■北京市第十二中學(xué)高中部 高慧明

一、選擇題

高考數(shù)學(xué)選擇題注重多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的小型綜合,滲透各種數(shù)學(xué)思想和方法,體現(xiàn)通過(guò)基礎(chǔ)知識(shí)考查能力的導(dǎo)向,使作為中低檔題的選擇題成為具備較佳區(qū)分度的基本題型。同時(shí)完成選擇題所用的時(shí)間和精力對(duì)后面填空題和解答題的解答具有極大的心理影響,因此能否短時(shí)間內(nèi)在選擇題上獲取高分,對(duì)高考數(shù)學(xué)成績(jī)的影響重大,它具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和考查功能。

1.選擇題的基本特點(diǎn)。

(1)概念性強(qiáng),知識(shí)覆蓋面廣,題型靈活多變,經(jīng)常出現(xiàn)一些數(shù)學(xué)背景新穎的創(chuàng)新題,這些創(chuàng)新題目注重基礎(chǔ)性和綜合性,充分體現(xiàn)了時(shí)代氣息。

(2)量化突出,選擇題不要求書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程,不設(shè)中間分,因此一步失誤,就會(huì)導(dǎo)致全題無(wú)分。

(3)充滿思辨性,絕大多數(shù)選擇題屬于低中檔題是因?yàn)橹饕臄?shù)學(xué)思想和方法能通過(guò)它得到充分的體現(xiàn)和應(yīng)用,并且因?yàn)樗€有相對(duì)的難度(如思維層次,解題方法的優(yōu)劣選擇,解題速度的快慢等),所以使之成為具備較佳區(qū)分度的基本題型之一。

(4)形數(shù)兼?zhèn)洹?/p>

(5)解法多樣化。

(6)評(píng)卷公平,在注重考查基礎(chǔ)知識(shí)、技能、方法的同時(shí),加大了對(duì)能力的考查力度,考潛能,考應(yīng)用,體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)命題改革的導(dǎo)向作用。

2.選擇題的考查功能。

(1)能在較大的知識(shí)范圍內(nèi),實(shí)現(xiàn)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法的考查。每道選擇題所考查的知識(shí)點(diǎn)一般為2～5個(gè),以3～4個(gè)居多,故選擇題組共考查可達(dá)到50個(gè)知識(shí)點(diǎn),而考生解答只需35分鐘左右。相當(dāng)于解3個(gè)中等難度的解答題,但3道解答題無(wú)論如何也難以實(shí)現(xiàn)對(duì)這么多個(gè)考點(diǎn)的考查。

(2)能夠比較確切地測(cè)試考生對(duì)概念、原理、性質(zhì)、法則、定理、公式的理解和掌握程度。

(3)在一定程度上,能有效考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力,以及靈活和綜合地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

3.解選擇題的原則。

根據(jù)選擇題的題干和選擇支兩方面提供的信息,作出正確的選擇,一般以迅速和準(zhǔn)確為原則。選擇題得分率的高低及解題速度的快慢直接影響著每位考生的答題情緒和全卷成績(jī),因此,準(zhǔn)確、快速是解選擇題的策略。準(zhǔn)確是解高考選擇題的先決條件,這要求考生需仔細(xì)審題,認(rèn)真分析,合理選擇解題方法,正確推演或判斷,謹(jǐn)防疏漏,確保準(zhǔn)確;快速是結(jié)合高考數(shù)學(xué)單項(xiàng)選擇題的結(jié)構(gòu),題目本身提供的條件、特征或信息,以及不要求書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程的特點(diǎn),靈活選用簡(jiǎn)單、合理的解法或特殊化法,避免煩瑣的運(yùn)算、作圖或推理,避免“小題大做”,確保能給解答題留下充裕的時(shí)間。對(duì)于選擇題的答題時(shí)間,應(yīng)該控制在35分鐘以內(nèi),速度越快越好,高考要求每道選擇題在1～3分鐘內(nèi)解完,要避免“超時(shí)失分”現(xiàn)象的發(fā)生,爭(zhēng)取得高分。具體說(shuō)來(lái),就是要突出解題方向的探索、解題思路的分析、解題方法的選擇,以及解題思維過(guò)程的展示和解題回顧反思等環(huán)節(jié);熟練掌握各種基本題型的一般解法,在此基礎(chǔ)上逐步掌握解選擇題的解題思路、常用方法、規(guī)律及相關(guān)技巧;注重提高口算、心算和筆算的能力,做到“基本概念理解透徹,基本聯(lián)系脈絡(luò)清晰,基本方法熟練掌握,基本技能準(zhǔn)確無(wú)誤”,達(dá)到“既然會(huì)解,就要解對(duì)”的地步,而且需要思維清晰、敏捷、通暢,解法合理、簡(jiǎn)捷。為此,研究和探索選擇題的解題思路、常用方法與技巧就顯得非常必要和重要。

