陳學(xué)前， 沈展鵬, 劉信恩

(1．中國工程物理研究院總體工程研究所 綿陽，621999) (2．工程材料與結(jié)構(gòu)沖擊振動(dòng)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 綿陽，621999)

引 言

可靠的動(dòng)力學(xué)模型對(duì)于結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)預(yù)測(cè)和結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)都具有十分重要的意義。因此，常常需要根據(jù)結(jié)構(gòu)振動(dòng)或模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果對(duì)結(jié)構(gòu)的有限元模型進(jìn)行修正，使修正后的模型可作為基準(zhǔn)有限元模型對(duì)其進(jìn)行后期的健康檢測(cè)與評(píng)估，以便能更好服務(wù)結(jié)構(gòu)的工程設(shè)計(jì)。為此，有限元建模與修正技術(shù)在過去30多年取得了長足的發(fā)展[1-6]。有限元模型修正過程是一個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別和確認(rèn)的優(yōu)化過程，每一次迭代都需要調(diào)用有限元程序?qū)Y(jié)構(gòu)重新進(jìn)行計(jì)算，針對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)，計(jì)算量大，直接調(diào)用有限元分析的優(yōu)化不易于工程實(shí)際應(yīng)用，為此，相關(guān)學(xué)者提出了基于各種代理模型的有限元模型修正方法[6-11]，可以大大提高修正效率，增加有限元模型修正的工程適用性。但是，由于有限元模型修正是個(gè)參數(shù)識(shí)別的優(yōu)化過程，因試驗(yàn)結(jié)果偏差或結(jié)構(gòu)建模偏差的存在，實(shí)際優(yōu)化過程中可能存在目標(biāo)函數(shù)不完全趨近于零的情況，最終優(yōu)化后的目標(biāo)函數(shù)可能是某個(gè)小的值，如果基于該模型對(duì)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)進(jìn)行預(yù)測(cè)評(píng)估，總會(huì)使人們心存疑慮。總的來說，工程中不存在一個(gè)完美模型來描述其物理實(shí)際，為此，近年來有學(xué)者開始關(guān)注考慮模型偏差的有限元模型修正與預(yù)測(cè)[12-16]，使得模型偏差能在模型預(yù)測(cè)中得到體現(xiàn)，從而增強(qiáng)模型的預(yù)測(cè)能力，以便更好為決策服務(wù)。但是，目前考慮模型偏差的模型修正與預(yù)測(cè)更多側(cè)重于模型偏差的建模與預(yù)測(cè)，即通過已知確認(rèn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)獲取確認(rèn)域的模型偏差，并據(jù)此建立全域里的模型偏差模型，以獲取預(yù)測(cè)位置處的模型偏差。這種考慮模型偏差的模型修正方法在實(shí)際工程中存在一定缺陷，如確認(rèn)域的結(jié)構(gòu)與預(yù)測(cè)域的結(jié)構(gòu)不一致時(shí)，此時(shí)由于需要將模型偏差在結(jié)構(gòu)空間跨層傳播到預(yù)測(cè)域，由于建立模型偏差在結(jié)構(gòu)空間跨層傳播模型時(shí)存在較大困難，目前研究較少。

筆者提出用待修正參數(shù)的不確定性來表征模型偏差，使得模型偏差對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響可以方便地通過待修正參數(shù)的傳播實(shí)現(xiàn)其在參數(shù)空間內(nèi)插/外推預(yù)測(cè)以及結(jié)構(gòu)空間的跨層傳播。為提高模型修正效率，采用多項(xiàng)式響應(yīng)面模型完成結(jié)構(gòu)傳統(tǒng)確定性的模型修正，得到待修正參數(shù)的最優(yōu)值，并基于靈敏度分析與響應(yīng)面模型，識(shí)別得到模型偏差對(duì)待修正參數(shù)的影響。最后，通過懸臂梁模型修正實(shí)例對(duì)所提出的方法進(jìn)行了驗(yàn)證。根據(jù)不確定性的一般分類，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的不確定性大致可以分參數(shù)不確定性和模型形式不確定性(即模型偏差)[17]。本模型修正得到系統(tǒng)待修正參數(shù)用區(qū)間表征，在表征形式上與考慮系統(tǒng)中各參數(shù)不確定性的有限元模型修正結(jié)果類似，但意義不同?？紤]系統(tǒng)中各參數(shù)不確定性的有限元模型修正中,待修正參數(shù)表征的是系統(tǒng)中的各參數(shù)不確定性(如不同次裝配帶來連接剛度的不確定性),而文中得到的待修正參數(shù)區(qū)間是表征系統(tǒng)中的模型偏差。

1 修正后有限元模型的模型偏差

模型偏差定義為計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的差異，實(shí)際工程中，為減小模型偏差，一般先對(duì)初始有限元模型進(jìn)行修正。

