楊立平,任正義

(哈爾濱工程大學(xué)儲(chǔ)能技術(shù)與應(yīng)用研究所，黑龍江 哈爾濱 150001)

隨著能源供給問題日益突出，飛輪儲(chǔ)能作為新型環(huán)保儲(chǔ)能技術(shù)逐步得到廣泛的應(yīng)用。作為儲(chǔ)能系統(tǒng)的核心部件，飛輪轉(zhuǎn)子的成本直接影響到飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力和經(jīng)濟(jì)效益。文獻(xiàn)[1]提出通過復(fù)合材料價(jià)格歸一化來評(píng)價(jià)飛輪轉(zhuǎn)子成本；文獻(xiàn)[2]將某復(fù)合材料的單位質(zhì)量?jī)r(jià)格設(shè)為1，其他材料價(jià)格與之對(duì)比來計(jì)算飛輪轉(zhuǎn)子成本；文獻(xiàn)[3]在考慮轉(zhuǎn)子尺寸和開孔等結(jié)構(gòu)特性因素的前提下計(jì)算轉(zhuǎn)子成本。然而上述文獻(xiàn)均未考慮制造工藝對(duì)飛輪轉(zhuǎn)子成本的影響。

由于大部分動(dòng)能存儲(chǔ)在飛輪轉(zhuǎn)子內(nèi)部，而質(zhì)量又會(huì)影響其升、降速慣性，文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]以儲(chǔ)能密度(EPM)為目標(biāo)進(jìn)行飛輪轉(zhuǎn)子的優(yōu)化設(shè)計(jì)，然而他們均未考慮飛輪轉(zhuǎn)子體積對(duì)安裝運(yùn)輸便利性的影響。飛輪轉(zhuǎn)子成本是制約飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)廣泛應(yīng)用的重要因素，因此設(shè)計(jì)時(shí)還需考慮飛輪轉(zhuǎn)子單位體積儲(chǔ)能量(EPV)和單位成本儲(chǔ)能量(EPC)。另外，高速飛輪的安全性也非常重要。文獻(xiàn)[6]推導(dǎo)了應(yīng)力和飛輪參數(shù)之間的關(guān)系方程式，文獻(xiàn)[4]用方程作為約束計(jì)算了飛輪轉(zhuǎn)子最大角速度。文獻(xiàn)[7]在最大角速度固定的情況下，計(jì)算出飛輪轉(zhuǎn)子的最佳半徑。上述文獻(xiàn)為提高飛輪轉(zhuǎn)子安全性做出了重要貢獻(xiàn)，但均未推導(dǎo)出最大角速度和最大外半徑之間的關(guān)系式。

本文主要通過探討飛輪轉(zhuǎn)子成本評(píng)價(jià)方法，來研究基于最大轉(zhuǎn)速與最大外徑約束的復(fù)合材料飛輪轉(zhuǎn)子多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

1 基于模糊綜合評(píng)判的飛輪轉(zhuǎn)子成本評(píng)價(jià)

模糊綜合評(píng)判方法可較好地解決模糊的、難以量化的各類問題[8]，適合飛輪轉(zhuǎn)子成本評(píng)價(jià)這種非確定性問題的求解。本文給出如下基于模糊綜合評(píng)判的飛輪轉(zhuǎn)子成本評(píng)價(jià)方法。

1)將飛輪轉(zhuǎn)子按材料和結(jié)構(gòu)特性自內(nèi)向外分成m個(gè)組成部分，形成U={u1,u2,…,um}，其中ui(i=1,2,…,m)為第i個(gè)組成部分。

2)根據(jù)制造過程分析，定義飛輪轉(zhuǎn)子成本的基本因素集為：φ={f1,f2,f3}={工藝特性，結(jié)構(gòu)特性，材料價(jià)格}。其中，工藝特性指的是材料是否容易成形或易于被加工；結(jié)構(gòu)特性是指轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)形狀和精度要求等是否容易實(shí)現(xiàn)。

3)因素集中,各個(gè)因素本身有大、小和好壞之分，而這種區(qū)分都帶有模糊性。因此，各因素按其性質(zhì)和程度再分為p個(gè)等級(jí)，根據(jù)各因素等級(jí)對(duì)成本的影響，形成評(píng)語集υ={e1,e2,…,ep}。設(shè)飛輪轉(zhuǎn)子成本因素的等級(jí)數(shù)p=4，具體見表1。