一般地,解答選擇題的策略是以直接思路肯定為主,間接思路否定為輔,準(zhǔn)確、快捷、精巧是解選擇題的基本要求;要在“巧”字上做文章,配合使用多種解題方法,盡量避免“小題大做”。

第一,熟練掌握各種基本題型的一般解法。

第二,結(jié)合高考單項(xiàng)選擇題的結(jié)構(gòu)(由“四選一”的指令、題干和選擇項(xiàng)所構(gòu)成)和不要求書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程的特點(diǎn),突出一個(gè)“選”字,要充分利用題干和選擇支兩方面提供的信息,靈活運(yùn)用特例法、篩選法、圖解法等選擇題的常用解法與技巧。盡量減少書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程,以便快速智取,這是解選擇題的基本策略。

第三,挖掘題目“個(gè)性”,尋求簡(jiǎn)便解法,充分利用選擇支的暗示作用,迅速地作出正確的選擇。

選擇題的解題方法很多,為了正確、迅速地求得結(jié)果,不能拘泥于一種方法,應(yīng)“揚(yáng)長(zhǎng)避短,靈活溝通,為我所用”,特別要注意以下幾點(diǎn):

(1)首先考慮間接法,不要一味地采用直接法。

(2)在間接法中,首先應(yīng)考慮排除法,即使不能全部將干擾支除掉,至少可以排除一部分,從而簡(jiǎn)化剩余部分的選擇程序。

(3)若能迅速判斷某個(gè)答案正確,則不可猶豫,應(yīng)當(dāng)機(jī)立斷。

(4)若肯定某個(gè)答案有困難時(shí),可轉(zhuǎn)而去否定其余的答案,只要其余答案被否定了,剩下的一個(gè)答案一定是正確的。在具體操作上,最好能雙管齊下,把正面肯定與反面否定相結(jié)合,就能沿著最佳途徑準(zhǔn)確、迅速地選擇你所需要的正確答案。

今后高考,會(huì)更加注重策略、方法;加重間接法解題的分量;繼續(xù)出現(xiàn)創(chuàng)新題。

二、填空題

1.填空題的基本特點(diǎn)。

填空題是高考題中客觀性題型之一,具有小巧靈活,題型靈活多變,跨度大,覆蓋面廣,概念性強(qiáng),運(yùn)算量不大,不需要寫(xiě)出求解過(guò)程等特點(diǎn)。

可以有目的、和諧地綜合一些問(wèn)題,突出訓(xùn)練準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、全面、靈活運(yùn)用知識(shí)的能力和基本運(yùn)算能力。

填空題有兩類:一類是定量的,一類是定性的。填空題大多是定量的,近幾年才出現(xiàn)定性型的具有多重選擇性的填空題。

2.填空題的考查功能。

填空題雖然量少,但考生的得分率較低,不很理想。究其原因,主要是考生還不能達(dá)到《考試說(shuō)明》中對(duì)解答填空題提出的基本要求——正確、合理、迅速。只有做到“正確、合理、迅速”地解答填空題,才能為解答后面的題贏得寶貴的時(shí)間。

3.解填空題的原則。

快——運(yùn)算要快,避免小題大做;穩(wěn)——變形要穩(wěn),不可操之過(guò)急;全——答案要全,力避殘缺不齊;活——解題要活,不要生搬硬套;細(xì)——審題要細(xì),不能粗心大意。

三、答題建議

要想確保在有限的時(shí)間內(nèi),對(duì)選擇題和填空題作出有效的抉擇,明晰解題思路是十分必要的。

1.仔細(xì)審題,吃透題意。

審題是正確解題的前提條件,通過(guò)審題,可以掌握用于解題的第一手資料——已知條件,弄清題目要求。

審題的第一個(gè)關(guān)鍵是:將有關(guān)概念、公式、定理等基礎(chǔ)知識(shí)加以集中整理。凡在題中出現(xiàn)的概念、公式、性質(zhì)等內(nèi)容都是平時(shí)理解、記憶、運(yùn)用的重點(diǎn),也是我們?cè)诮膺x擇、填空題時(shí)首先需要回憶的對(duì)象。

審題的第二個(gè)關(guān)鍵是:發(fā)現(xiàn)題目中的“機(jī)關(guān)”——題目中的一些隱含條件,往往是該題“價(jià)值”之所在,也是我們失分的“隱患”。

