楊瑩曹懷信

1)(陜西師范大學數(shù)學與信息科學學院,西安 710119)

2)(運城學院數(shù)學與信息技術(shù)學院,運城 044000)

1 引 言

隨著量子理論與信息科學的交叉融合,量子信息理論成為物理學、信息科學及數(shù)學等領(lǐng)域的研究者共同關(guān)注的研究熱點.大部分量子信息處理任務(wù)都需要一個共同的物理資源,即量子糾纏.因此,對量子信息處理任務(wù)的研究在某種程度上可以說是對量子糾纏的研究.量子糾纏作為量子通信和量子計算的載體,已被廣泛用于量子計算、量子隱形傳態(tài)[1]、量子密碼術(shù)[2]、量子容錯計算[3]、量子超密編碼[4]、量子秘密共享[5]、量子安全直接通信[6]和分布式量子機器學習[7]等領(lǐng)域.這顯示了量子糾纏的強大功能和作用.例如:Deng等[8]提出了量子超糾纏并研究了它在量子信息處理中的應(yīng)用;叢美艷等[9]研究了在不同初態(tài)下Dzyaloshinskii-Moriya相互作用及內(nèi)稟退相干對海森伯系統(tǒng)的量子糾纏的影響;任寶藏和鄧富國[10]介紹了光子系統(tǒng)兩自由度量子態(tài)在量子信息中的一些新應(yīng)用,包括超并行量子計算、超糾纏態(tài)分析、超糾纏濃縮和純化三個部分;宗曉嵐和楊名[11]提出了一種可以保護多粒子糾纏不受振幅衰減影響的有效物理方案.盡管量子糾纏有如此廣泛的應(yīng)用,但是如何來判斷給定量子糾纏性問題仍是一項相當有難度的任務(wù)[12].有一種類型的糾纏判據(jù)——糾纏目擊,是探測糾纏的有效的工具,并且也是迄今為止在實驗中探測糾纏最有效的工具.因此,人們對糾纏目擊進行了大量的研究.例如,考慮它們的可分解性與優(yōu)化問題[13,14];對局域測量糾纏目擊的優(yōu)化設(shè)置[15,16]以及在刻畫糾纏中的應(yīng)用[17?19].特別是文獻[20]研究了如何使用穩(wěn)定子理論構(gòu)造糾纏的充分條件,提出了針對圖態(tài)的糾纏目擊的構(gòu)造方法.文獻[21—26]從另一個不同的觀點說明線性規(guī)劃是構(gòu)造糾纏目擊的一個非常有用的方法.從理論上而言,對于每一個糾纏態(tài),至少存在一個糾纏目擊來探測它.然而,如何具體構(gòu)造糾纏目擊仍是一個非常重要的問題.

近年來,人們試圖通過機器學習理論與技術(shù)研究量子糾纏問題.隨著深度學習技術(shù)在量子多體系統(tǒng)中的應(yīng)用,通過量子糾纏透鏡出現(xiàn)了一種新的深度學習方式,糾纏量化了機器學習中真實數(shù)據(jù)集的復雜性,可以指導人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)體系的結(jié)構(gòu)設(shè)計[27].Deng等[28]通過隨機采樣RBM的權(quán)重參數(shù),進一步考察了一般RBM態(tài)的糾纏特性,證明了RBM能夠找到具有遠距離相互作用的模型哈密頓量的基態(tài)(帶冪律糾纏).Levine等[29]在題為《深度學習與量子糾纏》的研究中提出了由深度卷積算法電路實現(xiàn)的函數(shù)和量子多體波函數(shù)之間的等價性,以期通過量子糾纏度量來量化深層網(wǎng)絡(luò)模擬輸入的復雜關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的能力.Carleo等[30]提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的量子態(tài)表示方案,并展示了它在多個經(jīng)典量子多體問題上的高精度和表達能力.Gao和Duan[31]發(fā)現(xiàn)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和量子多體問題存在緊密關(guān)聯(lián),證明了利用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型可以有效表示幾乎所有多體量子系統(tǒng)的波函數(shù),展示了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和深度學習算法在量子多體問題研究中的巨大潛力.