表1 轉(zhuǎn)子成本因素的等級(jí)劃分

4)定義第i個(gè)組成部分ui(i=1,2,…,m)的因素集φ對(duì)評(píng)語集υ的隸屬度為：

(1)

式中：Ri的元素rjk(xij)為第i個(gè)組成部分ui的第j個(gè)因素對(duì)第k個(gè)等級(jí)的模糊等級(jí)函數(shù), 其中xij為專家對(duì)第i個(gè)組成部分ui(i=1,2,…,m)的第j個(gè)因素的評(píng)分值。由于因素集φ的3個(gè)因素均為定性指標(biāo)，令第I模糊等級(jí)到第Ⅳ模糊等級(jí)的評(píng)分范圍分別為0～30，30～60，60～80，80～100。采用如圖1所示的梯形函數(shù)表示各模糊等級(jí)函數(shù)rjk(xij)，則rjk(xij)的表達(dá)式為：

(2)

(3)

(4)

(5)

5)根據(jù)因素的重要程度，設(shè)定各因素的權(quán)重

圖1 模糊隸屬度函數(shù)

系數(shù)，形成權(quán)重集：

W=(w1,w2,w3)

(6)

6)根據(jù)權(quán)重集和因素集到評(píng)語集的模糊關(guān)系，第i個(gè)組成部分的評(píng)判矩陣為：

Ai=W·Ri=[ai1ai2ai3ai4]

(7)

7)根據(jù)矩陣Ai和評(píng)語集υ的取值，第i個(gè)組成部分ui(i=1,2,…,m)的成本系數(shù)為：

Cdi=Ai·υT

(8)

8)根據(jù)飛輪各組成部分成本系數(shù)及質(zhì)量分布，計(jì)算飛輪轉(zhuǎn)子的當(dāng)量成本。

(9)

式中：ρi為第i個(gè)組成部分的密度；di和hi是第i個(gè)組成部分的外徑和高度；Vi(di,hi)為第i個(gè)組成部分的體積，是關(guān)于di和hi的函數(shù)。

2 儲(chǔ)能飛輪轉(zhuǎn)子多目標(biāo)優(yōu)化

2.1 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

EPM、EPC、EPV都是表征飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)性能的重要指標(biāo)，因此將EPM(X)，EPC(X)，EPV(X)作為3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，其中X=[di,hi,ω]，i=1,2,…,m，ω是飛輪轉(zhuǎn)子的最大工作角速度。根據(jù)飛輪轉(zhuǎn)子工作原理，各優(yōu)化目標(biāo)可表示為：

(10)

(11)

(12)

式中：J為飛輪轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

為了解決多個(gè)目標(biāo)量綱不統(tǒng)一的問題，設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)取值均應(yīng)在0到1之間。同時(shí)，為提高較大目標(biāo)值和降低較小目標(biāo)值的選取概率，需要設(shè)計(jì)一種目標(biāo)函數(shù)，使目標(biāo)值非常小時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的取值盡量接近于0，目標(biāo)值較大時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的取值則盡量接近于1。因此，基于正弦函數(shù)定義函數(shù)gk(X),k=1,2,3，以EPM(X)為例，函數(shù)g1(X)如圖2所示，其表達(dá)式為：

(13)

式中：EPMmin和EPMmax分別為EPM(X)的最小值和最大值。為增強(qiáng)目標(biāo)函數(shù)取值對(duì)尋優(yōu)過程的影響程度，定義滿意優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

fk(X)=[gk(X)]2

(14)

圖2 函數(shù)g1(x)

2.2 復(fù)合材料飛輪轉(zhuǎn)子應(yīng)力分析

根據(jù)文獻(xiàn)[6]可得轉(zhuǎn)子周向應(yīng)力σθ和徑向應(yīng)力σr與各參數(shù)的關(guān)系如下：

(15)

(16)

設(shè)α=Ri/Ro,x=r/Ro，并定義

則式(15)、式(16)可簡(jiǎn)化為：

(17)

(18)

由于ve=ωRo，因此當(dāng)下面不等式成立時(shí)，轉(zhuǎn)子材料所受應(yīng)力在安全范圍內(nèi)。

(19)

(20)

其中：

σθin=ρ(c1λxλ-1+c2λx-λ-1-c3x2)

σrin=ρ(c1xλ-1+c2x-λ-1-c4x2)

