包訓(xùn)旺，袁揚勝，崔執(zhí)鳳，屈 軍

(安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院 安徽省光電材料科學(xué)與技術(shù)重點實驗室，蕪湖 241000)

引 言

激光束在光學(xué)成像、激光遙感、光互聯(lián)和自由空間光通信等方面有大量的應(yīng)用，使得激光束在大氣湍流中的研究受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-6]。但是由于大氣湍流的存在，激光束在大氣中傳輸時不可避免地受到湍流的影響，發(fā)生光束漂移[7-9]、光束質(zhì)量[10]、強度[11-12]、相干性[13]和偏振性[14]變化等一系列的湍流效應(yīng)，使得激光束的光束質(zhì)量大大降低，因此尋找合適的激光束以減小大氣湍流對光束的影響是眾多學(xué)者一直努力的方向。參考文獻[13]中研究了部分相干高斯-謝爾光束在大氣湍流中的傳輸特性，發(fā)現(xiàn)一定條件下部分相干光與完全相干光相比，它受大氣湍流的影響更小。參考文獻[14]中提出矢量渦旋光束在大氣中傳輸時，受到湍流的干擾相對小。自1987年DURNIN首次提出了近似無衍射光束的概念并在實驗中產(chǎn)生了這種新型的光束[15]以來，這種新型的光束便引起了眾多學(xué)者的興趣。1996年研究人員發(fā)現(xiàn)當(dāng)貝塞爾光束的中心光斑被遮擋后，經(jīng)過很小的一段距離就可以恢復(fù)的自愈合特性[16-19]。參考文獻[20]中從理論上推導(dǎo)了貝塞爾光束在大氣湍流中的光束漂移模型，計算了不同湍流強度下高階貝塞爾光束的光束漂移，結(jié)果表明,在相同的大氣湍流條件下，高階貝塞爾光束受大氣湍流的影響較小,因此,研究貝塞爾光束在大氣湍流中的傳輸性質(zhì)對于自由空間光通信等諸多方面有很重要的意義。鑒于此，本文中基于拓展的惠更斯-菲涅耳原理和維格納分布函數(shù)的二階矩定義理論上推導(dǎo)了受遮擋貝塞爾-高斯光束在大氣湍流中的質(zhì)量因子解析式，進行相應(yīng)的數(shù)值計算，分析了湍流大氣結(jié)構(gòu)常數(shù)、湍流內(nèi)標(biāo)量、遮擋物尺寸和束腰寬度對受遮擋貝塞爾-高斯光束的質(zhì)量因子的影響。

1 理論推導(dǎo)

在柱坐標(biāo)下，參考文獻[3]中給出了貝塞爾-高斯光束在源平面的(z=0)的電場強度分布表達式，在光束的中心加一個障礙物即高斯吸收函數(shù)[17]，則其在源平面的電場強度分布函數(shù)可以表示為:

(1)

源平面上交叉譜密度函數(shù)可以表示為:

(2)

(3)

根據(jù)參考文獻[5]，可得W1(ρ1,ρ2,0)的表達式。為簡單起見，引入新的積分變量ρ=(ρ1+ρ2)/2,ρd=ρ1-ρ2，可得:W1θθ′(ρ1,ρ2,0)?W1θθ′(ρ,ρd,0)。

W1θθ′(ρ,ρd,0)=

(4)

〈W1θθ′(r,rd,z)〉=

(5)

式中,κd是空間頻域的位置矢量,H表示湍流影響。對無關(guān)變量ρ′進行積分并整合得到:

(6)

受遮擋貝塞爾-高斯光束在大氣湍流中傳輸時，其維格納分布函數(shù)可以表示為:

h(r,φ,z)=

(7)

其中,

exp(-ikrd·φ)d2rd=

exp(-ikrd·φ-iκd·r)

(8)

由于維格納分布函數(shù)的性質(zhì)及(n1+n1+m1+m2)階矩定義[10]，可得:

(9)

式中，Im表示m階修正的貝塞爾函數(shù)和。

(10)

式中，T是與空間功率譜函數(shù)相關(guān)的一個參量。同理可以求出W2(ρ1,ρ2,0),W3(ρ1,ρ2,0),W4(ρ1,ρ2,0)的參量組合。根據(jù)魏格納分布函數(shù)的二階矩理論，可以分析光束束寬〈x2+y2〉1/2和光束發(fā)散角〈φx2+φy2〉1/2的變化規(guī)律，同時可以求出非零交叉項〈xφx+yφy〉1/2，由光束束寬，光束發(fā)散角和非零交叉項，受遮擋貝塞爾-高斯光束的M2因子為[10,21]:

M2(z)=

k(〈r2〉+〈φ2〉-〈rφ〉2)1/2=

k{[〈x2+y2〉1+〈x2+y2〉2+〈x2+y2〉3+

〈x2+y2〉4]×[〈φx2+φy2〉1+〈φx2+φy2〉2+

〈φx2+φy2〉3+〈φx2+φy2〉4]-[〈xφx+yφy〉1+

〈xφx+yφy〉2+〈xφx+yφy〉3+

〈xφx+yφy〉4]2}1/2

(11)

2 數(shù)值計算

(11)式是本文中的主要解析表達式，它可以方便地研究受遮擋貝塞爾-高斯光束在大氣湍流中的質(zhì)量因子，利用MATHEMATIC軟件，相應(yīng)數(shù)值計算結(jié)果見下。

圖1中給出了遮擋參量t不同時,不同拓?fù)浜蓴?shù)n所對應(yīng)的歸一化M2因子的特性曲線(w0=5mm,λ=632.8nm,l0=5mm,R=6w0)。遮擋物的半徑R0=tw0，t表示遮擋物大小與貝塞爾-高斯光束光斑大小的關(guān)系。圖1反映出當(dāng)遮擋參量不變時，貝塞爾-高斯光束歸一化的M2因子隨著拓?fù)浜蓴?shù)的增大而減小；當(dāng)拓?fù)浜蓴?shù)不變時，隨著遮擋參量的增大，貝塞爾-高斯光束歸一化的M2因子也在增大。

Fig.1 The normalizedM2factor of Bessel-Gaussian beam with different topological charges and obstacle parameters

圖2中給出了遮擋參量不同時,不同光束腰寬對歸一化M2因子的影響特性(n=1,l0=5mm,λ=632.8nm,R=6w0,R0=tw0,Cn2=10-16m-2/3)。計算結(jié)果表明，當(dāng)遮擋參量不變時，貝塞爾-高斯光束歸一化的M2因子隨著腰寬的增大而減??；當(dāng)腰寬不變時，隨著遮擋參量的增大，貝塞爾-高斯光束歸一化的M2因子也在增大。

圖3中計算了選擇不同的遮擋參量和不同湍流內(nèi)標(biāo)量時，歸一化M2因子的變化規(guī)律(n=1,w0=5mm,λ=632.8nm,R=6w0,R0=tw0,Cn2=10-16m-2/3)。圖3反映出當(dāng)遮擋參量不變時，貝塞爾-高斯光束歸一化的M2因子隨著湍流內(nèi)標(biāo)量的增大而減?。划?dāng)湍流內(nèi)標(biāo)量不變時，隨著遮擋參量的增大，貝塞爾-高斯光束歸一化的M2因子也在增大的規(guī)律。

Fig.2 The normalizedM2factor of Bessel-Gaussian beam with different waist widths and obstacle parameters

當(dāng)改變遮擋參量和湍流大氣結(jié)構(gòu)常數(shù)時，歸一化M2因子的變化曲線見圖4(n=1,l0=5mm,w0=5mm,R=6w0,R0=tw0,λ=632.8nm)。圖4很明顯反映出當(dāng)遮擋參量不變時，貝塞爾-高斯光束歸一化的M2因子隨著湍流大氣結(jié)構(gòu)常數(shù)的增大而增大；當(dāng)湍流大氣結(jié)構(gòu)常數(shù)不變時，貝塞爾-高斯光束歸一化的M2因子隨著遮擋參量的增大而增大的現(xiàn)象。

Fig.3 The normalizedM2factor of Bessel-Gaussian beam with different inner scales and obstacle parameters

3 結(jié) 論

基于拓展的惠更斯-菲涅耳原理和維格納分布函數(shù)的二階矩定義，理論推導(dǎo)了受遮擋貝塞爾-高斯光束在湍流大氣傳輸中M2因子的解析表達式，分析了遮擋參量、傳播距離、湍流內(nèi)標(biāo)量、束腰寬度和湍流結(jié)構(gòu)常數(shù)等參量對受限貝塞爾-高斯光束質(zhì)量因子的影響。數(shù)值計算和分析表明,當(dāng)遮擋物的尺寸為零，即不加障礙物時，其傳輸質(zhì)量因子隨傳播距離、湍流大氣結(jié)構(gòu)常數(shù)的增大而增大，隨著腰寬、湍流內(nèi)標(biāo)量、光束拓?fù)浜蓴?shù)的增大而減小，而當(dāng)遮擋物尺寸不大于0.4倍的腰寬時，該光束的傳輸質(zhì)量因子也呈現(xiàn)相同的變化規(guī)律，但隨著遮擋物尺寸的增大，貝塞爾-高斯光束需要自愈合的距離更遠(yuǎn)，在大氣湍流擾動下，其傳輸質(zhì)量因子也更大。

Fig.4 The normalizedM2factor of Bessel-Gaussian beam with different structure constants and obstacle parameters

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