受文獻[20]的啟發(fā),本文首先提出構(gòu)造糾纏目擊的一般方法,然后將這種構(gòu)造方法應(yīng)用于圖態(tài),得到相應(yīng)的結(jié)論,并將這些結(jié)論與文獻[20]中給出的糾纏目擊進行比較,發(fā)現(xiàn)文獻[20]中已給出的糾纏目擊是本文給出的一般糾纏目擊的特例,這說明本文構(gòu)造的糾纏目擊更具一般性.

2 糾纏目擊的構(gòu)造

考慮復合系統(tǒng)H(n):=H1?H2?………?Hn,用L(H(n))表示H(n)上線性算子之集;B(H(n))表示H(n)上有界線性算子之集;Bher(H(n))表示H(n)上自伴算子之集;S(H(n))表示H(n)上純態(tài)之集;D(H(n))表示H(n)上混合態(tài)之集.

下面給出完全可分態(tài)和糾纏態(tài)的定義.

定義1[20]1)若復合量子系統(tǒng)H(n)上的n體純態(tài)可以表示為分量子系統(tǒng)Hi上的態(tài)的張量積,即

2)復合量子系統(tǒng)H(n)上的n體混合態(tài)ρ可以表示為分量子系統(tǒng)Hk上的態(tài)的張量積的凸組合,即則稱ρ是完全可分態(tài),否則為糾纏態(tài).

P表示H(n)上全體完全可分純態(tài)之集;Dsep(H(n))表示H(n)上完全可分混合態(tài)之集.容易證明：Dsep(H(n))是P的閉凸包.

定義2[20]設(shè)W ∈Bher(H(n)),若

1)對任意的ρ∈Dsep(H(n)),有tr(Wρ)>0;2)存在ρ0∈D(H(n)),使得tr(Wρ0)<0,則稱W為糾纏目擊.

設(shè)W是一個糾纏目擊,則當tr(Wρ)<0時,ρ一定是糾纏態(tài).這時,稱態(tài)ρ可被W探測.

理論上每一個糾纏態(tài)都至少存在一個糾纏目擊來探測它.事實上,糾纏目擊的構(gòu)造并不是一件容易的事情.因此,糾纏目擊的構(gòu)造成為大家關(guān)注的熱點問題.下面我們給出構(gòu)造糾纏目擊的一般方法.

一般來說,若A∈Bher(H(n)),ρ∈D(H(n)),則

其中λmin(A),λmax(A)分別為A的最小特征值與最大特征值.事實上,由于A=A ?,則A有譜分解從而于是,對任量子態(tài)有所以

另外,對于給定的A∈Bher(H(n)),令

于是,有CA6λmax(A).

當CA <λmax(A)時,我們給出構(gòu)造糾纏目擊的一般方法.

定理1設(shè)A∈Bher(H(n)),λmax(A)為A的最大特征值,且CA6C<λmax(A),則

1)WC=CI?A是糾纏目擊;

3)當ρ ∈D(H(n))滿足條件Aρ=λρ(C< λ)時,WC可以探測ρ.

證明1)當ρ∈P時,由CA的定義知

從而,當ρ完全可分時,tr(WC ρ)>0.設(shè)A的最大特征值λmax(A)所對應(yīng)的特征態(tài)為則

可見,WC是糾纏目擊且可以探測

2) 當存在|ψ〉∈ S(H(n))使得(C< λ)時,有

3)當ρ ∈ D(H(n))滿足Aρ=λρ(C< λ)時,有

可見,ρ是糾纏態(tài)且可以被WC探測.