2.3 基于應(yīng)力分析的飛輪滿意優(yōu)化模型

對(duì)于固定的α，在考慮材料應(yīng)力約束極限的情況下，復(fù)合材料飛輪轉(zhuǎn)子滿意優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

Xmin≤X≤Xmax

s.t.ωRo≤

Ri/Ro=α

(21)

3 飛輪優(yōu)化仿真分析

針對(duì)圖3所示的飛輪轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，根據(jù)材料屬性將飛輪轉(zhuǎn)子自內(nèi)向外分為4個(gè)組成部分：軸、輪緣1、輪緣2、外輪緣，即U={u1,u2,u3,u4}，它們的材料依次為碳鋼、鋁合金、鋁合金、碳纖維。則飛輪轉(zhuǎn)子的外輪緣內(nèi)半徑和外半徑分別為：Ri=d3/2，Ro=d4/2。優(yōu)化變量包括d1,d2,d3,d4(m)和最大角速度ω(rad/s)。根據(jù)設(shè)計(jì)要求，令α=0.5，則自變量X=(ω,d1,d2,d4)。令：Xmin=(200,0.06,0.2,0.7)，Xmax=(1 000,0.1,0.3,0.9)，h1=0.5m，h2=0.1m，h3=h4=0.3m。分別取鋼、鋁合金、碳纖維的密度為7 800kg/m3、2 700kg/m3和1 780kg/m3。

3.1 成本評(píng)價(jià)方法對(duì)比

首先進(jìn)行成本的模糊綜合評(píng)判，專家按滿分10分對(duì)各因素等級(jí)對(duì)成本的影響打分：υ=(1,3,6,9)。對(duì)于工藝特性，軸為碳鋼，輪緣1、輪緣2為鋁合金材料，其制造工藝與碳纖維差別很大。相比之下，輪緣1、輪緣2與軸的制造工藝類似，都屬于金屬材料的加工制造。碳纖維飛輪纏繞技術(shù)要求較高，技術(shù)成熟度不如金屬制造工藝，因此給碳纖維輪緣以比較高的評(píng)分；與碳鋼相比，鋁合金硬度較低，加工難度要小于碳鋼。因此4個(gè)部分對(duì)第一個(gè)因素(工藝特性)的評(píng)分值為：x11=30，x21=20，x31=20，x41=80。

圖3 一種飛輪轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)

對(duì)于結(jié)構(gòu)特性，軸的結(jié)構(gòu)不僅要求高的尺寸精度和表面質(zhì)量，而且還要求較高的耐沖擊性。輪緣1、輪緣2的結(jié)構(gòu)特性主要體現(xiàn)為形狀復(fù)雜、內(nèi)孔或外圓面要有較高的尺寸精度和表面質(zhì)量。與軸相比，輪緣1和輪緣2的結(jié)構(gòu)特性要簡(jiǎn)單一些。輪緣2外圓比輪緣1內(nèi)孔的尺寸精度和表面質(zhì)量要求低。輪緣2的外輪緣由于是碳纖維纏繞而成，其形狀規(guī)則，不要求高的尺寸精度。因此，輪緣2的結(jié)構(gòu)特性最簡(jiǎn)單?；谏鲜龇治?，確定4個(gè)部分結(jié)構(gòu)特性的評(píng)分值為：x12=90，x22=50，x32=40，x42=10。

根據(jù)目前市場(chǎng)上碳鋼、鋁合金、碳纖維價(jià)格(分別為10元/kg、25元/kg、300元/kg)，給出材料價(jià)格的評(píng)分值為：x13=5，x23=12，x33=12，x43=100。

根據(jù)上述評(píng)分，可算得：

根據(jù)3個(gè)因素的重要程度，定義W=(0.3，0.2，0.5)。由式(7)得：

A1=[0.50 030 0 0.20]，

A2=[0.60 0.30 0.10 0]，

A3=[0.60 0.40 0 0]，

A4=[0.20 0 0.15 0.65]。

飛輪各個(gè)組成部分成本系數(shù)為：Cd1=11.30，Cd2=2.10，Cd3=1.80，Cd4=6.95。

根據(jù)飛輪各組成部分成本系數(shù)及質(zhì)量分布，計(jì)算飛輪的當(dāng)量成本(定義其單位為Dol)，即：

Dr=(88.1V1+5.7V2+4.9V3+12.4V4)×103Dol

參照文獻(xiàn)[6]給出的成本評(píng)價(jià)方法，取材料單位質(zhì)量?jī)r(jià)格相對(duì)碳纖維材料價(jià)格的比作為成本系數(shù)進(jìn)行當(dāng)量成本計(jì)算，得：

