汪 梅， 徐長豐， 王偉峰， 趙春婷

(1．西安科技大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院 西安，710054) (2．西安科技大學(xué)陜西省煤火災(zāi)害防治重點實驗室 西安，710054) (3．西安西電光電纜有限責(zé)任公司電纜研究中心 西安，710086)

引 言

輸電線路是電網(wǎng)重要的組成部分，其穩(wěn)定可靠的運行對整個電網(wǎng)的安全運行有重要的意義。輸電線路發(fā)生故障時會在線路中產(chǎn)生故障行波，其中包含電流行波和電壓行波。行波中包含豐富的故障信息，若及時準確地找到故障的位置并予以切除，將行波中的故障信息識別出來，對恢復(fù)供電，減少國民經(jīng)濟損失有不可估量的作用[1]。

已有大量國內(nèi)外學(xué)者將小波理論應(yīng)用于輸電線路故障測距。文獻[2]根據(jù)配網(wǎng)線路故障行波特性構(gòu)建一種故障匹配的母小波，構(gòu)建出的小波與故障行波匹配度高，但存在一定程度的頻帶混疊，致使故障波頭識別有很大的誤差。文獻[3-4]利用db小波分析線路故障信號，將模極大值算法與相關(guān)技術(shù)、支持向量機(support vector machine，簡稱SVM)結(jié)合起來，使奇異點檢測效果優(yōu)于單一的小波變換，但對于含有高頻噪聲的信號，模極大值提取故障信息還是不夠準確。文獻[5]采用小波包節(jié)點系數(shù)優(yōu)化技術(shù)處理電纜線路匹配波形，修正了由于傳播衰減引起的入射波與反射波波形失真，保證波形相關(guān)性匹配的準確性，但忽略了故障反射波的復(fù)雜性。鑒于實小波分析故障信號的局限性，這也為復(fù)小波應(yīng)用于輸電線路故障測距提供了契機。文獻[6]構(gòu)造的時域緊支復(fù)小波相頻特性變化靈活，易與被分析信號匹配。文獻[7]通過分析復(fù)小波相頻特性，提出復(fù)小波變換的復(fù)合信息，其對于信號細微變化的檢測將更具優(yōu)勢。文獻[8]構(gòu)造出一種雙樹復(fù)小波，在保留實小波優(yōu)點的情況下克服了實小波頻域混疊、缺乏相位信息以及系數(shù)震蕩等缺點，這對高頻故障信號的分析是很重要的，特別是輸電線路中的故障行波。由于輸電線路故障行波是暫態(tài)的、突變的高頻信號，其故障信息復(fù)雜同時難以分析，利用復(fù)小波分析故障信號，可以結(jié)合幅頻和相位信息，有著實小波所不可比擬的優(yōu)勢[9]。因此，對復(fù)小波的研究也是迫切必要的，對其進行參數(shù)優(yōu)化以及結(jié)構(gòu)調(diào)整將更有利于故障信號中故障信息的提取。

基于上述研究現(xiàn)狀和不足，筆者提出利用改進消失矩的高斯復(fù)小波分析故障信號，從小波消失矩和故障信號奇異性出發(fā)，分析消失矩對奇異性的影響，提出基于故障奇異性的消失矩改進判據(jù)，在判據(jù)的基礎(chǔ)上，對輸電線路故障行波進行復(fù)小波分解，進而計算鄰幅比和相位畸變率以進一步優(yōu)化小波消失矩，選取最優(yōu)消失矩的高斯復(fù)小波。

1 故障測距總體方案

筆者將高斯復(fù)小波應(yīng)用于輸電線路故障測距，從小波消失矩的角度出發(fā)分析消失矩與信號奇異性的關(guān)系，探討如何選擇合適消失矩的高斯復(fù)小波來分析故障信號，考慮到故障行波的復(fù)雜性，從而更進一步地分析不同消失矩高斯復(fù)小波對故障行波敏感性問題，并利用鄰幅比和相位畸變率對消失矩進行優(yōu)化。繼消失矩討論之后，對輸電線路中故障行波產(chǎn)生過程進行分析，并對測距方法進行討論。在仿真和實驗中，將幅頻和相位信息結(jié)合來提取故障時間，并進行故障測距?？傮w方案如圖1所示。

圖1 故障測距方案示意圖Fig.1 Schematic diagram of fault location

2 小波消失矩及其改進機理

由于故障信號奇異性的差別，這對小波消失矩提出了不同的要求，為了有效地將信號中的奇異性檢測出來，復(fù)小波就應(yīng)該具有一定階數(shù)的消失矩。

2.1 小波消失矩

消失矩是衡量小波特性的重要參數(shù)，可描述為

(1)