注1由定理1知:

1)介于C與λmax(A)之間的所有特征值λ(C< λ6λmax(A)) 所對應(yīng)的特征態(tài)都是糾纏的,并且這些糾纏態(tài)都可以被WC=CI?A(CA6C<λmax(A))探測到.

2)由WC探測到的那些糾纏態(tài)進行凸組合后得到的混合態(tài)也是糾纏的,并且仍然可以由WC探測到.

3)對于某些自伴算子A,確實存在ρ∈D(H(n))滿足Aρ=λρ(C< λ). 例如,當A有兩個特征態(tài)滿足條件

時,令

則Aρ=λρ.

4)若自伴算子A的特征值λ所對應(yīng)的特征態(tài)都是可分態(tài),則稱此λ為可分特征值,否則稱為糾纏特征值.如圖1,在數(shù)軸上,可分特征值λs都分布在CA的左側(cè),即λs6CA.若存在一個糾纏特征值λe滿足CA < λe6λmax(A),則λe右邊的所有特征值都是糾纏特征值.但是CA的左側(cè)有可能存在糾纏特征值.例如,若A=X?X(X為Pauli陣),則λmin(A)=?1,λmax(A)=1,于是?1 6CA6 1.因為

其中所以特征值λmin(A)=?1位于CA的左側(cè),但是它所對應(yīng)的特征態(tài)與都是糾纏的.這說明CA的左側(cè)有可能存在糾纏特征值.

圖1 可分特征值與部分糾纏特征值的分布示意圖Fig.1.Distribution schematic of separable eigenvalues and entangled eigenvalues.

注2設(shè)W是糾纏目擊,且f(ρ)<0,其中f(ρ):=tr(Wρ)(ρ∈D(H(n)))是連續(xù)函數(shù),從而存在δ>0,使得?σ∈D(H(n)),當時,有f(σ)<0,從而σ是糾纏態(tài).因此如果W可以探測ρ,那么W也可以探測到ρ周圍的糾纏態(tài)σ.

容易看出:對于給定的糾纏目擊W和它能探測的糾纏態(tài)ρ,δ的取法并不唯一.特別地,我們可以給出δ的一個取法,取當時,有f(σ)<0,從而σ是糾纏態(tài).事實上,可由

對于不同的糾纏目擊,它們探測到的量子態(tài)會有所不同.下面我們由糾纏目擊探測到的量子態(tài)之集給出較優(yōu)糾纏目擊的定義.

給定糾纏目擊W.令即糾纏目擊W所能探測到的所有量子態(tài).

定義3[13]設(shè)W1,W2是糾纏目擊,若DW2?DW1,則稱W1比W2優(yōu).

定義4[13]設(shè)W是糾纏目擊,若沒有其他糾纏目擊比W優(yōu),則稱W是最優(yōu)糾纏目擊.

引理1[13]設(shè)W1,W2是糾纏目擊,W1比W2優(yōu)當且僅當存在正數(shù)ε和不為0的正算子P使得W2=(1? ε)W1+εP.

在定理1中,當CA6C<λmax(A)時,WC=CI?A(C是參數(shù))是一類糾纏目擊,對于這類糾纏目擊,很容易得到較優(yōu)的糾纏目擊.

定理2設(shè)A∈Bher(H(n)),λmax(A)為A的最大特征值,且CA

證明利用引理1,要證WCA優(yōu)于WC,只需要證存在正數(shù)ε和不為0的正算子P使得

因為WC=CI?A,WCA=CA I?A,所以將WC與WCA代入(1)式得

要使P是正算子,只需要因此,取

有WC=(1?ε)WCA+εP.從而,由引理1知,當CA

注3定理2表明:在形如WC=CI?A(CA6C<λmax(A))(C是參數(shù))的糾纏目擊中,WCA是最優(yōu)糾纏目擊,即對于任意的C(CA

注4由定理1知:介于CA與λmax(A)之間的所有特征值λ(CA < λ6λmax(A))所對應(yīng)的特征態(tài)|ψ〉都是糾纏的,并且這些糾纏態(tài)都可以由WCA探測到.但是WC(CA

注5若糾纏目擊WC ,WCA(CA

時,糾纏目擊WC可以探測到滿足此條件的糾纏態(tài)σ,而當

時,糾纏目擊WCA可以探測到滿足此條件的糾纏態(tài)σ.計算可得

因為CA

從而

這說明WCA探測到ρ周圍的態(tài)比WC探測到ρ周圍的態(tài)多.這又從另一方面說明了WCA優(yōu)于WC.