除此之外,審題的過(guò)程還是一個(gè)解題方法的抉擇過(guò)程,開(kāi)拓的解題思路能使我們心涌如潮,適宜的解題方法能幫助我們?nèi)〉檬掳牍Ρ兜男Ч?/p>

2.反復(fù)析題,去偽存真。

析題就是剖析題意。在認(rèn)真審題的基礎(chǔ)上,對(duì)全題進(jìn)行反復(fù)分析和解剖,從而為正確解題尋得路徑。因此,析題的過(guò)程就是根據(jù)題意、聯(lián)系知識(shí)、形成思路的過(guò)程。由于選擇題具有相近、相關(guān)的特點(diǎn),有時(shí)“真作假時(shí)假亦真”,對(duì)于一些似是而非的選項(xiàng),我們可以結(jié)合題目,將選項(xiàng)逐一比較,用一些“虛擬式”的“如果”,加以分析與驗(yàn)證,從而提高解題的正確率。

3.抓住關(guān)鍵,全面分析。

在解題過(guò)程中,通過(guò)審題、析題后找到解決題目的關(guān)鍵所在是十分重要的,從關(guān)鍵處入手,找突破口,聯(lián)系知識(shí)進(jìn)行全面分析,形成正確的解題思路,就可以化難為易,化繁為簡(jiǎn),從而解出正確的答案。

4.反復(fù)檢查,認(rèn)真核對(duì)。

在審題、析題的過(guò)程中,由于思考問(wèn)題不全面,往往會(huì)出現(xiàn)“失根”、“增根”等錯(cuò)誤,因而,反復(fù)地檢查,認(rèn)真地進(jìn)行核對(duì),也是解選擇、填空題必不可少的步驟之一。

四、應(yīng)用舉例

(一)高考選擇題

解答選擇題的基本策略:充分利用題設(shè)和選擇支兩方面所提供的信息作出判斷,一般有兩種思路:一是從題干出發(fā)考慮探求結(jié)果;二是從題干和選擇支聯(lián)合考慮或從選擇支出發(fā)探求是否滿足題干條件;先定性后定量,先特殊后推理,先間接后直接,先排除后求解,一般來(lái)說(shuō)要小題巧解,避免小題大做。解答選擇題的常用方法有:

1.直接法。

直接從題設(shè)條件出發(fā),運(yùn)用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識(shí),通過(guò)嚴(yán)密的推理和準(zhǔn)確的運(yùn)算,從而得出正確的結(jié)論,然后對(duì)照題目所給出的選項(xiàng)“對(duì)號(hào)入座”,作出相應(yīng)的選擇。涉及概念、性質(zhì)的辨析或運(yùn)算較簡(jiǎn)單的題目常用直接法。

例1(1)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=3,b=26,B=2A,則cosA的值為( )。

(2)某班有6位學(xué)生與班主任老師畢業(yè)前夕留影,要求班主任站在正中間,且女生甲、乙不相鄰,則排法的種數(shù)為( )。

A.96 B.432 C.480 D.528

(2)當(dāng)女生甲、乙在班主任兩側(cè)時(shí),有3×3×2×24種排法;當(dāng)女生甲、乙在班主任同側(cè)時(shí),有4×24種排法。因此共有排法3×3×2×24+4×24=528(種)。

答案：(1)A;(2)D。

點(diǎn)評(píng):涉及概念、性質(zhì)的辨析或運(yùn)算較簡(jiǎn)單的題目常用直接法。只要推理嚴(yán)謹(jǐn),運(yùn)算正確,必能得出正確的答案。平時(shí)練習(xí)中應(yīng)不斷提高用直接法解選擇題的能力,不能一味求快,以免快中出錯(cuò)。

相關(guān)鏈接1.(1)數(shù)列{an}滿足a1=2,,其前n項(xiàng)的積為T(mén)n,則T10等于( )。

(2)執(zhí)行如圖1所示的程序框圖,則輸出

S的值為( )。

圖1

(2)每次循環(huán)的結(jié)果依次為k=2,k=3,

答案：(1)D;(2)D。

2.特例法。

從題干(或選項(xiàng))出發(fā),通過(guò)選取特殊情況代入,將問(wèn)題特殊化或構(gòu)造滿足題設(shè)條件的特殊函數(shù)或圖形位置,進(jìn)行判斷。特殊化法是“小題小做”的重要策略,要注意在怎樣的情況下才可使用。特殊情況主要有特殊值、特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊函數(shù)等。

A.[-1,2] B.[-1,0]

C.[1,2] D.[0,2]

(2)已知等比數(shù)列{an}滿足an＞0,n=1,2,3,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),當(dāng)n≥1時(shí),log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于( )。

