■陜西漢中市漢中中學(xué) 左曉麗

■陜西洋縣中學(xué) 劉大鳴 (特級教師)

高考數(shù)學(xué)常見的填空題主要涉及簡易邏輯、直線與圓錐曲線的幾何性質(zhì)、概率統(tǒng)計、排列組合及二項(xiàng)式定理、空間位置關(guān)系及體積面積的計算、導(dǎo)數(shù)、三角、向量、數(shù)列、不等式、函數(shù)等考點(diǎn)。

1.(2017屆湖南郴州市高三理第二次質(zhì)檢)若命題p:“?x0∈R,2x0-2≤a2-3a”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____。

3.(2017屆安徽六安一中高三一模)某公司為激勵創(chuàng)新,計劃逐年加大研發(fā)獎金投入。若該公司2016年全年投入研發(fā)資金130萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是____年。(參考數(shù)據(jù):l g1.12=0.05,l g1.3=0.11,l g2=0.30)

4.(2017年江西五調(diào))已知函數(shù)f(x)=e|x|,將函數(shù)f(x)=e|x|的圖像向右平移3個單位后,再向上平移2個單位,得到函數(shù)g(x)的圖像,函數(shù)h(x)=若對于任意x∈[3,λ](λ＞3),都有h(x)≥g(x),則實(shí)數(shù)λ的最大值為____。

5.(2017屆四川遂寧等四市高三一診聯(lián)考)已知函數(shù)y=f(x)與y=F(x)的圖像關(guān)于y軸對稱,當(dāng)函數(shù)y=f(x)和y=F(x)在區(qū)間[a,b]同時遞增或同時遞減時,把區(qū)間[a,b]叫作函數(shù)y=f(x)的“不動區(qū)間”,若區(qū)間[1,2]為函數(shù)y=|2x-t|的“不動區(qū)間”,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是____。

6.(2018屆廣西賀州市高三第四次聯(lián)考)已知[x]表示不大于x的最大整數(shù),若函數(shù)f(x)=ax2+[x]x-1(a≠0)在(0,2)上僅有一個零點(diǎn),則a的取值范圍為____。

7.(2018屆齊魯名校教科研協(xié)作高三第一次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=關(guān)于x的方程f(x)=m(m∈R)有四個不同的實(shí)數(shù)解x1,x2,x3,x4,則x1x2x3x4的取值范圍為____。

則[f(a1009)]2-a1008a1010=____。

9.(2017屆廣東深圳市高三第二次調(diào)研)若數(shù)列{an},{bn}滿足a1=b1=1,bn+1=-an,an+1=3an+2bn,n∈N*,則a2017-a2016=____。

10.(2017屆云南曲靖一中高三月考四)已知點(diǎn)P(an,an+1)在曲線x-y+d2=0上,且a1＞0,a1+a2+…+a10=30,則a5·a6的最大值為____。

11.(2017年廣東佛山檢測)所有真約數(shù)(除本身之外的正約數(shù))的和等于它本身的正整數(shù)叫作完全數(shù)(也稱為完備數(shù)、完美數(shù))。如:6=1+2+3;28=1+2+4+7+14;496=1+2+4+8+16+31+62+124+248。此外,它們都可以表示為2的一些連續(xù)正整數(shù)次冪之和。如6=21+22,28=22+23+24,…,按此規(guī)律,8128可表示為____。

12.(2017屆廣東湛江市高三下學(xué)期第二次模擬)一名法官在審理一起珍寶盜竊案時,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下:甲說:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙說:“我沒有作案,是丙偷的”;丙說:“甲、乙兩人中有一人是小偷”;丁說:“乙說的是事實(shí)”。經(jīng)過調(diào)查核實(shí),四人中有兩人說的是真話,另外兩人說的是假話,且這四人中只有一人是罪犯,由此可判斷罪犯是____。