注6雖然WCA探測到的態(tài)比WC多,但是在具體問題中,計算CA的精確值是特別困難的,而估計CA的范圍是比較容易的,那么我們可以退而求其次,構(gòu)造糾纏目擊WC.

3 圖態(tài)的糾纏目擊的構(gòu)造

圖態(tài),顧名思義,是一類可以通過數(shù)學圖形以簡潔直觀并且有效的方式進行刻畫的特殊量子糾纏態(tài).圖態(tài)的描述方式不同,與之相對應(yīng)的定義方式也不盡相同.下面給出圖態(tài)的穩(wěn)定化算子形式的定義.

定義5[32]設(shè)V是一個有限集,E是V的二元素子集,稱G=(V,E)是一個(無向有限)圖.并且V中的元素稱為圖G的頂點,V稱為圖G的頂點集,常用{1,2,………,n}表示.E中的元素可以視為連接相應(yīng)頂點的邊,且E稱為圖G的邊集.對于頂點i∈V,用N(i)表示與頂點i相連的頂點之集,稱為i的鄰域.

若H(n)為Hilbert空間C2的n重張量積,即

對2階矩陣T1,T2,………,Tn(視為Hilbert空間上的線性算子),用表示它們的張量積(H(n)上的算子),即

特別是當Ti=T,Tj=I(j?=i)時,將張量積算子簡記為T(i).例如,當X,Z為Pauli矩陣：

時,有其中I為2階單位陣.顯然,對任意的i,j,Z(i)與Z(j)可交換:Z(i)Z(j)=Z(j)Z(i),且X(i)與X(j)可交換:X(i)X(j)=X(j)X(i). 當i?=j時,X(i)與Z(j)可交換:X(i)Z(j)=Z(j)X(i).這就保證了下面的算子Si定義合理.

定義6[32]給定一個圖G=(V,E),頂點個數(shù)即V的元素個數(shù)為n,對該圖的任意一個頂點i,定義算子

其中,當N(i)=?時,規(guī)定Si=X(i);并稱S1,S2,………,Sn為圖G=(V,E)的穩(wěn)定化算子.

注7由定義6可知:?i,j∈V,有[Si ,Sj]=0.

定義7[32]給定一個具有n個頂點的圖G=(V,E),稱滿足條件

的n-體態(tài)為圖G=(V,E)的圖態(tài).

可以證明[33]:圖態(tài)存在且唯一,其解析式為

其中

由此可得:如圖2,具有n個頂點的空圖(任意兩點都不相連)所對應(yīng)的圖態(tài)為如圖3,具有n個頂點的圖中只有1,2頂點相連,此圖所對應(yīng)的圖態(tài)為

其中

定義8[32]給定一個具有n個頂點的圖G=(V,E),由穩(wěn)定化算子S1,S2,………,Sn生成的交換群

稱為圖G=(V,E)的穩(wěn)定子.

圖2 空圖Fig.2.Empty graph.

圖3 只有1,2頂點相連的圖Fig.3.A graph connected by a 1,2 vertex.

注8有2n個元素,可以表示為

其中

其中Ij是V的子集,

注9[32]可以證明

給定一個具有n個頂點的圖G=(V,E),Si(i=1,2,………,n)為圖G的穩(wěn)定化算子,為圖G的穩(wěn)定子,為圖G的圖態(tài).下面探討圖態(tài)的糾纏目擊的構(gòu)造.著重討論使用穩(wěn)定子的元素構(gòu)造一類糾纏目擊來探測圖態(tài)周圍的糾纏態(tài).這類糾纏目擊我們稱為穩(wěn)定子目擊.

