn)行高精度導(dǎo)航定位[1]的前提，而IGS站未提供實(shí)時(shí)和外推的精密鐘差，因此，研究高精度鐘差預(yù)報(bào)方法具有重要意義。目前，常用的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)方法主要有二次多項(xiàng)式模型、灰色GM(1，1)模型、ARMA模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等[2～4]。GPS衛(wèi)星在空間中受到不確定的因素影響導(dǎo)致其性能非平穩(wěn)，單一模型由于局限性難以對(duì)衛(wèi)星鐘差進(jìn)行高精度的預(yù)報(bào)，而組合模型能夠一定程度上克服單一模型預(yù)報(bào)精度不高的缺點(diǎn)，提高預(yù)測(cè)精度。王永剛等[5]提出最優(yōu)變權(quán)組合模型預(yù)測(cè)航空運(yùn)輸事故征候，提高了預(yù)報(bào)的可靠性；吳海清等[6]將變權(quán)組合模型應(yīng)用于建筑物沉降，取得了較好的效果；任超等[7]將最優(yōu)非負(fù)變權(quán)組合模型用于大壩變形監(jiān)測(cè)，一定程度上提高了預(yù)測(cè)精度。李飛達(dá)等[8]提出基于二次多項(xiàng)式、灰色GM(1，1)和ARIMA的最優(yōu)變權(quán)組合模型并將其引入衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)中，有效地提高了鐘差預(yù)報(bào)精度。本文將采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、GM(1，1)模型和ARMA模型的最優(yōu)非負(fù)變權(quán)組合模型進(jìn)行衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)，通過(guò)對(duì)衛(wèi)星鐘差進(jìn)行 3 h、6 h、12 h、24 h不同時(shí)長(zhǎng)的預(yù)報(bào)。與經(jīng)典權(quán)組合模型與3種單一模型預(yù)報(bào)結(jié)果作對(duì)比分析，證明基于此3種的最優(yōu)非負(fù)變權(quán)組合模型能夠?qū)πl(wèi)星鐘差進(jìn)行有效的預(yù)報(bào)。

2 最優(yōu)非負(fù)變權(quán)組合預(yù)測(cè)模型的建立

2.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠逼近任意的非線性函數(shù)，可以處理系統(tǒng)內(nèi)的難以解析的規(guī)律性，具有良好的泛化能力，并有很快的學(xué)習(xí)收斂速度，已成功應(yīng)用于非線性函數(shù)逼近、時(shí)間序列分析、數(shù)據(jù)分類(lèi)、模式識(shí)別、信息處理、圖像處理、系統(tǒng)建模、控制和故障診斷等。利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)GPS衛(wèi)星鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào)時(shí)，選取適合的參數(shù)是至關(guān)重要的，目前RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的確定缺少理論根據(jù)，僅憑經(jīng)驗(yàn)確定[9]。GPS衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)為一維時(shí)間序列，因此選取P個(gè)數(shù)據(jù)作為輸入層，Q個(gè)數(shù)據(jù)作為輸出層，即采用前P個(gè)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)后Q個(gè)數(shù)據(jù)的模式，再選取H個(gè)樣本進(jìn)行訓(xùn)練，通過(guò)訓(xùn)練建立的網(wǎng)絡(luò)則可以預(yù)測(cè)所需要的預(yù)測(cè)值。

2.2 GM(1，1)預(yù)測(cè)模型

作為一個(gè)單變量預(yù)測(cè)的微分方程模型，GM(1，1)模型的離散時(shí)間相應(yīng)函數(shù)呈近似指數(shù)規(guī)律。衛(wèi)星鐘差序列經(jīng)過(guò)一次累加，形成一個(gè)遞增數(shù)列，經(jīng)過(guò)不斷的累加，形成的數(shù)據(jù)點(diǎn)連線后接近于一個(gè)指數(shù)函數(shù)，通過(guò)此指數(shù)函數(shù)外推到下一個(gè)累加的和，再經(jīng)過(guò)累減還原得到衛(wèi)星鐘差序列的預(yù)測(cè)值。