A.n(2n-1) B.(n+1)2

C.n2D.(n-1)2

(2)因?yàn)閍5·a2n-5=22n(n≥3),所以令n=3,代入得a5·a1=26。

再令數(shù)列為常數(shù)列,得每一項(xiàng)為8,則log2a1+log2a3+log2a5=9=32。

結(jié)合選項(xiàng)可知只有C符合要求。

答案：(1)D;(2)C。

點(diǎn)評(píng):特例法具有簡(jiǎn)化運(yùn)算和推理的功效,比較適用于題目中含有字母或具有一般性結(jié)論的選擇題,但用特例法解選擇題時(shí),要注意以下兩點(diǎn):第一,取特例盡可能簡(jiǎn)單,有利于計(jì)算和推理;第二,若在不同的特殊情況下有兩個(gè)或兩個(gè)以上的結(jié)論相符,則應(yīng)選另一特例情況再檢驗(yàn),或改用其他方法求解。

(2)如圖2,在棱柱的側(cè)棱A1A和B1B上各有一動(dòng)點(diǎn)P,Q,且滿足A1P=BQ,過(guò)P,Q,C三點(diǎn)的截面把棱柱分成兩部分,則其體積之比為( )。

A.3∶1 B.2∶1

C.4∶1 D.3∶1

圖2

解析：(1)如圖 3,當(dāng)△ABC為正三角形時(shí),A=B=C=60°,取D為BC的。故選A。

圖3

(2)將P,Q置于特殊位置:P→A1,Q→B,此時(shí)仍滿足條件A1P=BQ,則有VC-AA1B故選B。

答案：(1)A;(2)B。

3.排除法。

排除法就是充分運(yùn)用選擇題為單選的特征,即有且只有一個(gè)正確選擇項(xiàng)這一信息,從選擇項(xiàng)入手,根據(jù)題設(shè)條件與各選擇支的關(guān)系,通過(guò)分析、推理、計(jì)算、判斷,對(duì)選擇支進(jìn)行排除,將其中與題設(shè)矛盾的干擾項(xiàng)逐一排除,從而獲得正確結(jié)論的方法。一般選擇支與題干或常識(shí)矛盾,選擇支互相矛盾時(shí)用排除法。

例3(1)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫排放量(單位:萬(wàn)噸)的柱形圖,如圖4所示,則以下結(jié)論不正確的是( )。

A.逐年比較,2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B.2007年我國(guó)治理二氧化硫排放初見(jiàn)成效

C.2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)

D.2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)

圖4

(2)已知函數(shù)f(x)=x(1+a|x|)。設(shè)關(guān)于x的不等式f(x+a)＜f(x)的解集為?A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )。

解析：(1)從2006年開(kāi)始,將每年的二氧化硫排放量與前一年作差比較,得到2008年二氧化硫排放量與2007年排放量的差最大,選項(xiàng)A正確;2007年二氧化硫排放量較2006年降低了很多,選項(xiàng)B正確;雖然2011年二氧化硫排放量較2010年多一些,但自2006年以來(lái),整體呈遞減趨勢(shì),即選項(xiàng)C正確;自2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān),選項(xiàng)D錯(cuò)誤。故選D。

答案：(1)D;(2)A。

點(diǎn)評(píng):排除法適應(yīng)于定性型或不易直接求解的選擇題。當(dāng)題目中的條件多于一個(gè)時(shí),先根據(jù)某些條件在選項(xiàng)中找出明顯與之矛盾的予以否定,再根據(jù)另外一些條件在縮小選項(xiàng)的范圍內(nèi)找出矛盾,這樣逐步篩選,直到得出正確的答案。

A.(-1,0)∪(0,1)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(-1,0)∪(1,+∞)

D.(-∞,-1)∪(0,1)

解析：(1)取a=2驗(yàn)證滿足題意,排除選項(xiàng)A,D。取a=-2驗(yàn)證不滿足題意,排除選項(xiàng)B。故選C。

答案：(1)C;(2)B。

4.數(shù)形結(jié)合法。

根據(jù)命題條件中的函數(shù)關(guān)系或幾何意義,作出函數(shù)的圖像或幾何圖形,將數(shù)的問(wèn)題(如解方程、解不等式、判斷單調(diào)性、求取值范圍等)與某些圖形結(jié)合起來(lái),利用圖像的直觀性,化抽象為直觀,化直觀為精確,從而使問(wèn)題得到解決,這種方法稱為數(shù)形結(jié)合法。

例4若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)P,Q滿足條件:①P,Q都在函數(shù)y=f(x)的圖像上;②P,Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則稱點(diǎn)對(duì)[P,Q]是函數(shù)y=f(x)的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”(注:點(diǎn)對(duì)[P,Q]與[Q,P]看作同一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”)。已知函數(shù)數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有( )。