Cd1=0.038，Cd2=Cd3=0.083，Cd4=1.000

此時(shí)的當(dāng)量成本為：

Dr0=(29.64V1+22.41V2+22.41V3+1 780.00V4)×103Dol

與V1，V2，V3相比，V4較大，因此如果按后者計(jì)算當(dāng)量成本，只要考慮碳纖維輪緣的成本，其余部分可忽略不計(jì)，很明顯，這與實(shí)際成本的組成特點(diǎn)并不符合。

3.2 優(yōu)化方法對(duì)比分析

根據(jù)成本模糊綜合評(píng)判結(jié)果，進(jìn)行飛輪轉(zhuǎn)子多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)仿真。根據(jù)式(10)、(11)、(12)可得出：

碳纖維材料的縱向許用應(yīng)力和橫向許用應(yīng)力分別為[σθ]=3 500MPa、[σr]=56MPa[7]，可得：

不同權(quán)重系數(shù)下，有、無應(yīng)力約束優(yōu)化結(jié)果對(duì)比結(jié)果見表2。從表2可知，當(dāng)權(quán)重系數(shù)γ1=0.5，γ2=0.4時(shí)，有、無約束情況下ω·d4的值均小于應(yīng)力約束極限749.5 rad·m/s，當(dāng)γ1=0.8，γ2=0.1和γ1=0.6，γ2=0.3時(shí)，有約束情況下ω·d4的值均小于碳纖維材料的應(yīng)力約束極限749.5rad·m/s，但無約束情況下ω·d4的值分別比應(yīng)力約束極限高出12.0%和5.3%，說明當(dāng)EPM的權(quán)重系數(shù)大于0.5時(shí)，無約束優(yōu)化無法保證飛輪轉(zhuǎn)子材料應(yīng)力在約束范圍內(nèi)，這必然對(duì)飛輪轉(zhuǎn)子安全可靠性帶來巨大威脅。

表2 有、無應(yīng)力約束條件下優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

為對(duì)比本文提出的優(yōu)化方法與傳統(tǒng)WS法的異同，取3個(gè)目標(biāo)值歸一化的值為優(yōu)化函數(shù)，例如，對(duì)于EPMmin≤EPM(X)≤EPMmax，優(yōu)化函數(shù)為：

有應(yīng)力約束情況下，相同權(quán)重系數(shù)時(shí)，對(duì)滿意優(yōu)化法與WS法的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。γ1大于0.6時(shí)，兩種方法所得優(yōu)化結(jié)果相同；γ1小于0.6時(shí)，優(yōu)化結(jié)果對(duì)比情況見表3。從表3可知，γ1=0.5，γ2=0.4時(shí)，滿意優(yōu)化法的EPM值、EPC值、EPV值分別比WS法高出12%、13%、12%；γ1=0.5，γ2=0.1時(shí)，滿意優(yōu)化法的EPM值、EPC值、EPV值分別比WS法高出17%、25%、10%；γ1=0.3，γ2=0.2時(shí)，滿意優(yōu)化法的EPM值、EPC值、EPV值分別比WS法低8%、9%、7%。由此可見，當(dāng)γ1大于0.6時(shí)，兩種方法優(yōu)化能力相同；當(dāng)γ1在0.5左右時(shí)，滿意優(yōu)化的優(yōu)化能力要高于WS法；當(dāng)γ1更小時(shí)，滿意優(yōu)化的優(yōu)化能力則要低于WS法?？偠灾?，滿意優(yōu)化提高了較大目標(biāo)值的選取概率，同時(shí)也降低了較小目標(biāo)值的選取概率。

表3 不同目標(biāo)函數(shù)對(duì)比

4 結(jié)束語

本文提出的基于模糊綜合評(píng)判的飛輪轉(zhuǎn)子成本評(píng)價(jià)方法和飛輪轉(zhuǎn)子的滿意優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，從理論上豐富了優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，提高了飛輪轉(zhuǎn)子優(yōu)化設(shè)計(jì)的實(shí)用性。下一步將更深入地進(jìn)行材料成本和零件工藝發(fā)展的各項(xiàng)影響因素分析，以提高轉(zhuǎn)子成本評(píng)價(jià)的準(zhǔn)確性，并結(jié)合數(shù)值分析方法進(jìn)行不同結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料飛輪轉(zhuǎn)子優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。

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