摘要： 在研究許多物理模型問題中，人們對(duì)系統(tǒng)的具體結(jié)構(gòu)知之甚少，甚至往往不知道其動(dòng)力學(xué)規(guī)律，而只是測(cè)得與系統(tǒng)性質(zhì)有關(guān)的某一變量隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)，這就是所謂時(shí)間序列或信號(hào)。這被測(cè)得的變量可以是系統(tǒng)的狀態(tài)變量之一，如細(xì)胞膜的內(nèi)外電位差或振動(dòng)系統(tǒng)沿某一方向的位移，但也可能并不是系統(tǒng)的狀態(tài)變量而是與系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)的某一變量，如醫(yī)院里對(duì)人從體表測(cè)得的脈搏、心電圖、腦電圖、胃電圖、心音和肺音都是如此。在這種情況下，如何由這種時(shí)間序列確定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)和特征呢？人們用相空間重構(gòu)和功率譜的方法來對(duì)系統(tǒng)的性質(zhì)和特征進(jìn)行分析判斷。本文章用這兩種方法對(duì)傾斜磁場(chǎng)下雙勢(shì)阱中粒子的運(yùn)動(dòng)模型做了進(jìn)一步的分析。

Abstract： In many physical model of the problem， people know little about the specific structure of the system， often do not even know the dynamic rules， but only one related to the nature of the system variables can be measured data changes over time， this is called time series or signal. This is measured variables can is one of the state variables of the system， such as inside and outside of the cell membrane potential difference along a certain direction of displacement or vibration system， but also may not be the state of the system but one related to the system state variables， such as the hospital from the surface to the person pulse， ecg， eeg， electrogastrogram， heart and lung sounds. In this case， how to determine the nature and characteristics of the system by this time series？ The properties and characteristics of the system are analyzed and judged by means of phase space reconstruction and power spectrum. In this paper， the motion model of the particle in the two potential well in the tilted magnetic field is further analyzed.

關(guān)鍵詞： 時(shí)間序列分析；相空間重構(gòu)；功率譜

Key words： time series analysis；phase space reconstruction；power spectrum

中圖分類號(hào)：O4-0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2018）14-0274-04

1 研究背景

目前已有較多的混沌研究方法，但許多方法對(duì)于一些內(nèi)部結(jié)構(gòu)不清楚或不易構(gòu)造其數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)來說，都束手無策。惟有相空間重構(gòu)法可由系統(tǒng)中測(cè)出某一單變量的時(shí)間序列，并用時(shí)間延遲技術(shù)重構(gòu)原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征，從而極大地提高了用物理實(shí)驗(yàn)理解復(fù)雜系統(tǒng)的能力，而且它具有技術(shù)上的簡(jiǎn)便性和數(shù)據(jù)的可獲取性[1]。雖然許多研究人員可以肯定混沌吸引子是某些隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的根本原因，但他們更希望能從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中明確證明簡(jiǎn)單混沌吸引子的存在，即如何看得見它。然而通常的試驗(yàn)并不能記錄一個(gè)系統(tǒng)的所有方面，而僅僅是其中的少數(shù)方面，一般只能得到一維的標(biāo)量信號(hào)，人們遇到的首要任務(wù)是如何根據(jù)有限的數(shù)據(jù)“重構(gòu)”吸引子。Takens指出，系統(tǒng)中任一分量的演化都是由與之相互作用著的其他分量所決定的。因此，這些相關(guān)分量的信息就隱含在任一分量的發(fā)展過程之中。Packard等人提出的時(shí)間延遲思想，能重構(gòu)出觀測(cè)到的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的相空間，這對(duì)于不能直接測(cè)量深層的自變量而僅僅知道一組單變量時(shí)間序列的研究人員來說，也有了研究系統(tǒng)的動(dòng)力行為的可能。假設(shè)在某動(dòng)力系統(tǒng)中，唯一可觀察到的是單變量時(shí)間序列x（t），為了研究這個(gè)時(shí)間序列的動(dòng)力模型，可以重構(gòu)相空間。這個(gè)時(shí)間序列過去的性態(tài)含有現(xiàn)在狀態(tài)的信息，這個(gè)信息可以表示為維數(shù)為m的時(shí)延向量：

2 相空間重構(gòu)

相空間重構(gòu)可把具有混沌特性的時(shí)間序列重建為一種低階非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，它是非線性時(shí)間序列分析的重要步驟。重構(gòu)的質(zhì)量直接影響到模型的建立和預(yù)測(cè)，延遲時(shí)間T和嵌入維數(shù)m的選擇是相空間重構(gòu)的兩個(gè)重要參數(shù)。對(duì)所研究系統(tǒng)我們選擇角度等于65度，參數(shù)a=c=1，同樣選取初始條件p1=0.5，p2=1.2，q1=1.2，q2=0.5來重構(gòu)它的相空間。從方程中得到一時(shí)間序列q2，其中q2的波形和原相圖如圖1 所示。由圖1中（a）可以看出，它是一個(gè)具有隨機(jī)性的非周期信號(hào)。該系統(tǒng)的狀態(tài)空間相圖如圖1（b）所示，從狀態(tài)空間相圖可看出此方程的解屬于混沌狀態(tài)。選取p從3到450分別作為重構(gòu)時(shí)延進(jìn)行二維相空間重構(gòu)，畫出部分相圖如圖2所示。由圖2可以看出，當(dāng)p取96時(shí)與原相圖具有良好的逼近性。把原相圖與重構(gòu)圖做比較（圖3），我們得知盡管重構(gòu)變換使得運(yùn)動(dòng)相圖形狀、大小發(fā)生了變化，但運(yùn)動(dòng)相圖許多根本的動(dòng)力特性并沒有改變，仍然是混沌的。

