付道文(西安電子科技大學(xué)，陜西 西安 710071)

0 引 言

直接數(shù)字合成(DDS)技術(shù)[1-3]是一種新的信號(hào)合成技術(shù)。它具有靈活多變、頻率分辨率高、操作方便、頻率切換速度快、輸出相位噪聲低、全數(shù)字化實(shí)現(xiàn)、參數(shù)可編程、重量輕、體積小、便于集成等諸多優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程中；但是由于其存在雜散問(wèn)題，限制了其更好的發(fā)展。本文將對(duì)DDS的雜散問(wèn)題進(jìn)行探討和分析。

1 DDS的原理

DDS的基本原理如圖1所示。DDS以參考時(shí)鐘源fc作為其系統(tǒng)工作時(shí)鐘，在每個(gè)時(shí)鐘到來(lái)時(shí)，相位累加器就會(huì)結(jié)合頻率指定的輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行有規(guī)律的累加操作，然后再將累加的結(jié)果作為正弦波波形存儲(chǔ)器的地址輸入，這一操作即是將相位信息變化成數(shù)字幅度信息的過(guò)程。存儲(chǔ)器的輸出信息作為數(shù)模轉(zhuǎn)換器(DAC)的輸入信號(hào)，即可將數(shù)字化的信號(hào)轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)，再經(jīng)由低通濾波器除去高頻噪聲信號(hào)，從而得到盡可能純凈的正弦波信號(hào)。

圖1 DDS基本原理結(jié)構(gòu)

若累加器以K點(diǎn)為步長(zhǎng)，正弦波存儲(chǔ)器的位數(shù)為N，則產(chǎn)生的信號(hào)頻率和周期分別為：

fo=K·fc/2N

(1)

To=Tc·2N/K

(2)

式中：K為DDS頻率控制字，當(dāng)K=1時(shí)，輸出信號(hào)的頻率表示為DDS的分辨率。

根據(jù)奈奎斯特采樣定理，DDS輸出信號(hào)的最高頻率為fc/2，而在實(shí)際中，最高輸出頻率一般約40%fc。

2 DDS的雜散來(lái)源

DDS的雜散模型如圖2所示，由于相位累加器的輸出數(shù)據(jù)需要經(jīng)過(guò)截位而送至幅度轉(zhuǎn)換只讀存儲(chǔ)器(ROM)表中，這樣就會(huì)舍棄低位數(shù)據(jù)，從而造成DDS的截位誤差；同時(shí)，ROM的存儲(chǔ)空間有限，不能完全保存所有正弦波的信息，從而會(huì)造成ROM的輸出量化誤差；另外，由于DAC的非理想特性，其中包括DAC分辨位數(shù)有限、DAC的積分非線性等引起的誤差。

圖2 DDS雜散模型

3 理想情況下的分析與仿真

3.1 理想情況下的DDS輸出信號(hào)分析

設(shè)DDS的相位累加器的位數(shù)為N，頻率控制字為K，n表示相位累加器的當(dāng)前累加次數(shù)，累加器的輸出為φ(n)，φ(n)也是周期序列，其周期為uk=2B/GCD(2B,K)，其中GCD(2B,K)表示2N與K的最大公約數(shù)。

暫不考慮相位截取和幅度量化所引起的誤差，輸入至DAC的離散信號(hào)序列為S(n)：

S(n)=cos(2πKn/2N)

(3)

對(duì)S(n)做傅里葉變換，即可得到DDS輸出信號(hào)的頻譜特性。

3.2 理想情況下的DDS輸出信號(hào)仿真

仿真結(jié)果如圖3所示，在理想情況下，設(shè)置相位累加器位數(shù)N=10，頻率控制字K=200，此時(shí)，不需要考慮相位累加器的截位。DDS的輸出沒(méi)有雜散頻率分量，輸出信號(hào)的頻率fo=Kfc/2N，即為圖3中橫坐標(biāo)歸一化頻率的0.2處，另外第1個(gè)距輸出頻率最近的頻率為fo=(2N-K)fc/2N，這也就是頻率fc-fo，對(duì)比計(jì)算的頻率分量，亦可反過(guò)來(lái)驗(yàn)證其正確性。另外頻率分量fc-fo處的幅度僅比輸出信號(hào)fo幅度低3 dB，這也就驗(yàn)證了DAC后端必須添加低通濾波器。

圖3 理想DDS頻譜仿真(N=10,K=200)

4 相位累加器舍位雜散分析與仿真

4.1 相位累加器舍位[4-5]分析

設(shè)在理想情況下，N位相位累加器的輸出序列φ(n)為:

φ(n)=(nK)mod2N

(4)

式中:n表示累加次數(shù)，n=0,1,2,…;K表示頻率控制字;mod表示模除運(yùn)算。

對(duì)于2個(gè)正整數(shù)p和q，mod運(yùn)算定義為：

pmodq=p-int(p/q)q

(5)

式中:int(p/q)表示取整運(yùn)算。

在實(shí)際情況下，相位舍位而產(chǎn)生的誤差為εp(n)，N為DDS相位累加器的位數(shù)，則相位累加器的輸出為0～2N-1，通常去相位累加器的高A位輸出作為幅度轉(zhuǎn)換ROM表的輸入，易知B=N-A為舍棄的倍數(shù)，截位之后，相位累加器的輸出序列φp(n)為：

φp(n)=φ(n)-(φ(n)mod2B)

(6)