若在定理1中取A為中的某一個元素圖態(tài)能被形如的糾纏目擊探測嗎?

我們構(gòu)造的糾纏目擊是基于滿足條件CA6C< λmax(A)的C的存在性.若CA=λmax(A),則不存在滿足條件的C,也就構(gòu)造不了WC.例如:當時,由于A是自伴算子,且它的最大特征值λmax(A)=1,相應(yīng)的特征態(tài)為所以CA6 1.由注8知,可設(shè)其中取的特征值為1的特征態(tài)為容易計算

因此CA=λmax(A). 于是,滿足CA6C< λmax(A)的C不存在,可知圖態(tài)不能被形如的糾纏目擊探測.

若在定理1中取A為中任意兩個元素做線性組合以后得到的算子,情況會如何呢?也就是圖態(tài)能被形如WC的糾纏目擊探測嗎?為了簡單起見,不妨取由于討論的需要,給出下面的定義與結(jié)論.

定義9[20]設(shè)自伴算子

若K(i)L(i)=L(i)K(i)(?i=1,2,………,n),則稱K與L是局域交換的.

在一般的圖G=(V,E)中,相連的兩個頂點所對應(yīng)的穩(wěn)定化算子不是局域交換的,不相連的兩個頂點所對應(yīng)的穩(wěn)定化算子是局域交換的.因此,對于一般的圖G=(V,E)來說,可能是局域交換的,也可能不是局域交換的.例如,在圖4中,S1與S2是局域交換的,S1與S3不是局域交換的.

圖4 圖GFig.4.GraphG.

注10由定義可知：與是局域交換的,當且僅當對任一k=1,2,………,n,要么要么中至少有一個為I.

引理2[20]兩個自伴算子

是局域交換的,當且僅當K和L有一組共同的純的乘積特征態(tài)構(gòu)成空間H(n)的基.

因此CA=λmax(A)=2.但是當不是局域交換時,結(jié)果有所不同.可得如下結(jié)論.

推論1設(shè)

是一個糾纏目擊,能探測圖態(tài)|G〉〈G|.

證明由注8知,可設(shè)

由于

因此,?k=1,2,………,我們有

特別地,

注11由推論1知,若不是局域交換的,則圖態(tài)及其周圍態(tài)能被形如的糾纏目擊探測.例如,令

容易計算tr(WC ρ)=C?2<0.因此,糾纏目擊能探測量子態(tài)

進一步,可以構(gòu)造更一般的態(tài)

其中?1 6ai6 1(i=1,2),a1+a2>C.類似可證:糾纏目擊能探測量子態(tài)ρ′.

推論2設(shè)A=Si+Sj,且Si與Sj不是局域交換的,則CA6 1且是一個糾纏目擊,且能探測圖態(tài)

證明在推論1中,令若Si與Sj不是局域交換的,則圖態(tài)能被形如的糾纏目擊探測,其中由于Si ,Sj為圖G=(V,E)的穩(wěn)定化算子,所以有

若Si與Sj不是局域交換的,則頂點i與j相連,即因此當時,計算可得

從而

因此,當1 6C<2時,糾纏目擊WC=CI?Si ?Sj是一個糾纏目擊,且能探測圖態(tài)

注12在推論2中令C=1,Si=S1,則W1=I?S1?Sj為文獻[20]中提到的可以探測圖態(tài)的糾纏目擊.而我們構(gòu)造的糾纏目擊WC是一類探測圖態(tài)的糾纏目擊,包含W1.