其中：ψ(x)為小波函數(shù)，則稱小波ψ(x)具有0-(N-1)階消失矩；n為消失矩的階數(shù)。

在分析故障信號時，不同的信號奇異性對消失矩有不同的要求[10]。由傅里葉的矩量定理可得

(2)

其中：ω為角頻率。

因此ψ(ω)具有n個消失矩時

ψ(n-1)(ω)ω=0=0

(3)

通過式(2,3)可以說明，小波的消失矩越高，小波的頻譜低端的衰減速度越快，對應(yīng)的小波變換越容易濾除掉信號中變化緩慢的部分(即低頻部分)，從而可以突出信號中的奇異部分。

為了更直觀地描述消失矩階數(shù)對復(fù)小波時頻域的影響，現(xiàn)以高斯復(fù)小波族為例，分別取消失矩階數(shù)為n=1和n=10高斯復(fù)小波以進行對比，如圖2所示。由圖可知，在時域上，消失矩越大，小波函數(shù)幅值振蕩越劇烈，時域?qū)挾茸冋?，幅值變?。欢陬l域上，消失矩越大，波動變緩，幅值變大，頻寬增大。

圖2 兩種消失矩時頻幅頻比較示意圖Fig.2 Comparison in two types of vanishing moment

2.2 信號奇異性分析

信號的奇異性通常利用Lipschitz指數(shù)來表征信號的奇異性[11]，即為Lipschitzα。信號的奇異性大致可分為兩種：一種是信號在某一時刻發(fā)生突變，引起的信號不連續(xù)；另一種是外觀很光滑，但是信號在某處的微分不連續(xù)。

現(xiàn)用Lipschitzα描述故障信號的奇異性。若n為一非負整數(shù)，n<α≤n+1，且存在兩個常數(shù)A，h0>0及n次多項式Pn(h)，使得對任意的常數(shù)h≤h0均有

(4)

則稱f(x)在點x0為Lipschitzα。如果式(4)對所有x0∈(a,b)時均是成立的，且x0+h∈(a,b)，則稱f(x)在(a,b)上是一致Lipschitzα。當(dāng)f(x)在x0處連續(xù)可微，則其Lipschitz指數(shù)為1；當(dāng)f(x)在x0是奇異的，則其Lipschitz指數(shù)小于1；當(dāng)f(x)在x0處不連續(xù)但有界，則其Lipschitz指數(shù)為0。

2.3 消失矩改進機理

為了揭示小波消失矩與信號奇異性的聯(lián)系，這里先給出衰減性的定義[12]。設(shè)具有n階消失矩的小波ψ(t)，其導(dǎo)數(shù)是快速衰減的，即對任意正整數(shù)p和m，其中0≤p≤n，m∈N，存在常數(shù)Cm，使得

(5)

其中：t為信號時間變量；R為實數(shù)集。

設(shè)快速衰減的小波具有n階消失矩，當(dāng)且僅當(dāng)存在快速衰減函數(shù)θ(t)使得

(6)

成立時，信號f的小波變換為

(7)

其中：s為尺度因子；k為平移因子。

當(dāng)且僅當(dāng)對θ(t)的積分不為零時，此時ψ(t)具有不超過n階消失矩。從式(6，7)可知，具有n階消失矩的小波，其小波變換可利用一個n階的多尺度微分算子來代替。

在衰減性的理論上，討論如何利用Lipschitz指數(shù)確定小波消失矩階數(shù)。設(shè)n為正整數(shù)且α≤n，f(x)∈L2(R)，L2(R)為二階可導(dǎo)連續(xù)區(qū)間，在點x0處是一致Lipschitzα，則存在常數(shù)A>0,使得對于x0的一個領(lǐng)域內(nèi)的所有點x和任意尺度s>0，有

(8)

反之，設(shè)f(x)是有界函數(shù)，且當(dāng)α≤n時，f(x)在點x0處是一致Lipschitzα，若存在ε>0和常數(shù)A，B>0,則對于x0的一個臨域內(nèi)的所有點x和任意尺度s，有

|Wψf(s,k)|≤Asε

(9)

(10)

由式(8～10)可知，3個式子在α≤n條件下成立，也就是在α≤n時小波變換的結(jié)果都是小于在某一尺度下的常數(shù)。因此，在Lipschitzα>n時，小波變換結(jié)果處于發(fā)散狀態(tài)，小波變換不能給出Lipschitz指數(shù)的任何信息，無法達到檢測信號奇異性的目的[13]。