13.(2017年原創(chuàng)押題新課標(biāo)卷Ⅰ預(yù)測卷2)分別計算31+51,32+52,33+53,34+54,35+55,…,并根據(jù)計算的結(jié)果,猜想32017+52017的末位數(shù)字為____。

15.(2017屆山西大同市第三次模擬)已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),滿足f′(x)＜f(x),且f(x+3)為偶函數(shù),f(6)=1,則不等式f(x)＞ex的解集為____。

17.(2017年第一次全國大聯(lián)考)設(shè)s,t是兩個不相等的正數(shù),且有as+sl nt=at+tl ns,則s+t-s t的取值范圍為____。

20.(2017屆安徽合肥市高三第二次質(zhì)檢)已知關(guān)于x的方程t( +1)cosxtsinx=t+2在(0 ,π)上有實(shí)根,則實(shí)數(shù)t的最大值是____。

圖1

21.(2018年遼寧遼南協(xié)作校一模)為了豎一塊廣告牌,要制造三角形支架,如圖2,要求∠ACB=60°,BC的長度大于1m,且AC比AB長0.5m,為了穩(wěn)固廣告牌,要求AC越短越好,則AC最短為____。

圖2

22.(原創(chuàng))設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊長為a,b,c,且的最大值為____。

23.(2017屆廣東深圳市高三第二次調(diào)研)我國南宋時期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中獨(dú)立提出了一種求三角形面積的方法——“三斜求積術(shù)”,即△ABC的a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊。,則△ABC的面積S的最大值為____。

24.(2017屆百校聯(lián)盟高三4月質(zhì)檢)已知△ABC的外接圓半徑為R,角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,若asinBcosC+,則△ABC面積的最大值為____。

25.(2017屆陜西渭南市高三第二次質(zhì)檢)已知向量a=(2 ,m),b=(- 1,2),若a⊥b,則a在向量c=a+b上的投影為____。

26.(2017屆河南普通高中高三4月質(zhì)檢)已知邊長為2的菱形ABCD中,∠BAD=120°,若的取值范圍是____。

27.(2018年四川德陽市高三年級聯(lián)合測試)已知點(diǎn)A在線段BC上(不含端點(diǎn)),O是直線BC外一點(diǎn),且的最小值是____。

28.(2017屆四川宜賓市高三第二次診斷檢測)在△ABC中,其面積為2,則t an2A·sin2B的最大值是 。

29.(2017屆安徽蕪湖市、馬鞍山市高三5月聯(lián)考模擬 )如圖3,莖葉圖表示的是甲,乙兩人在5次綜合測評中的成績,其中一個數(shù)字被污染,則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為____。

圖3

30.(2017年原創(chuàng)押題預(yù)測卷2新課標(biāo)卷Ⅱ)已知圓C:x2+y2-2x-2y-10=0,在圓C內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)到直線l:x+y-52-2=0的距離不大于2的概率為____。

32.(2017屆北京市西城區(qū)高三二模)大廈一層有A,B,C,D四部電梯,3人在一層乘坐電梯上樓,其中2人恰好乘坐同一部電梯,則不同的乘坐方式有____種。(用數(shù)字作答)

33.(2017年安徽合肥二模)已知5件產(chǎn)品中有2件次品,現(xiàn)逐一檢測,直至能確定所有次品為止,記檢測的次數(shù)為ξ,則E(ξ)=____。

34.(2016～2017學(xué)年中原名校高三下學(xué)期第一次聯(lián)考)如圖4(1),五邊形PABCD是由一個正方形與一個等腰三角形拼接而成的,其 中 ∠APD=120°,AB=2。 現(xiàn) 將△PAD沿AD進(jìn)行翻折,使得平面PAD⊥平面ABCD,連接PB,PC,所得四棱錐PABCD如圖4(2)所示,則四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為____。

圖4

35.(2017年云南部分名校高三1月)表面積為60π的球面上有四點(diǎn)S,A,B,C,且△ABC是等邊三角形,球心O到平面ABC的距離為3,若平面S AB⊥平面ABC,則棱錐S-ABC體積的最大值為 。