正弦波相位序列為：

θp(n)=(2π/2N)φp(n)

(7)

對(duì)應(yīng)的相位誤差為εp(n)：

εp(n)=nKmod2B

(8)

由上式可知，當(dāng)K=m2Bp(m為正整數(shù))時(shí)，φp(n)=0，即相位誤差序列為0，此時(shí)DDS輸出信號(hào)頻率為：

fo=Kfc/2N=mfc/2A

(9)

當(dāng)K≠m2B(m為正整數(shù))時(shí)，φp(n)≠0，即相位誤差序列不為0。φp(n)是以u(píng)為周期的序列，其中uk=2B/GCD(2B,C)，C=Kmod2B。

在不考慮其他誤差的情況下，DDS輸出信號(hào)波形序列為：

Sr(n)=cos[2πnK/2N-2πεp(n)/2N]

(10)

當(dāng)滿足εp(n)/2N≤2B/2N=2(B-A)≤1時(shí),可對(duì)Sr(n)進(jìn)一步化簡(jiǎn):

Sr(n)=sin(2πnK/2N)-2πεp(n)cos(2πnK/2N)/2N

(11)

誤差波形序列Se(n)為：

Se(n)=2πεP(n)cos(2πnK/2N)/2N

(12)

設(shè)Sr(n)經(jīng)過(guò)DAC轉(zhuǎn)換后的信號(hào)為Sp(t)，周期T=ukTc，Sp(t)在1個(gè)周期內(nèi)可以寫(xiě)作：

(13)

其傅里葉展開(kāi)形式為：

(14)

(15)

將式(13)代入式(15)，化簡(jiǎn)，可得出：

(16)

4.2 相位累加器舍位雜散仿真分析

相位累加器舍位誤差仿真如圖4和圖5所示，誤差序列εp(n)是以1為周期的采樣序列(注意此時(shí)的1不是仿真圖中橫坐標(biāo)的1，仿真圖中的橫坐標(biāo)是經(jīng)過(guò)2N歸一化之后的結(jié)果)。由于頻譜搬移的因素，仿真圖中的譜線“成對(duì)”出現(xiàn)，“成對(duì)”譜線之間的頻率間隔為1/27(對(duì)DDS系統(tǒng)頻率進(jìn)行歸一化)。對(duì)比圖4和圖5，當(dāng)K減小時(shí)，雜散信號(hào)的譜線間距明顯縮小，這是因?yàn)殡s散信號(hào)的平均采樣點(diǎn)數(shù)隨著K的減小而增大。

圖4 相位截?cái)嘣斐呻s散譜(N=12,B=7,K=6)

圖5 相位截?cái)嘣斐呻s散譜(N=12,B=7,K=1)

5 幅度量化誤差雜散分析與仿真

5.1 幅度量化誤差[6-8]分析

設(shè)量化階q=2-(-D-1)，D為幅度轉(zhuǎn)換器的量化位數(shù)，S(t)為量化前的正弦函數(shù),εa(t)為量化誤差函數(shù)，其幅度為q/2，可以如下表示：

(17)

設(shè)正弦函數(shù)為S(t)=sin(2πf0t)，代入式(17)，可得：

(18)

若DDS的頻率控制字為K，ROM輸出幅度的量化誤差序列為εa(m)，則式(18)可進(jìn)一步變換為:

(19)

設(shè)S(m)經(jīng)過(guò)DAC后,信號(hào)再經(jīng)過(guò)傅里葉變換，設(shè)其傅里葉級(jí)數(shù)為Fn，有：

Fn=exp(-jπn/uk)Xa(n)/uk

(20)

式中:Xa(n)為序列Sa(n)的離散傅里葉變換(DFT)，并且Sa(n)=S(n)-εa(n)。

5.2 幅度量化誤差仿真分析

幅度量化誤差仿真如圖6～圖8所示，圖中的縱坐標(biāo)對(duì)信號(hào)主頻fo=fcK/2-N所對(duì)應(yīng)的幅度進(jìn)行歸一化。對(duì)比圖7和圖8，當(dāng)量化位數(shù)D適當(dāng)?shù)卦龃髸r(shí)，DDS的輸出信號(hào)雜散明顯降低。

圖6 DDS幅度量化后的頻譜特性(N=10,D=8,K=50)

圖7 DDS幅度量化后的頻譜特性(N=10,D=8,K=300)

圖8 DDS幅度量化后的頻譜特性(N=10,D=12,K=300)

6 DAC造成的DDS誤差

由于DAC的位數(shù)有限，這一部分分析與幅度量化誤差類似，用D表示DAC的位數(shù)，信號(hào)功率與噪聲功率之比為：

σSNR=1.76+6.02D

(21)

從公式(21)可得出：DAC的位數(shù)每增加1位，信噪比提升6 dB。

7 結(jié)束語(yǔ)

在工程中，DDS廣泛應(yīng)用于信號(hào)源產(chǎn)生模塊，因此，在使用DDS的過(guò)程中，應(yīng)對(duì)DDS的雜散問(wèn)題有足夠的了解，無(wú)論是芯片選型還是硬件調(diào)試階段，都難以避免地遇到DDS輸出信號(hào)質(zhì)量的問(wèn)題。本文從理論推導(dǎo)出發(fā)，通過(guò)Matlab仿真，全面地分析了DDS的雜散問(wèn)題，可以為DDS的實(shí)際應(yīng)用提供理論依據(jù)。

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