趙亞波，王智，李勇，張洪德，薛慧艷

(青島市勘察測繪研究院，山東 青島 266032)

1 引 言

城市軌道交通工程在建設(shè)過程中，不管是前期的地面控制網(wǎng)測量，還是隧道開挖過程中的地下導(dǎo)線測量，測距邊長都要經(jīng)過高程歸化改正和高斯投影兩項(xiàng)改正[1]，高程歸化改正的作用是將測距邊長從觀測平面高程面歸算到城市軌道交通工程線路的平均高程面，若測距邊所在平均高程面比城市軌道交通工程線路平均高程面要高，則測距邊改算后變短，反之變長[2]；高斯投影改化的作用是將測距邊兩端點(diǎn)在橢球體上投影所形成的大地線改算到高斯投影面上的投影邊長，不在中央子午線上的測距邊，改正后邊長均變長[3]。

我國現(xiàn)行規(guī)范要求，邊長變形值不得超過 2.5 cm/km[4]。變形值在 2.5 cm/km之內(nèi)，則用改正后的邊長進(jìn)行平差計(jì)算，若變形值超限，則需進(jìn)行選取不同的高程投影面或中央子午線等方法進(jìn)行改算[5]，本文分析了高程歸化和高斯投影改化兩項(xiàng)改正的數(shù)學(xué)公式，并以青島地鐵4號線為例分析了當(dāng)城市軌道交通工程邊長變形超限的處理方法。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 高程歸化

(1)

由上式可得歸化到城市軌道交通線路測區(qū)平均高程面上的測距邊長度D的計(jì)算公式為[6]：

圖1 高程歸化示意圖

(2)

式中：

R——參考橢球體在測距邊方向法截弧的曲率半徑(m)；

Hp——城市軌道交通工程線路的平均高程(m)；

Hm——測距邊兩端點(diǎn)的平均高程(m)。

由上式可以看出，高程歸化改算與測距邊長度、所在高程面以及城市軌道交通工程線路的平均高程面有關(guān)。

2.2 高斯投影改化

測距邊在高斯投影面上長度比橢球體上大地線S要短，比測距邊兩端點(diǎn)在高斯投影面上的投影點(diǎn)連接所形成的線段D要長，即其在高斯投影下長度比m有如下關(guān)系：

(3)

高斯投影坐標(biāo)正算公式為[7]：

(4)

將上式對l取偏導(dǎo)數(shù)得：

(5)

將式(5)代入式(2)并變換得：

(6)

用平面坐標(biāo)(x，y)表示的長度比m計(jì)算公式為：

(7)

式中：Ym——測距邊兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)平均值(m)；

R——測距邊中點(diǎn)的平均曲率半徑(m)；

△Y——測距邊兩端點(diǎn)近似橫坐標(biāo)的增量(m).

式(6)和式(7)是用大地坐標(biāo)和平面坐標(biāo)計(jì)算高斯投影變形長度比的計(jì)算公式，實(shí)際使用過程中由于直接獲取的是平面坐標(biāo)，所以普遍使用式(7)來進(jìn)行高斯投影變形計(jì)算。

2.3 變形影響分析

對于城市軌道交通地面控制網(wǎng)邊長而言，利用高程歸化和高斯投影進(jìn)行改正，前者使邊長縮短，后者使邊長伸長，存在兩者抵償?shù)膮^(qū)域，即根據(jù)式(2)和式(7)，使：

(8)

考慮到測距邊相對于地球半徑是一個(gè)極小值，上式可寫成：

(9)

因?yàn)槌鞘械貐^(qū)高程變化，Ym僅是平均橫坐標(biāo)，地區(qū)總是有一個(gè)東西方向的寬度，因?yàn)橥耆謨斒遣豢赡艿模绻荒芡耆謨敹试S有一個(gè)殘差VS，則其相對差數(shù)為：

(10)

根據(jù)《城市軌道交通工程測量規(guī)范》要求，精密導(dǎo)線邊相對中誤差為±1/60000，即使上式VS/D=±1/60000，設(shè)R=6 371 km，則：

(11)

上式Y(jié)m和H均以千米為單位，由此得抵償區(qū)域的高差和相應(yīng)橫坐標(biāo)區(qū)間的關(guān)系，如表1所示：

抵償區(qū)域的高差和相應(yīng)的橫坐標(biāo)區(qū)間 表1

由上表可以看出，對于一定的高程存在一定的抵償區(qū)域，其東西寬度隨著高程的增加而越來越窄，城市的區(qū)域往往不可能正在這一區(qū)域內(nèi)。

根據(jù)我國現(xiàn)行規(guī)范要求，工程測量每千米邊長經(jīng)高程歸化和高斯投影改化值不得超過 2.5 cm，即長度比m滿足下式：

(12)