2.3 ARMA預(yù)測(cè)模型

自回歸移動(dòng)平均模型(Autoregressive Moving Average Models，ARMA)，簡(jiǎn)稱(chēng)B-J方法，由自回歸(簡(jiǎn)稱(chēng)AR模型)和滑動(dòng)平均模型(簡(jiǎn)稱(chēng)MA模型)為基礎(chǔ)“混合”構(gòu)成，它是一類(lèi)常用的隨機(jī)時(shí)間序列模型。衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)的原理是：將衛(wèi)星鐘差時(shí)間序列視為隨機(jī)過(guò)程，用一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)描述或模擬；一旦該模型確定，就可用該鐘差序列的過(guò)去值和現(xiàn)值來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)值[10]。

2.4 經(jīng)典權(quán)組合預(yù)測(cè)模型

(1)

(2)

2.5 最優(yōu)非負(fù)變權(quán)組合預(yù)測(cè)模型

(3)

其中ωit滿足：

(4)

設(shè)eit、et分別為第i種單一模型和組合預(yù)測(cè)模型在t歷元的衛(wèi)星鐘差預(yù)測(cè)誤差，則：

(5)

(6)

式中，

(7)

確定變權(quán)系數(shù)的準(zhǔn)則有三種：①以相對(duì)誤差的最大值達(dá)到最??；②以絕對(duì)誤差和達(dá)到最??；③以誤差平方和達(dá)到最小。本文采用第三種以預(yù)測(cè)誤差平方和最小為目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)二次規(guī)劃方法可以求得各期的權(quán)系數(shù)，則規(guī)劃模型為：

(8)

對(duì)上述模型進(jìn)行求解，可得各預(yù)測(cè)模型在樣本點(diǎn)處的最優(yōu)加權(quán)系數(shù)。據(jù)此便可得到組合模型在預(yù)測(cè)時(shí)點(diǎn)處的最優(yōu)組合權(quán)系數(shù)ωi，m+j(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)。在確定各預(yù)測(cè)方法中“預(yù)測(cè)時(shí)點(diǎn)”的組合權(quán)重。確定預(yù)測(cè)時(shí)點(diǎn)的組合系數(shù)的方法很多，常用的有兩種：

方法一：此方法適合各方法在時(shí)點(diǎn)序列上的權(quán)系數(shù)無(wú)明顯規(guī)律，樣本量較少的情形。計(jì)算公式如下：

(9)

方法二：此方法常用于觀測(cè)數(shù)據(jù)期數(shù)較多，且各預(yù)測(cè)模型在擬合時(shí)點(diǎn)序列上的權(quán)系數(shù)有一定規(guī)律性。它利用回歸法擬合權(quán)系數(shù)函數(shù)ω(t)。如取ω(t)=b0+b1t，之后確定各預(yù)測(cè)時(shí)點(diǎn)的組合預(yù)測(cè)權(quán)系數(shù)。其步驟如下：

第一步：設(shè)第i種預(yù)測(cè)模型在各擬合時(shí)點(diǎn)的最優(yōu)組合權(quán)系數(shù)為：ωi1，ωi2，…，ωim。

第二步：以第一步的權(quán)系數(shù)為樣本數(shù)據(jù)，用回歸模型求取權(quán)系數(shù)函數(shù)Wi(t)。

第三步：得出權(quán)系數(shù)函數(shù)Wi(t)，再計(jì)算t=m+j時(shí)各預(yù)測(cè)模型的組合權(quán)系數(shù)函數(shù)值Wi(m+j)。

第四步：將Wi(m+j)歸一化，得出t=m+j時(shí)各預(yù)測(cè)模型的組合權(quán)系數(shù)為：

(10)

由于觀測(cè)數(shù)據(jù)量較少，在確定“預(yù)測(cè)時(shí)點(diǎn)”處的最優(yōu)組合權(quán)系數(shù)時(shí)，采用方法一進(jìn)行求解。設(shè)此時(shí)求得的最優(yōu)組合權(quán)系數(shù)為Qi，m+j(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)，根據(jù)式(1)可得下列公式：

(11)