A.0對(duì) B.1對(duì) C.2對(duì) D.3對(duì)

圖5

解析：根據(jù)題意,將函數(shù)f(x)=-x2-4x(x≤0)的圖像繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后,得到的圖像所對(duì)應(yīng)的解析式為y=x2-4x(x≥0),再作出函數(shù)y=log2x(x＞0)的圖像,如圖5所示。由題意知函數(shù)y=x2-4x(x＞0)的圖像與函數(shù)f(x)=log2x(x＞0)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為“友好點(diǎn)對(duì)”的對(duì)數(shù)。由圖可知它們的圖像交點(diǎn)有2個(gè),所以此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有2對(duì)。

答案：C。

點(diǎn)評(píng):數(shù)形結(jié)合法是依靠圖形的直觀性進(jìn)行分析的,用這種方法解題比直接計(jì)算求解更能抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì),并能迅速地得到結(jié)果。使用數(shù)形結(jié)合法解題時(shí)一定要準(zhǔn)確把握?qǐng)D形、圖像的性質(zhì),否則會(huì)因?yàn)殄e(cuò)誤的圖形、圖像而得到錯(cuò)誤的結(jié)論。

相關(guān)鏈接4.(1)已知非零向量a,b,c滿足a+b+c=0,向量a,b的夾角為120°,且|b|=2|a|,則向量a與c的夾角為( )。

A.60° B.90° C.120° D.150°

A.(-∞,0] B.(-∞,1]

C.[-2,1] D.[-2,0]

解析：(1)如圖6,因?yàn)椤碼,b〉=120°,|b|=2|a|,a+b+c=0,所以在△OBC中,BC與CO的夾角為90°,即a與c的夾角為90°。

(2)函數(shù)y=|f(x)|的圖像如圖7所示。

①當(dāng)a=0時(shí),|f(x)|≥ax顯然成立。

②當(dāng)a＞0時(shí),只需在x＞0時(shí),l n(x+1)≥ax成立。比較對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)y=ax的增長(zhǎng)速度,顯然a＞0時(shí)不能使l n(x+1)≥ax在x＞0上恒成立。

圖6

③當(dāng)a＜0時(shí),只需x＜0,x2-2x≥ax成立,即a≥x-2成立,所以a≥-2。

綜上所述:-2≤a≤0。故選D。

答案：(1)B;(2)D。

5.構(gòu)造法。

構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性思維,是綜合運(yùn)用各種知識(shí)和方法,依據(jù)問(wèn)題給出的條件和結(jié)論,將問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)募庸ぬ幚?構(gòu)造與問(wèn)題相關(guān)的數(shù)學(xué)模式,揭示問(wèn)題的本質(zhì),從而溝通解題思路的方法。

例5已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),且對(duì)于x∈R,均有f(x)＞f′(x),則有( )。

A.e2018f(-2018)＜f(0),f(2018)＞e2018f(0)

B.e2018f(-2019)＜f(0),f(2018)＜e2018f(0)

C.e2018f(-2018)＞f(0),f(2018)＞e2018f(0)

D.e2018f(-2018)＞f(0),f(2018)＜e2018f(0)

圖7

答案：D。

點(diǎn)評(píng):構(gòu)造法求解時(shí)需要分析待求問(wèn)題的結(jié)構(gòu)形式,特別地,當(dāng)研究的整個(gè)問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí),單獨(dú)摘出其中的部分進(jìn)行研究或者構(gòu)造新的情景進(jìn)行研究。

相關(guān)鏈接5.(1)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(-1)=0,當(dāng)x＞0時(shí),x f′(x)-f(x)＜0,則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是( )。

A.(-∞,-1)∪(0,1)

B.(-1,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0)

D.(0,1)∪(1,+∞)

(2)若四面體ABCD的三組對(duì)棱分別相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,給出下列五個(gè)命題:

①四面體ABCD每組對(duì)棱相互垂直;②四面體ABCD每個(gè)面的面積相等;③從四面體ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180°;

④連接四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分;

⑤從四面體ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)。

其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：(1)因?yàn)閒(x)(x∈R)為奇函數(shù),f(-1)=0,所以f(1)=-f(-1)=0。當(dāng),則g(x)為偶函數(shù),且g(1)=g(-1)=0。所以,當(dāng)x＞0時(shí),g(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),在(-∞,0)上為增函數(shù)。所以,在(0,+∞)上,當(dāng)0＜x＜1時(shí)在(-∞,0)上,當(dāng)x＜-1時(shí),g(x)＜g(-1)綜上,使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是(-∞,-1)∪(0,1)。故選A。