36.(2017屆陜西漢中市4月模擬)如圖5中的三個直角三角形是一個體積為20cm3的幾何體的三視圖,則該幾何體外接球的面積(單位:cm2)等于____。

圖5

37.(2017屆江西南昌市高三第二次模擬)《九章算術(shù)》卷第五《商功》中有問題:“今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無廣,高一丈。問積幾何?！币馑际?“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w,下底面寬3丈,長4丈;上棱長2丈,無寬,高1丈(如圖6)。問:它的體積是多少?”這個問題的答案是____。

圖6

39.(原創(chuàng))已知點(diǎn)A(1-m,0),B(1+m,0),若圓C:(x-4)2+(y-4)2=1上存在一點(diǎn)P使得=0,則m的最大值為____。

42.(原創(chuàng))已知拋物線的一條過焦_點(diǎn)F的弦PQ,點(diǎn)R在直線PQ上,且滿足,R在拋物線準(zhǔn)線上的射影為S,設(shè)α,β是△PQ S中的兩個銳角,那么t anαt anβ=____。

43.(2017屆福建泉州市高三高考考前適應(yīng)性模擬)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線C上一點(diǎn),PQ垂直l于點(diǎn)Q,M,N分別為PQ,PF的中點(diǎn),MN與x軸相交于點(diǎn)R,若∠NR F=60°,則FR 等于____。

44.(原創(chuàng))設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F作斜率為k(k＞0)的直線l與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)(A在x軸上方),且P恰為AB的中點(diǎn),過點(diǎn)P作y軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)M,若|MF|=3,則直線l的方程為____。

45.(2017年第二次新課標(biāo)卷Ⅱ全國大聯(lián)考)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M,垂足為E,若|AB|=6,則|EM|的長為____。

46.(2017年遼寧沈陽市高三質(zhì)量監(jiān)測1)已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,A,B為拋物線上兩點(diǎn),若,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△AOB的面積為____。

47.(2017年第三次全國大聯(lián)考新課標(biāo)卷Ⅰ)過點(diǎn)P(2,0)的直線交拋物線y2=4x于A,B兩點(diǎn),若拋物線的焦點(diǎn)為F,則△ABF面積的最小值為____。

50.(原創(chuàng))雙曲線與橢圓有公共的左、右焦點(diǎn)F1,F2,雙曲線的右支與橢圓有公共點(diǎn),則橢圓與雙曲線離心率之積的最小值為____。

參考答案與解析：

1.[1,2] 【解析】“?x0∈R,2x0-2≤a2-3a”是假命題等價于?x∈R,2x-2＞a2-3a恒成立,即-2≥a2-3a,解得1≤a≤2。

2.-1【解析】由ex-1≠0,知定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞)。因?yàn)間(x)=x3是奇

3.2020【解析】設(shè)第n年開始超過200萬元,則130×(1+12%)n-2016＞200。

取n=2020,即開始超過200萬元的年份為2020年。

圖7

要使h(x)≥g(x)恒成立,只需4e6-x+2≥ex-3+2,所以4≥e2x-9,2x-9≤l n4,x≤l n2+。

圖8

當(dāng)兩個函數(shù)單調(diào)遞增時,y=|2x-t|與的圖像如圖8(1)所示,易知≤t≤2;當(dāng)兩個函數(shù)單調(diào)遞減時,y=|2x-t|的圖像如圖8(2)所示,此時y=|2x-t|關(guān)于y軸對稱的函數(shù)不可能在[1,2]上為減函數(shù)。

7.(0,1) 【解析】如圖9所示,即函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=m有四個不同的交點(diǎn),則0＜m＜1,不妨設(shè)從左向右的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1＜x2＜x3＜x4。當(dāng)x＞0時,由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知log2x3=-log2x4,x3x4=1,當(dāng)x＜0時,由y=-x2-2x的對稱性知x1+x2=-2。又x1＜x2＜0,則-x1＞-x2＞0,(-x1)+(-x2)=2,所以0＜x1x2=(-x1)(-x2)＜