其中，Ym+j為最優(yōu)變權(quán)組合預(yù)測(cè)模型在第m+j期“預(yù)測(cè)時(shí)點(diǎn)”的預(yù)測(cè)值，Ui，m+j為各模型此時(shí)的預(yù)測(cè)值。

3 算例分析

本文從IGS官網(wǎng)給出的2016年5月19日～2016年5月20日的精密星歷中選取了G01號(hào)衛(wèi)星的鐘差，通過(guò)4種方案進(jìn)行建模分析：方案1-ARMA預(yù)報(bào)模型、方案2-灰色GM(1，1)預(yù)報(bào)模型、方案3-RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)報(bào)模型、方案4-基于3種單一模型的經(jīng)典權(quán)組合模型，方案5-基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、GM(1，1)模型、ARMA預(yù)報(bào)模型3種單一模型的最優(yōu)非負(fù)變權(quán)組合模型。以衛(wèi)星2016年5月19日(前96個(gè)歷元)的鐘差數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，后96個(gè)歷元(2016年5月20日)的鐘差數(shù)據(jù)為測(cè)試樣本。分別用3種單一模型和兩種組合模型對(duì)鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)長(zhǎng)為 3 h、6 h、12 h、24 h的預(yù)報(bào)，利用均方根誤差作為精度評(píng)定，為了便于比較分析，給出了3種單一模型和組合模型對(duì)G01衛(wèi)星的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果殘差圖(如圖1所示)和各種模型在不同時(shí)長(zhǎng)預(yù)報(bào)中的均方根誤差(如表1所示)：

圖1 各種單一模型和組合模型不同時(shí)長(zhǎng)的預(yù)報(bào)殘差圖

如圖1所示，ARMA模型、GM(1，1)、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)3種組合模型都能對(duì)衛(wèi)星鐘差進(jìn)行有效預(yù)測(cè)。在不同時(shí)長(zhǎng)預(yù)報(bào)中，3個(gè)單一模型都有不同精度，這是因?yàn)椴煌Ｐ驮谛l(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)過(guò)程中都有各自的局限性。

預(yù)報(bào)精度對(duì)比 表1

結(jié)合表1可見(jiàn)：

(1)在3 h預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)中，3種單一模型及組合模型對(duì)衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果很好。在單一模型中：RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)報(bào)精度優(yōu)于ARMA模型和GM(1，1)模型，在組合模型中：經(jīng)典權(quán)組合模型預(yù)報(bào)精度優(yōu)于3種單一模型，最優(yōu)非負(fù)變權(quán)組合模型預(yù)報(bào)的均方根誤差為 0.026 603 ns，小于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的 0.085 318 ns以及經(jīng)典權(quán)組合模型的 0.072 776 ns。因此，在 3 h預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)中，最優(yōu)非負(fù)變權(quán)組合模型具有可靠性。

(2)在6 h預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)中，隨著時(shí)間推移中，3種單一模型對(duì)衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果急劇下降，在這段時(shí)間內(nèi)，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)報(bào)精度下降得最快，均方根誤差達(dá)到0.292 824 ns，GM(1，1)模型取得了較好的預(yù)報(bào)效果，在組合模型中經(jīng)典權(quán)組合模型也達(dá)到了很好的效果，預(yù)報(bào)精度優(yōu)于GM(1，1)模型，最優(yōu)非負(fù)變權(quán)組合模型預(yù)報(bào)的均方根誤差為 0.183 017 ns，小于GM(1，1)模型的 0.196 558 ns和經(jīng)典權(quán)組合模型的 0.199 356 ns，表明最優(yōu)非負(fù)變權(quán)組合模型適用于中短期預(yù)報(bào)。

(3)在12 h預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)中，由圖一可以看出，3種單一模型和2種組合模型對(duì)衛(wèi)星鐘差的預(yù)報(bào)精度在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的急劇下降之后，逐漸趨于平穩(wěn)，此時(shí)，單一模型中GM(1，1)的預(yù)報(bào)效果最好，其模型預(yù)報(bào)的均方根誤差為 0.491 518 ns，要優(yōu)于經(jīng)典權(quán)組合模型的 0.514 975 ns，但是與最優(yōu)非負(fù)變權(quán)組合模型的 0.471 233 ns存在差距，在中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)中，最優(yōu)非負(fù)變權(quán)組合也取得了較好的效果。