通過以上論述可知，消失矩階數(shù)n必須要大于Lipschitz指數(shù)，而不可隨意的選取。結(jié)合在2.2節(jié)中對消失矩的討論，選取消失矩時其階數(shù)應(yīng)盡量大，較大的消失矩可以使小波變換域的能量更為集中，從而壓制同一尺度上變化緩慢部分對應(yīng)的小波系數(shù)值，有利于突出信號中的奇異部分，以取得更好的故障分析效果。但消失矩的階數(shù)也是有限的，隨著消失矩階數(shù)的增大，小波分析的復(fù)雜程度會越來越大，計算速度會越來越緩慢[14]。

3 消失矩階數(shù)的優(yōu)化與選取

現(xiàn)以短路故障為例，利用不同消失矩高斯復(fù)小波對故障信號進行變換，通過消失矩對故障識別準確度來選擇最優(yōu)消失矩階數(shù)。首先定義文中所使用的兩個名詞：鄰幅比和相位畸變率。在經(jīng)復(fù)小波變換后的幅頻特性的峰值中幅值最大值與次于幅值最大值之值的比值即為鄰幅比，其表達式為

RM=M1/M2

(11)

其中：RM為鄰幅比；M1為峰值中幅值最大值；M2為峰值中次幅值最大值之值。

對于相位畸變率，在經(jīng)復(fù)小波變換后的相位信息中相位畸變部分占整個相位的比率即為相位畸變率，其表達式為

RP=t1/t2

(12)

其中：RP為相位畸變率；t1為相位畸變時間；t2為相位總時間。

對鄰幅比中的幅值和相位畸變率的相位畸變時間選取(電壓信號)如圖3所示，幅頻特性中的幅值最大值和次幅值最大值之值都已標識出，在相位信息中，畸變時間t1和t2的和也即是總畸變時間。對故障信號分析過程中，鄰幅比體現(xiàn)了相應(yīng)消失矩對干擾信號的抑制作用以及突出奇異性的效果，相位畸變率體現(xiàn)了變換結(jié)果的穩(wěn)定程度，鄰幅比越大，相位畸變率越小，對應(yīng)階數(shù)的消失矩對奇異點越敏感，復(fù)小波對故障信息的提取就越準確。

圖3 幅值和相位畸變時間選取示意圖Fig.3 Choose modulus and phase distortion time

現(xiàn)選取在不同故障類型下A相故障電壓波形，利用不同消失矩的高斯復(fù)小波對故障信號進行變換，對應(yīng)的鄰幅比和相位畸變率如表1和表2所示。從表1和表2中可看出，隨著消失矩階數(shù)的增加，鄰幅比和相位畸變率并沒有呈現(xiàn)出線性增加的態(tài)勢，鄰幅比先是隨著消失矩的增加而增加，當(dāng)消失矩階數(shù)到達4階時，鄰幅比達到最大；相位畸變率隨著消失矩的階數(shù)增加而平緩的增加，在4階消失矩時，其值接近于最小。

表1 故障信號鄰幅比

表2故障信號相位畸變率

Tab.2Phasedistortedrateoffaultsignal

%

在圖4，圖5中，幅頻特性和相位信息中的故障點和干擾都已標出?？梢钥吹诫S著消失矩的增大，幅頻信息中的峰值會迅速的減小，相位畸變率會逐漸變大，這樣的變化對故障點的檢測是不利的。由于在選取消失矩階數(shù)時，應(yīng)本著鄰幅比越大相位畸變率越小的原則，因此文中用于故障檢測的最優(yōu)高斯復(fù)小波消失矩的階數(shù)是4階，4階消失矩的高斯復(fù)小波不僅可以很好地抑制干擾信息，使其減少17.84%，而且能最大限度地減小相位畸變率，使相位畸變率減小4.12%，在分析故障時使故障特征更加的清晰。

圖4 消失矩n=4和n=9時幅頻特性與相位信息Fig.4 Magnitude frequency and phase information when vanishing moment n=4 and n=9

圖5 消失矩n=5和n=10時幅頻特性與相位信息的示意圖Fig.5 Magnitude frequency and phase information when vanishing moment n=5 and n=10