(2)構(gòu)造長(zhǎng)方體,使三組對(duì)棱恰好是長(zhǎng)方體的三組平行面中異面的對(duì)角線,在此背景下,長(zhǎng)方體的長(zhǎng),寬,高分別為x,y,z。

對(duì)于①,需要滿足x=y=z,才能成立;因?yàn)楦鱾€(gè)面都是全等的三角形(由對(duì)棱相等易證),則四面體的同一頂點(diǎn)處對(duì)應(yīng)三個(gè)角之和一定恒等于180°,故②成立,③顯然不成立;對(duì)于④,由長(zhǎng)方體相對(duì)面的中心連線相互垂直平分判斷④成立;從每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)恰好分別等于各個(gè)面的三角形的三邊長(zhǎng),⑤顯然成立。故正確命題有②④⑤。

答案：(1)A;(2)B。

6.估算法。

由于選擇題提供了唯一正確的選項(xiàng),解答又無(wú)需過(guò)程,因此,有些題目不必進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算,只需對(duì)其數(shù)值特點(diǎn)和取值界限作出適當(dāng)?shù)墓烙?jì),便能得出正確的判斷,這就是估算法。估算法往往可以減少運(yùn)算量,但是加強(qiáng)了思維的層次。

例6(1)圖8中陰影部分的面積S是h的函數(shù)(0≤h≤H),則該函數(shù)的大致圖像是圖9中的( )。

圖8

圖9

(2)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,S C為球O的直徑,且S C=2,則此棱錐的體積是( )。

解析：(1)由題圖知,隨著h的增大,陰影部分的面積S逐漸減小,且減小得越來(lái)越慢,結(jié)合選項(xiàng)可知選B。

答案：(1)B;(2)B。

點(diǎn)評(píng):估算法一般包括范圍估算、極端值估算和推理估算。當(dāng)題目從正面解析比較麻煩,特值法又無(wú)法確定正確的選項(xiàng)時(shí)(如難度稍大的函數(shù)的最值或取值范圍、函數(shù)圖像的變化等問(wèn)題),常用此種方法確定選項(xiàng)。

圖10

答案：D。

(二)高考填空題

高考填空題是一種只要求寫(xiě)出結(jié)論,不要求寫(xiě)出解答過(guò)程的客觀性試題,有小巧靈活、覆蓋面廣、跨度大等特點(diǎn),突出考查準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、靈活運(yùn)用知識(shí)的能力。

由于填空題不像選擇題那樣有備選提示,不像解答題那樣有步驟得分,所填結(jié)果必須準(zhǔn)確、規(guī)范,因此得分率較低,解答填空題的第一要求是“準(zhǔn)”,然后才是“快”、“巧”,要合理靈活地運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒?一般不可“小題大做”。解答填空題的常用方法有:

1.直接法。

直接法就是直接從題設(shè)出發(fā),利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論,通過(guò)巧妙的變形,直接得到結(jié)果的方法。要善于透過(guò)現(xiàn)象抓本質(zhì),有意識(shí)地采取靈活、簡(jiǎn)捷的方法解決問(wèn)題。直接法是求解填空題的基本方法。

解析：(1)因?yàn)閍≥1時(shí),f(a)≤1,不符合題意。所以f(a)=log2(1-a)+1=3,解得a=-3。

答案：(1)-3;(2)1。

點(diǎn)評(píng):利用直接法求解填空題要根據(jù)題目的要求靈活處理,多角度思考問(wèn)題,注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用,將計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化從而得到結(jié)果,這是快速準(zhǔn)確地求解填空題的關(guān)鍵。

(2)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于____。

解析：(1)由題意得|PQ|=16,線段PQ過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn),則P,Q都在雙曲線的右支上。由雙曲線的定義,可知|PF|-|PA|=2a,|Q F|-|Q A|=2a,兩式相加,得|PF|+|Q F|-(|PA|+|Q A|)=4a,則|PF|+|Q F|=4a+|PQ|=4×3+16=28,故△PQ F的周長(zhǎng)為44。

(2)由等比數(shù)列性質(zhì)知a2a3=a1a4,又a2a3=8,a1+a4=9,所以聯(lián)立方程又?jǐn)?shù)列{an}為遞增數(shù)列,所以a1=1,a4=8,從而a1q3=8,所以q=2。所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為

答案：(1)44;(2)2n-1。

2.特例法。

當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量,但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí),可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的特殊值(特殊函數(shù),特殊角,特殊數(shù)列,圖形特殊位置,特殊點(diǎn),特殊方程,特殊模型等)進(jìn)行處理,從而得出待求的結(jié)論。這樣可以大大地簡(jiǎn)化推理、論證的過(guò)程。