(4)在24 h預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)中，3種單一模型和組合模型預(yù)報(bào)誤差都有減小趨勢(shì)。GM(1，1)在3種單一模型中，取得的最好的預(yù)報(bào)效果，并且預(yù)報(bào)精度優(yōu)于經(jīng)典權(quán)組合模型。最優(yōu)非負(fù)變權(quán)組合模型克服了單一模型在衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)中的局限性，減小趨勢(shì)表現(xiàn)最為明顯，均方根誤差為 0.457 649 ns，小于 12 h預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)的 0.471 233 ns。顯然，變權(quán)組合在長(zhǎng)期預(yù)報(bào)中具有可靠性。

在對(duì)衛(wèi)星鐘差不同時(shí)長(zhǎng)的預(yù)報(bào)中，最優(yōu)非負(fù)變權(quán)組合總能取得很好的效果，但是在有的歷元中，變權(quán)組合卻與某個(gè)模型的預(yù)報(bào)結(jié)果相同。這里有必要解釋一下，在最優(yōu)非負(fù)變權(quán)組合中，權(quán)重取負(fù)數(shù)是沒(méi)有意義的，最優(yōu)非負(fù)變權(quán)組合模型采用目標(biāo)規(guī)劃方法，求解單一模型殘差值在每個(gè)歷元處的最優(yōu)非負(fù)變權(quán)系數(shù)，以達(dá)到單一預(yù)報(bào)模型殘差平方和最小的目的。當(dāng)某個(gè)單一模型的殘差值較大時(shí)，組合模型賦予其的權(quán)值會(huì)很小，甚至是0權(quán)值，這樣就會(huì)導(dǎo)致最優(yōu)非負(fù)變權(quán)的預(yù)報(bào)結(jié)果出現(xiàn)在邊界上的現(xiàn)象，預(yù)報(bào)結(jié)果與某個(gè)模型相同。經(jīng)典權(quán)組合模型建模簡(jiǎn)單，單一模型的權(quán)值是基于殘差序列的方差倒數(shù)求解得到的，由算例分析可以看出：經(jīng)典權(quán)組合模型的預(yù)報(bào)精度分布比較均勻，介于最優(yōu)與最差之間，在單一組合模型殘差不會(huì)過(guò)大情況下，經(jīng)典權(quán)組合模型往往能取得較好的效果。對(duì)不同模型在衛(wèi)星鐘差的不同時(shí)長(zhǎng)預(yù)報(bào)的分析，隨著時(shí)間的推移，預(yù)報(bào)精度在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間下降之后，逐漸趨于平穩(wěn)并有提高的趨勢(shì)，在整個(gè)過(guò)程中最優(yōu)非負(fù)變權(quán)組合模型都有最好的表現(xiàn)。表明最優(yōu)非負(fù)變權(quán)組合模型不僅適合短期預(yù)報(bào)，也適合中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)。

4 結(jié) 論

考慮到各單一模型在衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)中的局限性，本文將最優(yōu)非負(fù)變權(quán)組合模型引入到衛(wèi)星鐘差的組合預(yù)報(bào)中，組合模型能根據(jù)各單一模型的預(yù)報(bào)效果給各歷元賦予不同的權(quán)值，對(duì)殘差的調(diào)節(jié)取得了很好的效果，綜合各種模型的優(yōu)點(diǎn)，提高了預(yù)報(bào)結(jié)果的可靠性。經(jīng)算例，組合模型在 3 h、6 h、12 h、24 h的預(yù)報(bào)中取得了均方根誤差為：0.026 603 ns、0.183 017 ns、0.471 233 ns、0.457 649 ns，證明基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、GM(1，1)模型和ARMA模型3種單一模型組合的最優(yōu)非負(fù)變權(quán)組合模型在衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)中的可靠性，且適合長(zhǎng)期預(yù)報(bào)。

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