3 功率譜分析

用功率譜的方法對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分析，判斷粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨耦合系數(shù)改變所做的變化，并與龐加萊截面法的判斷結(jié)果比較。對(duì)一個(gè)變量x的分析[3]，首先自然是直接觀察其x-t曲線的表現(xiàn)。如果此曲線是規(guī)則地周而復(fù)始，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是周期的：周期的具有一個(gè)相等的極大（或極?。┲禃r(shí)，則系統(tǒng)是做一周期（1P）運(yùn)動(dòng)（基頻振蕩）；周期地有兩個(gè)不同的極大（或極小）值時(shí)，則系統(tǒng)是做二周期（2P）運(yùn)動(dòng)（分頻）……。但是如果x-t曲線是雜亂無章或非周期性的，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)既可能是混沌，也可能是噪聲，還可能是準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)或有噪聲作本底的規(guī)則運(yùn)動(dòng)。因此，如果x-t曲線是非周期時(shí)，我們便無法簡(jiǎn)單地由此曲線確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。譜分析一直是分析振動(dòng)的一種很有效的方法，根據(jù)傅立葉定理，任何一個(gè)周期為T的周期運(yùn)動(dòng)x（t）都可以展開成傅立葉級(jí)數(shù)：

所以功率譜的分析對(duì)于時(shí)間序列來說，通常作為研究混沌運(yùn)動(dòng)的一種簡(jiǎn)便有效的工具，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的非周期性可以通過時(shí)間序列的功率譜表現(xiàn)出來。這里我們選擇q2分量來驗(yàn)證，如圖3所示，對(duì)應(yīng)于不同角度所做的功率譜圖。橫坐標(biāo)為頻率f，縱坐標(biāo)為頻譜F（）。無耦合（角度為0時(shí)），各個(gè)振子在做相互獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)是可積的，運(yùn)動(dòng)是規(guī)則的，兩個(gè)振子的振幅隨時(shí)間變化也是圍繞0點(diǎn)周期振蕩的，其功率譜就會(huì)展示無噪聲背景的（如右列圖a），在x方向上，粒子以一個(gè)頻率？棕作簡(jiǎn)諧振動(dòng)；x方向的振動(dòng)在驅(qū)動(dòng)頻率？棕處有一較強(qiáng)的功率譜線。一定耦合系數(shù)存在時(shí)（傾角為4.85度），一個(gè)振子的運(yùn)動(dòng)受另一個(gè)振子的影響，振動(dòng)而變得不再規(guī)則，兩個(gè)振子的振幅隨時(shí)間變化均為不規(guī)則的。此時(shí)運(yùn)動(dòng)是非周期的，其功率譜展示了連續(xù)的寬帶特征，如圖右列（圖b-c），該譜在低頻段有明顯離散的峰，在？棕處產(chǎn)生了較寬的連續(xù)的頻率響應(yīng)，所以粒子的運(yùn)動(dòng)不再是規(guī)則的，出現(xiàn)了一定的擴(kuò)散，粒子趨向混沌運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，x方向的功率譜的頻率數(shù)量大大增加。這種非線性還破壞了系統(tǒng)哈密頓量的周期性。這個(gè)噪聲狀的功率譜是混沌系統(tǒng)的本質(zhì)特征。圖d在附近有兩個(gè)較強(qiáng)的功率譜線，同時(shí)存在著另外幾個(gè)較弱的功率譜線，這表明此時(shí)粒子的運(yùn)動(dòng)是準(zhǔn)周期的。

通過上述功率譜的分析，我們可以判斷出粒子運(yùn)動(dòng)行為隨著耦合系數(shù)的改變所作的變化。隨著傾角的增大，粒子在阱中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)換為規(guī)則—不規(guī)則—規(guī)則。所得結(jié)果與用龐加萊截面方法[1]的判斷結(jié)果一致，這說明了我們所做出的判斷是正確的。功率譜分析方法的優(yōu)點(diǎn)是只要測(cè)出系統(tǒng)中某一個(gè)時(shí)間序列，而不必測(cè)得系統(tǒng)的原模型，就可對(duì)它就進(jìn)行分析判斷。

4 總結(jié)

綜上所述，相空間重構(gòu)和功率譜分析方法都是利用測(cè)得的時(shí)間序列來分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征[4]。這兩種方法都是利用時(shí)間序列對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了分析，分析結(jié)果與原系統(tǒng)的性質(zhì)和特征相符合。由此得出結(jié)論：當(dāng)只測(cè)得系統(tǒng)中某時(shí)間序列時(shí)，我們就可根據(jù)它來分析判斷出原系統(tǒng)的基本特征。這對(duì)于不能直接測(cè)量深層的自變量而僅僅知道一組單變量時(shí)間序列的系統(tǒng)來說，也有了研究系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的可能。

參考文獻(xiàn)：

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[3]J. Q. Liang， J. Burzlaff， H. J. W. Muller Kirsten， Phys. Rev. D. 46 （1992） 4685.

[4]劉秉正.非線性動(dòng)力學(xué)與混沌基礎(chǔ)[M].東北師范大學(xué)出版社，1994.