例 8(1)cos2α+cos2(α+120°)+cos2(α+240°)的值為_(kāi)___。

(2)如圖11,在三棱錐O-ABC中,三條棱OA,OB,OC兩兩垂直,且OA＞OB＞OC,分別經(jīng)過(guò)三條棱OA,OB,OC作一個(gè)截面平分三棱錐的體積,截面面積依次為S1,S2,S3,則S1,S2,S3的大小關(guān)系為_(kāi)___。

圖11

解析：(1)令α=0°,則原式=cos20°+

(2)要滿足各個(gè)截面使分得的兩個(gè)三棱錐體積相等,則需滿足與截面對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)E,F,G分別為中點(diǎn)即可。故可以將三條棱長(zhǎng)分別取為OA=6,OB=4,OC=2,如圖12,則可計(jì)算S1=35,S2=210,S3=13,故S3＜S2＜S1。

圖12

點(diǎn)評(píng):求值或比較大小等問(wèn)題的求解均可利用特殊值代入法,但要注意此種方法僅限于求解結(jié)論只有一種的填空題,對(duì)于開(kāi)放性的問(wèn)題或者有多種答案的填空題,則不能使用該種方法求解。

相關(guān)鏈接8.(1)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

(2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m＞0)在區(qū)間[-8,8]上有四個(gè)不同的根x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4=____。

解析：(1)用特例法。令銳角三角形ABC為等腰三角形,此時(shí)cosC=。不妨設(shè)a=b=3,如圖13,作AD⊥BC于點(diǎn)D,CD=1,AD=22,t anC=22,t anA=t anB=

圖13

圖14

答案：(1)4;(2)-8。

3.數(shù)形結(jié)合法。

對(duì)于一些含有幾何背景的填空題,若能根據(jù)題目中的條件,作出符合題意的圖形,并通過(guò)對(duì)圖形的直觀分析、判斷,即可快速得出正確結(jié)果。這類問(wèn)題的幾何意義一般較為明顯,如一次函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點(diǎn)間的距離等,求解的關(guān)鍵是明確幾何意義,準(zhǔn)確規(guī)范地作出相應(yīng)的圖形。

(2)已知函數(shù)f(x)=log2x,g(x)=若關(guān)于x的方程g(x)=k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是____。

解析：(1)畫(huà)出可行域,如圖15,所求的x2+y2-6x+9=(x-3)2+y2是點(diǎn)Q(3,0)到可行域上的點(diǎn)的距離的平方,由圖形知最小值為點(diǎn)Q到射線x-y-1=0(x≥0)的距離d的平方,大值為點(diǎn)Q到點(diǎn)A的距離的平方,所以d2max=16。所以所求的取值范圍是[2,16]。

圖15

(2)畫(huà)出函數(shù)y=g(x)的圖像(如圖16)。

由圖知,當(dāng)函數(shù)y=g(x)和y=k的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),k＞1。

答案：(1)[2,16];(2)(1,+∞)。

點(diǎn)評(píng):數(shù)形結(jié)合法可直觀快捷地得到問(wèn)題的結(jié)論,充分應(yīng)用了圖形的直觀性,數(shù)中思形,以形助數(shù)。數(shù)形結(jié)合法是高考的熱點(diǎn),應(yīng)用時(shí)要準(zhǔn)確把握各種數(shù)式和幾何圖形中變量之間的關(guān)系。

圖16

相關(guān)鏈接9.(1)若函數(shù)f(x)=|2x-2|-b有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是____。

(2)若函數(shù)y=f(x)圖像上不同兩點(diǎn)M,N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則稱點(diǎn)對(duì)[M,N]是函數(shù)y=f(x)的一對(duì)“和諧點(diǎn)對(duì)”(點(diǎn)對(duì)[M,N]與[N,M]看作同一對(duì)“和諧點(diǎn)對(duì)”)。已知函則此函數(shù)的“和諧點(diǎn)對(duì)”有____對(duì)。

解析：(1)將函數(shù)f(x)=|2x-2|-b的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|2x-2|的圖像與直線y=b的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,數(shù)形結(jié)合求解。由f(x)=|2x-2|-b=0,得|2x-2|=b。在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y=|2x-2|與y=b的圖像,如圖17所示。則當(dāng)0＜b＜2時(shí),兩函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn),從而函數(shù)f(x)=|2x-2|-b有兩個(gè)零點(diǎn)。