4 基于故障行波傳播特性的測距方法

輸電線路發(fā)生故障時，在故障點會產(chǎn)生向線路兩端傳播的行波[15]。如圖6所示，圖6(a)是一個輸電線路模型，當(dāng)f點發(fā)生故障時，根據(jù)疊加原理，故障點的電壓可以分解為故障前的穩(wěn)態(tài)電壓uf1和故障電壓uf2之和。在uf2電壓作用下，故障網(wǎng)絡(luò)中將會出現(xiàn)故障電流和電壓，并產(chǎn)生向線路兩端傳播的暫態(tài)行波，如圖6(d)所示。

圖6 利用疊加原理分析故障行波示意圖Fig.6 Schematic diagram of analyze fault traveling wave by superposition principle

若將單根無損分布參數(shù)線路的電壓u和電流i用在線路上的位置x和時間t的偏微分方程來表示

-?u/?x=L?i/?t

(13)

-?i/?x=C?u/?t

(14)

其中：L，C為線路單位長度的電感和對地電容。

將其分別對x，t微分，經(jīng)變換可得到波動方程

(15)

(16)

波動方程中電壓和電流的達朗貝爾解為

(17)

(18)

其中：u1為沿x正方向傳播的前行波；u2為沿x反方向傳播的反行波；v行波的速度；Zc為波阻抗。

文中采用的是單端行波測距法，它利用在線路一端測量到的故障暫態(tài)行波在故障點與本端或者對端母線之間往返一次的傳播時間計算故障點到本端或者對端母線之間的距離。單端行波測距的示意圖如圖7所示，故障行波第1次到達m端的時間為t1，第2次到達m端的時間為t2，故障距離為Lx，設(shè)行波的傳播速度為v，則行波測距的公式為

Lx=(t2-t1)v/2

(19)

圖7 單端距法示意圖Fig.7 Schematic diagram of single-ended fault location

5 仿真分析與實驗驗證

5.1 故障測距仿真

仿真對象是一個220 kV雙端輸電系統(tǒng)，仿真模型利用Matlab工具中的Simpower System建立，線路全長200 km，如圖8所示，系統(tǒng)中的線路參數(shù)為：R1=0.021 Ω/km，R0=0.11 Ω/km，L1=0.89×10-3H/km，L0=2.29×10-3H/km，C1=12.94×10-9F/km，C0=5.23×10-9F/km。分別在線路的50，100和150 km處設(shè)置故障。

圖8 故障仿真模型示意圖Fig.8 Schematic diagram of model of system in fault

現(xiàn)以故障發(fā)生在距離測量端50 km處A相短路為例，故障的行波波形如圖9所示，其正向行波經(jīng)4階消失矩的高斯復(fù)小波變換后的幅頻特性和相位信息如圖10所示。圖9中對于正向行波，其在傳播過程中受到的擾動比較大，沒有呈現(xiàn)出規(guī)律性傳播。經(jīng)過4階高斯復(fù)小波變換后，在圖10中可以看到，幅頻特性中干擾信號明顯得到了抑制，而行波中的奇異點得到了突出，也即是模極大值；在圖10的相位信息中，相位畸變劇烈的地方也即是行波故障點的位置。因此，當(dāng)故障行波中干擾過強時，可以先通過相位信息中相位的畸變情況來判斷行波中故障點的大概位置，再利用幅頻特性中與相位畸變劇烈所對應(yīng)的幅頻峰值來確定故障行波反射的準確時間。

圖9 50 km故障處的正向行波和反向行波示意圖Fig.9 Schematic diagram of forward traveling wave and back traveling wave in 50 km

圖10 經(jīng)復(fù)小波變換后的正向行波幅頻特性和相位信息Fig.10 Magnitude frequency and phase information for forward traveling wave

考慮到行波在傳播過程中的能量衰減，本次實驗中只取了行波前4次的反射波峰，幅頻特性的峰值與其所對應(yīng)相位畸變劇烈的地方都已用箭頭標出。幅頻特性中前4個峰值之間的平均間隔為34.04，單位間隔的時間為10-5s，得到行波在故障點和測量點之間傳播的時間差Δt=17.02×10-5s，代入測距公式(19)則得到故障距離為49.91 km，其誤差為0.18%，其誤差在允許的范圍之內(nèi)。表3為4階消失矩高斯復(fù)小波的測距結(jié)果，表4為10階消失矩高斯復(fù)小波的測距結(jié)果，表5為db4實小波的測距結(jié)果。

從表3可以看出，在4階消失矩高斯復(fù)小波分析的結(jié)果中，不同故障點的測距結(jié)果也是不同的，但其測距誤差總體上都控制在0.76%左右。表4中10階消失矩高斯復(fù)小波分析結(jié)果都在6.82%左右，比4階消失矩分析結(jié)果高了6.06%；在表5中，db4實小波分析結(jié)果都在5.61%左右，比4階消失矩分析結(jié)果提高了5.82%。