有限元模型修正過程是一個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別和確認(rèn)的優(yōu)化過程，考慮到響應(yīng)面法由于具有計(jì)算量小，精度較高，且待修正參數(shù)與響應(yīng)量之間具有顯示函數(shù)關(guān)系，便于進(jìn)一步開展基于靈敏度分析的考慮模型偏差的模型修正，筆者采用多項(xiàng)式響應(yīng)面函數(shù)作為代理模型，開展結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的有限元模型修正。

響應(yīng)面法的基本思想是假設(shè)隨機(jī)輸入變量對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)變量的影響可用數(shù)學(xué)函數(shù)來表達(dá)，通過確定性有限元方法在隨機(jī)輸入變量空間構(gòu)造有限樣本點(diǎn)，用二次多項(xiàng)式擬合這些樣本點(diǎn)，得到響應(yīng)面函數(shù)。研究表明，參數(shù)間相互效應(yīng)對(duì)響應(yīng)面模型總方差的貢獻(xiàn)非常小[11]，并且一般結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)隨系統(tǒng)待修正參數(shù)的變化都較為平滑，故文中采用無交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式模型作為代理模型，其精度也能滿足要求。筆者采用響應(yīng)面模型的表達(dá)式如下

(1)

其中：n為待修正參數(shù)的個(gè)數(shù)；b0，bi及bii為待定系數(shù)，需根據(jù)試驗(yàn)樣本點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果對(duì)其進(jìn)行識(shí)別。

傳統(tǒng)確定性的有限元模型修正可歸結(jié)為如下優(yōu)化問題

(2)

經(jīng)修正得到的模型仍可能存在模型偏差δ(pc)，定義為待修正參數(shù)取最優(yōu)值pc時(shí)計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的差別，有如下表達(dá)式

δ(pc)=|ye-ya(pc)|

(3)

圖1 基于響應(yīng)面的有限元模型修正流程圖Fig.1 Flow chart of finite element model updating based on response surface method

2 模型偏差的影響分析

通過前面確定性的有限元模型修正，獲得待修正參數(shù)的最優(yōu)值pc，將其代入響應(yīng)面模型(1)，計(jì)算優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，并與試驗(yàn)結(jié)果比較得到模型偏差δ(pc)。采用靈敏度分析的方法求解模型偏差的影響，模型偏差與待修正參數(shù)偏差有如下關(guān)系

δ(pc)=|S·Δp|

(4)

其中：S=?y/?p表示待修正參數(shù)關(guān)于模態(tài)參數(shù)的靈敏度矩陣，可以根據(jù)響應(yīng)面模型(1)方便計(jì)算得到。

求解式(4)，得到待修正參數(shù)偏差的表達(dá)式為

Δp=|Gδ(pc)|

(5)

其中，G=(STS)-1ST。

將待修正參數(shù)偏差Δp與其最優(yōu)值pc按以下方式疊加，得到考慮模型偏差后的參數(shù)識(shí)別區(qū)間為

(6)

3 實(shí) 例

圖2所示為懸臂梁結(jié)構(gòu)，其厚度為15 mm，結(jié)構(gòu)材料為鋼，名義彈性模量為200 GPa，密度為7 800 kg/m3。其根部通過3個(gè)M8的螺栓施加10 N·m擰緊力矩實(shí)現(xiàn)根部固支。通過模態(tài)試驗(yàn)獲得結(jié)構(gòu)前3階彎曲頻率分別為39.32，244.87，679.01 Hz。

圖2 懸臂梁結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Sketch map of cantilever

在ANSYS中采用BEAM3二維梁單元建立梁懸臂自由部分的有限元模型，固支端剛度采用拉壓與扭轉(zhuǎn)彈簧單元組合單元模擬該懸臂梁的根部撓性剛度，其中彈簧剛度為待識(shí)別參數(shù)。建立梁的有限元模型如圖3所示。

圖3 懸臂梁結(jié)構(gòu)的有限元模型Fig.3 Finite element model of cantilever

有限元模型中假定拉壓剛度Kt的初始區(qū)間值為[3 6]×107N/m，扭轉(zhuǎn)剛度Kr的初始區(qū)間值為[9 15]×104N·m，根據(jù)如圖1所示模型修正流程對(duì)這兩個(gè)待修正參數(shù)進(jìn)行修正。在參數(shù)識(shí)別過程中所建立的二次多項(xiàng)式響應(yīng)面模型，表征其擬合精度指標(biāo)的R2值均為1，說明本方法采用無交叉項(xiàng)的二次響應(yīng)面模型作為代理模型能滿足精度要求。表1為模型修正前后計(jì)算頻率與實(shí)測(cè)頻率比較(修正前計(jì)算結(jié)果是待修正參數(shù)取初始區(qū)間中值的計(jì)算值)，f1～f3分別為1階～3階頻率。