若僅考慮高程歸化影響，以地球平均曲率半徑 6 371 km計(jì)算，根據(jù)式(2)可知，當(dāng)測距邊兩端平均高程與城市軌道交通工程測距平均投影面高程相差約 159 m時(shí)，每公里測距邊長度變形超限；若僅考慮高斯投影變形影響，測距邊長度變形值受緯度和距離中央子午線遠(yuǎn)近有關(guān)，由式(6)和式(7)可知，緯度越高，變形越小，距離中央子午線越遠(yuǎn)，變形越大。

綜上分析，測距邊長度變形分為高程歸化和高斯投影變形兩部分，兩者在局部可以相互抵償，變形值主要受三個(gè)因素影響，即測距邊高程、緯度及與中央子午線的距離，當(dāng)城市軌道交通工程線路在中央子午線附近時(shí)，可主要考慮高程歸化的影響，當(dāng)城市地形比較平坦，城市軌道交通工程采用的平均高程面與城市地勢一致，可主要考慮高斯投影變形的影響。

以青島市為例，中心建設(shè)城區(qū)平均緯度約為36°10′，雖然城區(qū)地勢有高低起伏，但城市軌道交通工程平均地勢接近平均海平面，平均投影面與平均海平面相一致，軌道交通建設(shè)測距邊變形主要考慮高斯投影變形影響，距離中央子午線超過 45 km時(shí)，每公里邊長變形值大于 2.5 cm。

3 工程應(yīng)用

青島市4號線是東西走向西路，整條線路位于中央子午線東端，其最東端距離中央子午線約 48.4 km；最西端中央子午線約 28.9 km。

圖2 青島地鐵4號線走向及換乘線路示意圖

高斯投影變形最大處位于沙子口站，每千米高斯投影變形值為：

本工程線路加權(quán)平均大地高與青島市投影面高程相差約 8.2 m，高程歸化影響每千米為：

滿足規(guī)范不大于5 mm/km的變形要求。

高斯投影變形和高程歸化影響最大處位于線路最東端沙子口站，該處距離120°中央子午線 48.4 km，設(shè)計(jì)軌頂大地高為 -3.3 m，每千米邊長改正值為：

從以上分析可以看出，該項(xiàng)目邊長改正最大值超出規(guī)范要求的 2.5 cm/km，從測區(qū)地理范圍看，線路李宅路站往東約為 3.4 km的線路邊長變形超過 2.5 cm/km，全線使用原有的中央子午線不符合規(guī)范要求，若在線路東段選取獨(dú)立的中央子午線使得全線邊長變形不超限，全線均使用換帶后的獨(dú)立坐標(biāo)系，則線路西部與已建1號線、2號線、3號線及規(guī)劃中多條線路換乘站坐標(biāo)實(shí)際使用過程中將帶來頻繁的轉(zhuǎn)換，容易出錯(cuò)，結(jié)合工程實(shí)際情況，本項(xiàng)目在西部采用青島市原有坐標(biāo)系統(tǒng)，東部重新選取中央子午線，采用獨(dú)立坐標(biāo)系，在李宅路站結(jié)合部提供兩種成果以便于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

4 總 結(jié)

(1)地鐵建設(shè)過程中測距邊長要經(jīng)過高程歸化和高斯投影改化兩項(xiàng)改正，高程歸化改正與測距邊所在的高程與地鐵線路平均高程面的高差有關(guān)，高差越大，改正越大，高斯投影改化與測距邊距離中央子午線遠(yuǎn)近有關(guān)，具有中央子午線越遠(yuǎn)，改正越大。

(2)地鐵測量測距邊改正不得超過 2.5 cm/km，若超過該值，應(yīng)結(jié)合地鐵工程建設(shè)實(shí)際，充分考慮已建地鐵線路與規(guī)劃線路，在超過 2.5 cm/km區(qū)域應(yīng)選取獨(dú)立的中央子午線，并在兩種坐標(biāo)系結(jié)合部提供兩種坐標(biāo)系以便于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

[1] 孔祥元，郭際明，劉宗泉等. 大地測量學(xué)基礎(chǔ)[M]. 武漢：武漢大學(xué)出版社，2007.

[2] 王智，趙亞波. QDCORS在青島地鐵控制網(wǎng)中的應(yīng)用研究[J]. 城市勘測，2016(4)：106～109.

[3] 梅熙. 高斯投影變形對高速鐵路線路設(shè)計(jì)的影響[J]. 鐵道工程學(xué)報(bào)，2010，27(10)：52～57.

[4] GB 50308-2008. 城市軌道交通工程測量規(guī)范[S].

[5] CJJ/T 8-2011. 城市測量規(guī)范[S].

[6] 趙俊生，劉雁春，王克平等. 關(guān)于高斯投影長度的探討[J]. 海洋測繪，2007，27(3)：9～11.

[7] 尹玉廷，陳莉莉，康明等. 對高斯投影長度變形問題的簡單探討[J]. 測繪與空間地理信息，2010，33(5)：211～212.