圖17

圖18

答案：(1)(0,2);(2)2。

4.構(gòu)造法。

用構(gòu)造法解填空題的關(guān)鍵是由條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型,從而簡(jiǎn)化推導(dǎo)與運(yùn)算過(guò)程。構(gòu)造法是建立在觀察聯(lián)想、分析綜合的基礎(chǔ)之上,首先觀察已知(例如代數(shù)式)式子上的特點(diǎn),然后積極調(diào)動(dòng)思維,聯(lián)想、類比已學(xué)過(guò)的知識(shí)及各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)模型,深刻地了解問(wèn)題及問(wèn)題的背景(幾何背景、代數(shù)背景),從而構(gòu)造幾何、函數(shù)、向量等具體的數(shù)學(xué)模型,達(dá)到快速解題的目的。

例10(1)如圖19,已知球O的球面上有四點(diǎn)A,B,C,D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=2,則球O的體積等于____。

圖19

(2)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f′(x)＞1,f(0)=4,則不等式f(x)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為_(kāi)___。

解析：(1)如圖20,以DA,AB,BC為棱長(zhǎng)構(gòu)造正方體,設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R,則正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為球O的直徑,所以CD=2R,所以R=,故球O

圖20

答案：(1)6π;(2)(0,+∞)。

點(diǎn)評(píng):構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用,需要根據(jù)已知條件和所要解決的問(wèn)題確定構(gòu)造的方向,一般通過(guò)構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等模型將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問(wèn)題。在立體幾何中,補(bǔ)形構(gòu)造是最為常用的解題技巧。通過(guò)補(bǔ)形能將一般幾何體的有關(guān)問(wèn)題在特殊的幾何體中求解,如將三棱錐補(bǔ)成特殊的長(zhǎng)方體等。

(2)已知三個(gè)互不重合的平面α,β,γ,α∩β=m,n?γ,且直線m,n不重合,有下列三個(gè)條件:①m∥γ,n?β;②m∥γ,n∥β;③m?γ,n∥β。

其中,能推得m∥n的條件是____。

(2)構(gòu)建長(zhǎng)方體模型,如圖21,觀察選項(xiàng)特點(diǎn),可優(yōu)先判斷條件②:取平面α為平面ADD1A1,平面β為平面ABCD,則直線m為直線AD。因?yàn)閙∥γ,故可取平 面 γ 為 平 面A1B1C1D1,因?yàn)閚?γ且n∥β,故可取直線n為直線A1B1,則直線AD與直線A1B1為異面直線,故m與n不平行。

對(duì)于①:α、β?、谥衅矫?取平面γ為平面BCC1B1,可取直線n為直線BC,故可推得m∥n。

對(duì)于③:α,β?、谥衅矫?取γ為平面AB1C1D,取直線n為直線B1C1,故可推得結(jié)論。

圖21

5.正反互推法。

多選型問(wèn)題給出多個(gè)命題或結(jié)論,要求從中選出所有滿足條件的命題或結(jié)論。這類問(wèn)題要求較高,涉及圖形、符號(hào)和文字語(yǔ)言,要準(zhǔn)確閱讀題目,讀懂題意,通過(guò)推理證明,命題或結(jié)論之間互推,相互印證,也可舉反例判斷錯(cuò)誤的命題或結(jié)論。

例11f(x)為定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),有f(x+1)=-f(x),且當(dāng)x∈[0,1)時(shí),f(x)=log2(x+1),給出下列命題:①f(2016)+f(-2017)的值為0;②函數(shù)f(x)在定義域上是周期為2的周期函數(shù);③直線y=x與函數(shù)f(x)的圖像有1個(gè)交點(diǎn);④函數(shù)f(x)的值域?yàn)?-1,1)。其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)___。

解析：根據(jù)題意,可在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出直線y=x和函數(shù)f(x)的圖像,如圖22所示,根據(jù)圖像可知:①f(2016)+f(-2017)=0正確,②函數(shù)f(x)在定義域上不是周期函數(shù),所以②不正確,③根據(jù)圖像知只有一個(gè)交點(diǎn),所以正確,④根據(jù)圖像,函數(shù)f(x)的值域是(-1,1),正確。

圖22

答案：①③④。

點(diǎn)評(píng):正反互推法適用于多選型問(wèn)題,這類問(wèn)題一般有兩種形式:一是給出總的已知條件,判斷多種結(jié)論的真假;二是多種知識(shí)點(diǎn)的匯總考查。兩種多選題在處理上不同,前者需要扣住已知條件進(jìn)行分析,后者需要獨(dú)立利用知識(shí)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷。利用正反互推法可以快速解決這類問(wèn)題。

則正確命題的序號(hào)為_(kāi)___(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào))。

③由線性回歸方程的含義知命題正確。

⑤根據(jù)驗(yàn)證可知得到一般性的等式是正確的。

答案：①③⑤。