趙 巖， 朱均超， 張寶峰， 邵 磊， 李 季， 代 煜

(1.天津理工大學(xué)天津市復(fù)雜系統(tǒng)控制理論及應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津， 300384) (2.南開(kāi)大學(xué)機(jī)器人與信息自動(dòng)化研究所 天津， 300071 )

引 言

旋轉(zhuǎn)機(jī)械已經(jīng)廣泛應(yīng)用于電力、石油、航空等領(lǐng)域，對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障診斷也顯得尤為重要。碰摩故障是旋轉(zhuǎn)機(jī)械中常見(jiàn)的故障之一[1]，由于摩擦力、沖擊力等作用，在碰摩過(guò)程中會(huì)存在一定程度的非線性振動(dòng)，從而使碰摩故障信號(hào)呈現(xiàn)出非線性、非平穩(wěn)特性[2]。

非線性、非平穩(wěn)信號(hào)的處理方法主要有Wigner-Vile分布[3]、短時(shí)傅里葉變換[4-5]、小波變換[6]及經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition, 簡(jiǎn)稱EMD)[7]等。其中，EMD根據(jù)信號(hào)自身的時(shí)間尺度特征，自適應(yīng)地將信號(hào)從高頻到低頻分解成若干個(gè)本征模態(tài)函數(shù)。EMD具有自適應(yīng)性、多尺度性，因此該方法適用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障信號(hào)的分析。但是，如果故障信號(hào)存在異常事件(如脈沖干擾等)，EMD分解過(guò)程會(huì)出現(xiàn)模態(tài)混疊現(xiàn)象[8]。模態(tài)混疊是指一個(gè)IMF分量中出現(xiàn)差異較大的時(shí)間尺度特征，或者相近的時(shí)間尺度特征出現(xiàn)在不同的IMF分量中，從而影響信號(hào)的分解精度。

為了抑制模態(tài)混疊，文獻(xiàn)[9]對(duì)EMD進(jìn)行了改進(jìn)，提出了集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解。EEMD利用白噪聲平滑故障信號(hào)中的異常事件，將不同時(shí)間尺度特征的信號(hào)自適應(yīng)地分解，然后利用多次平均的方法消除白噪聲的影響。EEMD可以有效抑制模態(tài)混疊，但是計(jì)算量很大[10]。

文獻(xiàn)[11]提出了變分模態(tài)分解，該方法的核心是變分問(wèn)題，使每個(gè)模態(tài)的估計(jì)帶寬之和最小，通過(guò)迭代搜尋變分模型最優(yōu)解來(lái)確定每個(gè)分量的頻率中心及帶寬，從而自適應(yīng)地實(shí)現(xiàn)信號(hào)各個(gè)模態(tài)分量的有效分離。VMD具有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，而且噪聲魯棒性較強(qiáng)[12]。

在對(duì)故障信號(hào)進(jìn)行VMD分解之后，利用Hilbert變換計(jì)算各個(gè)IMF分量的包絡(luò)信號(hào)、瞬時(shí)角頻率，然后，根據(jù)這些瞬時(shí)參數(shù)計(jì)算故障信號(hào)的Hilbert譜，從而反映信號(hào)在時(shí)間-頻率聯(lián)合域的能量分布。

筆者提出一種基于VMD與Hilbert譜的旋轉(zhuǎn)機(jī)械碰摩故障診斷方法。首先，在轉(zhuǎn)子故障實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上，利用VMD處理碰摩故障信號(hào)，并與EEMD進(jìn)行對(duì)比分析；然后，利用Hilbert譜分析故障信號(hào)的時(shí)頻特性，從而驗(yàn)證該方法的有效性。

1 碰摩故障的數(shù)學(xué)模型

假設(shè)轉(zhuǎn)子以角速度ω進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)子的徑向位移為u，則轉(zhuǎn)子碰摩故障的示意圖如圖1所示。其中：Fn為徑向壓力；Fr為切向摩擦力；φ為碰摩點(diǎn)的法線與x軸的夾角。

圖1 碰摩故障示意圖Fig.1 Schematic diagram of rub-impact fault

假設(shè)靜子徑向變形為線性變形，靜子徑向剛度系數(shù)為kc，轉(zhuǎn)子與靜子之間的摩擦系數(shù)為f，轉(zhuǎn)子與靜子之間的初始間隙為δ0，則碰摩力數(shù)學(xué)模型為

在x-y坐標(biāo)系中,碰摩力表示為

(2)

根據(jù)以上公式，可以推導(dǎo)碰摩故障的數(shù)學(xué)模型

(3)

其中:m為轉(zhuǎn)子處的等效集中質(zhì)量;c為等效阻尼系數(shù);k為轉(zhuǎn)軸的剛度系數(shù);e為轉(zhuǎn)子的偏心量;x,y為轉(zhuǎn)子在水平與垂直方向的振動(dòng)位移。