表1表明，相比初始模型，修正后結(jié)構(gòu)前3階固有頻率的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的最大相對(duì)誤差由2.32%減小到0.29%，模型更精確了，但仍有一定偏差。

表1修正前后計(jì)算頻率與實(shí)測(cè)頻率比較

Tab.1ComparisonofthefrequenciesbetweenthesimulationresultsandthetestresultsHz

圖4～圖6是兩個(gè)待修正參數(shù)和目標(biāo)函數(shù)的收斂過程圖。從圖4、圖5可以得到待修正參數(shù)Kt,Kr的識(shí)別結(jié)果分別是3.701×107N/m，6.918×104N·m。從圖6可以看出，修正后模型的固有頻率f1～f3計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果仍存在一定差異，即修正后的模型存在偏差。

圖4 待修正參數(shù)Kt的迭代收斂情況Fig.4 Convergence curve of the updating parameter Kt

圖5 待修正參數(shù)Kr的迭代收斂情況Fig.5 Convergence curve of the updating parameter Kr

圖6 目標(biāo)函數(shù)F的迭代收斂情況Fig.6 Convergence curve of the objective function F

為了得到更可靠的有限元模型，需要考慮模型偏差影響，對(duì)待修正參數(shù)再次修正。結(jié)合響應(yīng)面模型(1)，計(jì)算待修正參數(shù)關(guān)于前3階固有頻率的靈敏度矩陣，再根據(jù)式(5)計(jì)算得到待修正參數(shù)偏差分別為0.490×107N/m，0.497×104N·m。并根據(jù)式(6)得到考慮模型偏差后待修正參數(shù)Kt，Kr的區(qū)間分別是[3.211 4.191]×107N/m，[6.421 7.415]×104N·m。

根據(jù)待修正參數(shù)的初始設(shè)計(jì)區(qū)間、模型修正后的參數(shù)識(shí)別區(qū)間，采用均勻分布的拉丁超立方抽樣方法構(gòu)造1 000個(gè)隨機(jī)樣本，并計(jì)算懸臂梁的前3階固有頻率，并與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，概率密度曲線如圖7所示。從圖7可以看出，相比模型修正前，修正后模型的固有頻率計(jì)算結(jié)果明顯更接近試驗(yàn)結(jié)果；如不考慮模型偏差，修正模型的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果存在一定差異，而考慮模型偏差后的計(jì)算結(jié)果概率曲線則能完全覆蓋試驗(yàn)結(jié)果，基于該模型進(jìn)行響應(yīng)預(yù)測(cè)的結(jié)果將更可靠。

圖7 修正前后結(jié)構(gòu)前3階固有頻率計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果比較Fig.7 Comparison of the first three frequencies between the simulation results and the test results

4 結(jié)束語

鑒于結(jié)構(gòu)有限元模型修正后仍可能存在模型偏差的問題，筆者提出了考慮模型偏差的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正方法。該方法分兩步進(jìn)行：a.基于響應(yīng)面模型對(duì)待修正參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化識(shí)別，并求出模型修正后的模型偏差；b.基于響應(yīng)面模型并結(jié)合靈敏度分析得到模型偏差對(duì)結(jié)構(gòu)待修正參數(shù)的影響，得到待修正參數(shù)的不確定性，并用待修正參數(shù)的區(qū)間來表示考慮模型偏差的有限元模型修正結(jié)果。由于本方法采用響應(yīng)面模型，可以大幅提高修正效率，增強(qiáng)工程應(yīng)用價(jià)值。針對(duì)提出的考慮模型偏差的動(dòng)力學(xué)模型修正方法，通過懸臂梁算例對(duì)模型修正方法與流程進(jìn)行了展示，修正結(jié)果較好覆蓋了試驗(yàn)結(jié)果，因此，基于該模型進(jìn)行響應(yīng)預(yù)測(cè)的結(jié)果將更可靠。

通過考慮模型偏差得到的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)修正模型，可以提高結(jié)構(gòu)的可靠性預(yù)測(cè)結(jié)果。但是，由于待修正參數(shù)是區(qū)間表征的不確定性參數(shù)，在進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的傳播分析時(shí)，如何快速高效對(duì)這些不確定性參數(shù)進(jìn)行傳播分析以得到關(guān)心量的預(yù)測(cè)結(jié)果，特別針對(duì)非線性效應(yīng)較強(qiáng)的模型，需要進(jìn)一步開展相關(guān)研究。并且，當(dāng)結(jié)構(gòu)中某些材料參數(shù)存在不確定性或連接不確定性時(shí)，如何綜合模型中參數(shù)不確定性與模型偏差的影響，以修正得到更可靠的有限元模型還需要進(jìn)一步研究。

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