在定理1中取A為中任意三個元素做線性組合以后得到的算子,情況會如何呢?也就是圖態(tài)能被形如WC的糾纏目擊探測嗎?為了簡單起見,不妨取

因此CA=λmax(A)=3.于是,滿足CA6C< λmax(A)的C不存在,可知圖態(tài)不能被形如的糾纏目擊探測.但是當不是兩兩局域交換時,結(jié)果有所不同,可得如下結(jié)論.

推論3設(shè)

證明由注8知,可設(shè)

推論4設(shè)且Si與Sj不是局域交換的,則CA6 1且是一個糾纏目擊,且能探測圖態(tài)

證明在推論3中,令Si Sj.由于Si ,Sj為圖G的穩(wěn)定化算子,有

若Si與Sj不是局域交換的,則頂點i與j相連,即{i,j}∈E,因此j∈N(i),i∈N(j).從而

其中N(i)?N(j)=N(i)∪N(j)? N(i)∩N(j).于是,容易得出Si ,Sj ,Si Sj不是兩兩局域交換的.由推論3得,CA <3且WC=CI?Si ?Sj ?Si Sj(CA6C<3)是一個糾纏目擊,且能探測圖態(tài)另外,當時,計算可得

注13在推論4中令C=1,Si=S1,則W1=I?S1?Sj ?S1Sj為文獻[20]中提到的可以探測圖態(tài)的糾纏目擊.而我們構(gòu)造的糾纏目擊WC是一類探測圖態(tài)的糾纏目擊,包含W1.

類似地,在定理1中取A為中任意k個元素作線性組合以后得到的算子,情況會如何呢?為了簡單起見,不妨取可得如下結(jié)論.

推論5設(shè)不是兩兩局域交換的,則CA

證明由注8知,可設(shè)

其中

由于

所以

注14由推論5知,若不是兩兩局域交換的,則圖態(tài)及其周圍態(tài)能被形如的糾纏目擊探測.例如,令

容易計算

其中

注15在注14中令

推論6設(shè)且S1,S2,………,Sn不是兩兩局域交換的,則且當時,是一個糾纏目擊,且能探測圖態(tài)

證明在推論5中,令

由推論5知:CA

因此,當n?1 6C

注16由推論6可知,若圖G中至少有兩個頂點相連,則它所對應(yīng)的圖態(tài)是糾纏的,即非平凡的圖對應(yīng)的圖態(tài)都是糾纏的.

另外,在定理1中,當A取為圖G的穩(wěn)定子的全部元素之和時,可得下列結(jié)論.

推論7設(shè)不是兩兩局域交換的,則且當2n時,是一個糾纏目擊,且能探測圖態(tài)

證明在推論5中,令k=2n.由推論5可知:若不是兩兩局域交換的,則且當時,是一個糾纏目擊,且能探測圖態(tài)另外,由注9可得

注17由推論7可知,當時,是一個糾纏目擊,且能探測圖態(tài)另外,由定理2知,在這類糾纏目擊是最優(yōu)糾纏目擊.

4 結(jié) 論

本文發(fā)現(xiàn)：當一個可觀測量A在可分純態(tài)上的最大期望CA嚴格小于其最大特征值λmax(A)時,算子WC=CI?A都是一個糾纏目擊,只要參數(shù)C滿足條件特別地,當A由圖態(tài)的一些穩(wěn)定子構(gòu)成時,糾纏目擊WCA就是文獻[20]中得到的糾纏目擊.雖然WCA探測到的糾纏態(tài)比WC能探測的更多,但在具體問題中,計算CA的精確值是特別困難的,而估計CA的上界是比較容易的.因此,構(gòu)造糾纏目擊WC比構(gòu)造WCA更加方便一些.作為應(yīng)用,得到了利用穩(wěn)定子構(gòu)造圖態(tài)的糾纏目擊的一系列方法.由于我們構(gòu)造的糾纏目擊包含了文獻[20]中給出的糾纏目擊,所以具有更廣泛的應(yīng)用價值.

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