2 VMD與Hilbert譜分析

2.1 VMD基本原理

在VMD算法中，本征模態(tài)函數(shù)(IMF)被定義為調(diào)頻-調(diào)幅信號(hào)，表達(dá)式[11]為

uk(t)=Ak(t)cos(φk(t))

(4)

其中：Ak(t)為包絡(luò)信號(hào)；φk(t)為瞬時(shí)相位。

假設(shè)原始信號(hào)可以分解為K個(gè)IMF分量，每個(gè)IMF分量uk(t)具有中心頻率和有限帶寬，對(duì)應(yīng)的受約束的變分模型如下

(5)

其中：{uk}:={u1,…,uK}為分解得到的K個(gè)IMF分量；{ωk}:={ω1,…,ωK}為各個(gè)IMF分量的頻率中心。

引入擴(kuò)展的Lagrange將約束性變分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非約束性變分問(wèn)題，其表達(dá)式為

(6)

其中：α為懲罰參數(shù)；λ為L(zhǎng)agrange乘子。

(7)

每個(gè)IMF分量的頻率中心及帶寬在迭代求解變分模型的過(guò)程中不斷更新，直至滿足迭代停止條件

(8)

2.2 Hilbert譜分析

實(shí)值信號(hào)θ(t)的Hilbert變換定義為

(9)

與實(shí)值信號(hào)θ(t)對(duì)應(yīng)的解析信號(hào)為

(10)

包絡(luò)信號(hào)A(t)、瞬時(shí)相位φ(t)、瞬時(shí)角頻率ω(t)可以表示為

如果原始信號(hào)可以分解為n個(gè)IMF分量，則該信號(hào)的Hilbert譜可以表示為

(14)

其中:Re表示取實(shí)部;n為本征模態(tài)函數(shù)的個(gè)數(shù);Ai(t)為第i個(gè)IMF分量的包絡(luò)信號(hào);ωi(t)為第i個(gè)IMF分量的瞬時(shí)角頻率。

3 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

轉(zhuǎn)子碰摩故障實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖2所示。該系統(tǒng)包括轉(zhuǎn)子、碰摩桿、電機(jī)、電機(jī)轉(zhuǎn)速控制器、速度傳感器、數(shù)據(jù)采集卡及電源。轉(zhuǎn)子厚度為15 mm，半徑為80 mm，轉(zhuǎn)軸長(zhǎng)度為500 mm，半徑為10 mm。信號(hào)的采樣頻率為1 000 Hz，電機(jī)轉(zhuǎn)速為2 400 r/min。利用碰摩桿實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的定點(diǎn)碰摩，調(diào)節(jié)碰摩桿與轉(zhuǎn)軸的初始間隙，從而實(shí)現(xiàn)不同程度的碰摩故障。

圖2 轉(zhuǎn)子碰摩故障實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.2 Experimental system of rotor with rub-impact fault

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

4.1 無(wú)碰摩故障實(shí)驗(yàn)

使碰摩桿與轉(zhuǎn)軸保持較大的距離，則轉(zhuǎn)軸在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中與碰摩桿沒(méi)有接觸。在無(wú)碰摩故障情況下，轉(zhuǎn)子振動(dòng)的速度信號(hào)如圖3所示。

圖3 無(wú)碰摩故障情況下轉(zhuǎn)子振動(dòng)的速度信號(hào)Fig.3 Vibration signal of rotor without rub-impact fault

利用EEMD對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行處理，如圖4所示，IMF1分量為高頻噪聲，IMF2分量為基頻信號(hào)，IMF3分量和IMF4分量為低頻信號(hào)。但是，一些IMF分量存在明顯的模態(tài)混疊現(xiàn)象，比如IMF3分量。

圖4 無(wú)碰摩故障情況下振動(dòng)信號(hào)的EEMD分解結(jié)果Fig.4 EEMD result of vibration signal for rotor without rub-impact fault

在EEMD分解的基礎(chǔ)上，對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行Hilbert譜分析，其結(jié)果如圖5所示。振動(dòng)信號(hào)的頻率主要分布在40 Hz附近，與電機(jī)的基頻信號(hào)一致，但是，頻率信號(hào)存在較大的波動(dòng)。這是由于模態(tài)混疊影響了Hilbert譜的精度，因此，需要對(duì)模態(tài)混疊進(jìn)行抑制。

圖5 無(wú)碰摩故障情況下振動(dòng)信號(hào)的Hilbert譜(EEMD)Fig.5 Hilbert spectrum of rotor without rub-impact fault(EEMD)