圖9

9.22017【解析】由題意得an+2=3an+1+2bn+1=3an+1-2an,所以an+2-an+1=2(an+1-an),則數(shù)列{an+1-an}是等比數(shù)列,公比為2。由已知得a2=3a1+2b1=5,則a2-a1=4,因此a2017-a2016=4×22016-1=22017。

10.9【解析】由點(diǎn)P(an,an+1)在曲線x-y+d2=0上,得an+1-an=d2,則{an}是等差數(shù)列,從而a1+a2+…+a10=5(a5+=9,當(dāng)且僅當(dāng)a5=a6=3時,等號成立,所以a5·a6的最大值為9。

11.26+27+…+212【解析】因?yàn)?1288128=26×(1+2+…+26)=26+27+…+

12.乙 【解析】四人供詞中,乙、丁意見一致,或同真或同假。若同真,即丙偷的,而四人有兩人說的是真話,甲、丙說的是假話,甲說“乙、丙、丁偷的”是假話,即乙、丙、丁沒偷,相互矛盾;若同假,即不是丙偷的,則甲、丙說的是真話,甲說“乙、丙、丁三人之中”,丙說“甲、乙兩人中有一人是小偷”是真話,可知犯罪的是乙。

13.8【解析】由31+51=8,32+52=34,33+53=152,34+54=706,35+55=3368,36+56=16354,…,可猜想,3n+5n(n∈N*)的結(jié)果末位數(shù)字呈8,4,2,6循環(huán),因?yàn)?017=504×4+1,所以32017+52017的末位數(shù)字為8。

15.(-∞,0) 【解析】因?yàn)閥=f(x+3)為偶函數(shù),所以f(x+3)=f(-x+3),所以圖像關(guān)于x=3對稱,所以f(6)=f(0)=1。設(shè)又因?yàn)閒′(x)＜f(x),所以g′(x)＜0,所以g(x)在定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)。因?yàn)閒 x()＞ex,所以g(x)＞1。又g(0)=1,所以g(x)＞g(0),所以x＜0。

圖10

圖11

20.-1【解析】由t( +1)cosx-tsinx=t+2得(t+1)2+t2sin(x+φ)=t+2有解的條件為t( +1)2+t2≥t( +2)2,解得t≥3,t≤-1。因?yàn)閤∈(0,π),當(dāng)t≥3時顯然不成立,故t≤-1,所以實(shí)數(shù)t的最大值-1。

21.(2+3)m 【解析】設(shè)BC的長度為xm,AC的長度為ym,則AB的長度為(y -0.5)m。在△ABC中,依余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,即,y有最小值2+3。

23.3【解析】由題設(shè)可知:

當(dāng)a2=4?a=2時,

26.2,3( ] 【解析】如圖12所示,建立平面直角坐標(biāo)系,故P0,m( )(-1＜m＜1),

圖12

28.3-22【解析】由已知條件可得,abcosπ-C( )=-abcosC=22?abcosC22,所以t anC=-1。又因?yàn)镃∈0,π(),

圖13

圖14

35.27【解析】幾何體的圖形如圖14。因球的表面積為60π,所以球半徑為 15,由于面S AB⊥面ABC,所以點(diǎn)S在平面ABC上的射影D落在AB上。由于OO′⊥平面ABC,S D⊥平面ABC,即有OO′∥S D。當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時,S D最大,棱錐S-ABC的體積最大。由于OC=15,OO′=3,則 CO′=23,DO′=3,則△ABC是邊長為6的正三角形,則△ABC的面積為S=×62=93。在直角梯形S DO′O中,作OE⊥S D于點(diǎn)E,OE=DO′=3,DE=OO′=3,S D=DE+S E=3+15-3=33,故三棱錐S-ABC的體積V