表3 4階消失矩高斯復(fù)小波測距結(jié)果

表4 10階消失矩高斯復(fù)小波測距結(jié)果

表5 db4實小波測距結(jié)果

由3個表中的數(shù)據(jù)可知，最優(yōu)消失矩的高斯復(fù)小波能更準確地測出故障距離，其精度比一般的消失矩高斯復(fù)小波和實小波要高出5%左右。由于在實際電網(wǎng)中存在著諸多干擾因素，其測距的誤差也可能會有所改變，在本次仿真中已將一部分干擾考慮在內(nèi)，力求測距結(jié)果可以在一定的可控范圍之內(nèi)。

5.2 實驗驗證

實驗系統(tǒng)在380 V礦井模擬輸電線路系統(tǒng)上進行，其實物圖如圖11所示。

圖11 礦用供電線路故障診斷系統(tǒng)Fig.11 Experimental system in coal mine

線路對地電容、電感、電阻分別為C1=0.22×10-6F，L1=6.36×10-3H，R1=2 Ω。分別進行AB相間短路和C相單相短路實驗?，F(xiàn)取500 m處AB相間短路故障電壓行波信號，分別利用Cgau4，Cgau10和db4這3種小波對行波信號進行處理，為了便于比較3種小波變換后的結(jié)果，將三者幅頻特性集于圖12中。

圖12 三種幅頻特性比較Fig.12 Comparison of three types magnitude-frequency

由圖12可知，經(jīng)Cgau4處理后，其幅頻特性在量級上要遠大于Cgau10和db4的處理結(jié)果，Cgau4的幅頻特性中模極大值都是以單一孤立波峰的形式存在，沒有頻譜混疊的現(xiàn)象，故障點清晰明確，易于讀取故障時間；Cgau10的幅頻特性中受到干擾比較嚴重，隨著行波能量的衰減，模極大值逐漸被干擾所掩蓋，以至于后續(xù)反射的波形中故障點已經(jīng)無法辨識；db4的幅頻特性中，故障點波形比較混亂，沒有單一的波峰峰值點，同時其幅頻特性在量級上有顯著減小，這些都給故障點的判斷帶來了較大的難度?？梢?，普通消失矩的復(fù)小波和實小波對實際故障線路波形的分析效果遠不如最優(yōu)消失矩復(fù)小波的分析效果，改進消失矩的高斯復(fù)小波的有效性和優(yōu)越性也是顯而易見的。

現(xiàn)利用Cgau4對不同故障距離下AB相間短路和C相單相短路的行波進行分析，實驗結(jié)果如表6所示?？紤]到實驗線路較短，設(shè)備采樣頻率有限，而致使本次實驗誤差率要大于仿真誤差率。就總體而言，誤差率是符合要求的。

6 結(jié)束語

筆者提出利用改進消失矩的高斯復(fù)小波處理輸電線路故障信號。討論了消失矩與信號奇異性的關(guān)系，分析了消失矩對故障測距的影響，以及如何選取

表6 礦用供電線路實驗結(jié)果

最優(yōu)消失矩的復(fù)小波提取故障信息。通過全文論述可以得出以下結(jié)論：

1) 消失矩是小波的一個重要的參數(shù)，當(dāng)Lipschitz指數(shù)小于小波消失矩的階數(shù)時，小波變換無法有效檢測出信號的奇異性，因此也就無法對故障信號進行分析。

2) 改進消失矩高斯復(fù)小波由于消失矩得以優(yōu)化，從而可以增強信號奇異點的檢測能力，經(jīng)鄰幅比和相位畸變率對消失矩階數(shù)進一步優(yōu)化后，幅頻特性中表征奇異性的幅值量級顯著增大，波峰更為明顯，由鄰幅比可知干擾被抑制了17.84%，相位信息中相位畸變減小了4.12%，即提高了復(fù)小波對信號奇異點的敏感程度。

3) 選用改進消失矩的復(fù)小波進行故障測距，將幅值和相位信息結(jié)合起來，保留了實小波正交緊支和近似對稱的優(yōu)點，克服了實小波缺乏相位信息和頻帶混疊的缺點。由于準確的提取故障時間，而使得改進消失矩復(fù)小波測距結(jié)果的誤差比普通消失矩的高斯復(fù)小波的測距結(jié)果誤差減少6.06%，比實小波測距結(jié)果誤差減少5.82%。

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