圖6 無(wú)碰摩故障情況下振動(dòng)信號(hào)的VMD分解結(jié)果Fig.6 VMD result of vibration signal for rotor without rub-impact fault

圖7 無(wú)碰摩故障情況下振動(dòng)信號(hào)的Hilbert譜(VMD)Fig.7 Hilbert spectrum of rotor without rub-impact fault(VMD)

利用VMD對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行處理，如圖6所示，IMF1分量為基頻信號(hào)，IMF2分量為二倍頻信號(hào)。但是，IMF2分量的幅值很小，IMF3分量、IMF4分量為高頻信號(hào)，VMD處理結(jié)果中的模態(tài)混疊得到了很好抑制。

經(jīng)過(guò)VMD分解后，對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行Hilbert譜分析，如圖7所示。振動(dòng)信號(hào)的頻率主要分布在40 Hz附近，與電機(jī)的基頻信號(hào)一致。與圖5相比，由于模態(tài)混疊的有效抑制，圖7中40 Hz附近的能量分布更集中，波動(dòng)較少。

4.2 碰摩故障實(shí)驗(yàn)

調(diào)節(jié)碰摩桿，使碰摩桿與轉(zhuǎn)軸緊密接觸，則轉(zhuǎn)軸在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)碰摩故障。在碰摩故障情況下，轉(zhuǎn)子振動(dòng)的速度信號(hào)如圖8所示。

圖8 碰摩故障情況下轉(zhuǎn)子振動(dòng)的速度信號(hào)Fig.8 Vibration signal of rotor with rub-impact fault

分別對(duì)碰摩故障信號(hào)進(jìn)行EEMD和VMD處理，處理結(jié)果分別如圖9，10所示。EEMD處理結(jié)果存在一定的模態(tài)混疊現(xiàn)象，如圖9中的IMF2分量。

圖9 碰摩故障情況下振動(dòng)信號(hào)的EEMD分解結(jié)果Fig.9 EEMD result of vibration signal for rotor with rub-impact fault

VMD處理結(jié)果如圖10所示，IMF1分量為基頻信號(hào)，IMF2分量為二倍頻信號(hào)，IMF3分量為三倍頻信號(hào)，但是，IMF3分量的幅值很小，IMF4分量、IMF5分量為高頻信號(hào)。由圖10可知，在VMD處理結(jié)果中，模態(tài)混疊得到了很好的抑制，而且，不同頻率段的模態(tài)分量自適應(yīng)地分離出來(lái)。

圖10 碰摩故障情況下振動(dòng)信號(hào)的VMD分解結(jié)果Fig.10 VMD result of vibration signal for rotor with rub-impact fault

圖11 EEMD處理結(jié)果中各個(gè)模態(tài)分量的頻譜Fig.11 Frequency spectrum of IMFs with EEMD

圖12 VMD處理結(jié)果中各個(gè)模態(tài)分量的頻譜Fig.12 Frequency spectrum of IMFs with VMD

圖13 碰摩故障情況下振動(dòng)信號(hào)的Hilbert譜(EEMD)Fig.13 Hilbert spectrum of rotor with rub-impact fault(EEMD)

分別計(jì)算EEMD和VMD處理結(jié)果中各個(gè)模態(tài)分量的頻譜，結(jié)果如圖11、圖12所示。由圖11可知，雖然EEMD可以自適應(yīng)地分解故障信號(hào)，但存在明顯的模態(tài)混疊現(xiàn)象，這是由于該類方法是利用極值點(diǎn)計(jì)算包絡(luò)，多次遞歸分解后包絡(luò)估計(jì)誤差被放大，從而不能準(zhǔn)確地分離頻率相近的模態(tài)分量。由圖12可知，經(jīng)過(guò)VMD處理，故障信號(hào)可以有效地分解為若干個(gè)窄帶IMF分量，每個(gè)IMF分量具有不同的中心頻率和有限帶寬，從而有效地抑制了模態(tài)混疊，為后續(xù)的Hilbert譜分析提供保證。

分別在EEMD,VMD處理的基礎(chǔ)上，計(jì)算故障信號(hào)的Hilbert譜，處理結(jié)果分別如圖13、圖14所示。在圖13的Hilbert時(shí)頻譜中，信號(hào)的振幅能量主要集中在40Hz附近，基本反映了基頻信號(hào)的變化情況，但是，譜線的波動(dòng)較大，這是由模態(tài)混疊引起的誤差。而且圖13的Hilbert時(shí)頻譜無(wú)法準(zhǔn)確反映二倍頻成分，無(wú)法反映碰摩故障引起的倍頻信號(hào)。

圖14 碰摩故障情況下振動(dòng)信號(hào)的Hilbert譜(VMD)Fig.14 Hilbert spectrum of rotor with rub-impact fault(VMD)