36.77π 【解析】從題設(shè)中提供的三視圖中的圖形信息及數(shù)據(jù)信息可知該幾何體是底面邊長分別為5,6的直角三角形的三棱錐,如圖15,設(shè)高為h,由題×6h=5h=20,所以h=4,由題意知該幾何體的外接球的直徑即是長方體的對角線,即2R=42+52+62=77,則其表面積S=4πR2=77π。

圖15

37.5立方丈 【解析】如圖16,過點(diǎn)E,F分別作平面EGJ和平面FHI垂直于底面,所以幾何體的體積分為三部分,中間是直三棱柱,兩邊是兩個一樣的四×1=5(立方丈)。

圖16

39.6【解析】圓心C(4,4),圓C的半徑r=1,設(shè)圓上存在一點(diǎn)P(x0,y0)=(1-m-x0,-y9),=(1+m-x0,-y0),所m2=(x0-1)2+y20,即m為圓上的動點(diǎn)P與定點(diǎn)M(1,0)之間的距離。當(dāng)|PM|最大時,m取得最大值,因?yàn)閨PM|的最大值為|MC|+1=(4-1)2+42+1=6,故m的最大值為6。

40.2x-4y+3=0【解析】由題意得,當(dāng)CM⊥AB時,∠ACB最小,從而直線方程為

圖18

42.1【解析】由拋物線知識可知△PQ S是直角三角形,則

43.2【解析】因?yàn)镸,N分別是PQ,PF的中點(diǎn),所以MN∥FQ,且PQ∥x軸。因?yàn)椤螻R F=60°,所以∠FQ P=60°,由拋物線定義知,PQ =PF,所以△FQ P為正三角形,則FM⊥PQ?QM=p=2,正三角形FQ P的邊長為4,PQ=4,FN=2。又△FRN為正三角形,所以FR=2。

44.x-2y-1=0【解析】設(shè)M(x0,y0),P(xP,yP),由拋物線定義得 MF=x0+1=3,所以x0=2,代入拋物線方程y2=4x中得y0=yP=22。設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),且y21=4x1①,y22=4x2②,y1+y2=42,①②兩式相減整理得k=,所以直線的方程為x-2y-1=0。

45.6【解析】由已知得F(1,0),設(shè)直線l的方程為x=m y+1,并與y2=4x聯(lián)立得y2-4m y-4=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)E(x0,y0),則y1+y2=4m,E(2m2+1,2m)。又因|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m2+4=6,解得線段AB的垂直平分線為y-2m=-m(x-2m2-1),令y=0,得 M(2m2+3,0),從而|ME|=4+4m2=6。

圖19

【解析2】如圖20所示,設(shè)|BF|=m,則|AD|=|AF|=3m,|AG|=2|OF|=2,故

圖20

47.22【解析】設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(y1＞0,y2＜0。①當(dāng)直線AB的斜率不存在時,易知直線AB的方程為x=2,此時將x=2代入拋物線的方程y2=4x中,得y2=8,解得y=±22,所以點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(2,22),(2,-22),所以△ABF的面積為AB的斜率存在時,設(shè)斜率為k,顯然k≠0,故直線AB的方程為y=k(x-2)。聯(lián)立消去y得k2x2-(4k2+4)x+4k2=0,且Δ=32k2+16＞0,由根與系數(shù)的關(guān)系得y1y2=(2x1)(-2x2)=-4x1x2=-8,所以△ABF面積

綜上,△ABF面積的最小值為22。

圖21

49.126【解析】如圖21,設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1,由雙曲線定義知,|PF|=2a+|PF1|,所以△APF的周長為|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+2a+|PF1|+|AF|=|PA|+|PF1|+|AF|+2a,由于2a+|AF|是定值,要使△APF的周長最小,則|PA|+|PF1|最小,即P,A,F1共線,因?yàn)锳0,66( ),F1(-3,0),所整理得y2+66y-96=0,解得y=26或y=-86(舍),所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為26,S△APF=S△AFF1-