在圖14的Hilbert時(shí)頻譜中，基頻信號(hào)40 Hz的譜線清晰而且波動(dòng)較小，這是因?yàn)槟B(tài)混疊得到了很好的抑制，而且可以準(zhǔn)確反映二倍頻信號(hào)。因此，筆者提出的方法，不但可以準(zhǔn)確反映故障信號(hào)頻率成分，而且可以反映頻率隨時(shí)間的變化情況。與EEMD相比，該方法可以有效抑制模態(tài)混疊，從而更加準(zhǔn)確地反映故障信息。

5 結(jié)束語(yǔ)

筆者提出了基于VMD與Hilbert譜分析的旋轉(zhuǎn)機(jī)械碰摩故障診斷方法。首先，利用VMD將故障信號(hào)自適應(yīng)地分解為若干個(gè)不同頻率段的本征模態(tài)函數(shù)；然后，利用Hilbert譜分析故障信號(hào)的時(shí)頻特性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：相對(duì)于頻譜分析法，該方法不但可以準(zhǔn)確反映故障信號(hào)的頻率成分，而且可以反映頻率隨時(shí)間的變化情況。與EEMD相比，該方法可以有效地抑制模態(tài)混疊，從而更加準(zhǔn)確地反映故障信息，從而為碰摩故障診斷提供一種有效途徑。在以后研究工作中，需要進(jìn)行一步研究本方法在其它故障(不對(duì)中、松動(dòng)等)中的診斷效果。

[1] 馬輝, 楊健, 宋溶澤, 等.轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩故障實(shí)驗(yàn)研究進(jìn)展與展望[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2014,33(6): 1-12.

Ma Hui, Yang Jian, Song Rongze, et al. Review and prospect on the research of rub-impact experiment of rotor systems[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(6):1-12.(in Chinese)

[2] 江俊, 陳艷華. 轉(zhuǎn)子與定子碰摩的非線性動(dòng)力學(xué)研究[J]. 力學(xué)進(jìn)展, 2013,43(1):132-148.

Jiang Jiu, Chen Yanhua. Advances in the research on nonlinear phenomena in rotor/stator rubbing systems[J]. Advances in Mechanics, 2013,43(1):132-148. (in Chinese)

[3] Igor D, Ljubisa S. An algorithm for the Wigner distribution based instantaneous frequency estimation in a high noise environment[J]. Signal Processing, 2004, 84(3): 631-643.

[4] Avargel Y, Cohen I. Modeling and identification of nonlinear systems in the short-time Fourier transform domain[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2010, 58(1): 291-304.

[5] 烏建中，陶益. 基于短時(shí)傅里葉變換的風(fēng)機(jī)葉片裂紋損傷檢測(cè)[J]. 中國(guó)工程機(jī)械學(xué)報(bào), 2014, 12(2):180-183.

Wu Jianzhong, Tao Yi. STFT-based crack detection on wind turbine blades[J]. Chinese Journal of Construction Machinery, 2014, 12(2):180-183. (in Chinese)

[6] 姜萬(wàn)錄，李寧寧，朱勇. 基于小波脊線的滾動(dòng)軸承故障診斷方法[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2015, 34(14): 1-6.

Jiang Wanlu, Li Ningning, Zhu Yong. Wavelet ridges-based fault diagnosis for rolling bearings[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34 (14):1-6. (in Chinese)

[7] Huang N E, Shen Zheng, Long S R, et al. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis[J]. Proceeding of the Royal Society of London Series A, 1998, 454: 903-995.

[8] Huang N E, Shen Zheng, Long S R. A new view of nonlinear water waves: The Hilbert Spectrum[J]. Annual Review of Fluid Mechanics, 1999, 31: 417-457.

[9] Wu Zhaohua, Huang N E. Ensemble empirical mode decomposition: a noise assisted data analysis method[J]. Advances in Adaptive Data Analysis, 2009, 1(1):1-41.

[10] 陳虹屹, 王小敏, 郭進(jìn)，等. 基于EEMD奇異熵的高速道岔裂紋傷損檢測(cè)[J]. 振動(dòng)、測(cè)試與診斷, 2016, 36(5):845-851.

Chen Hongyi，Wang Xiaomin, Guo Jin, et al. High-speed turnout flaw detection based on EEMD singular entropy[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2016, 36(5): 845-851. (in Chinese)

[11] Dragomiretskiy K, Zosso D. Variational mode decomposition [J]. IEEE Transaction on Signal Processing, 2014, 62(3): 531-544.

[12] Xue Yajuan, Cao Junxing, Wang Daxing, et al. Application of the variational mode decomposition for seismic time-frequency analysis [J]. IEEE Journal of Selected Topics in Applied Earth Observations and Remote Sensing, 2016, 9(8): 3821- 3831.