傅有明，林莎莎，黃婉君

（三明學(xué)院 信息工程學(xué)院，福建 三明365004）

乘積隨機(jī)過(guò)程[1]已廣泛應(yīng)用于隨機(jī)分析及其交叉學(xué)科的應(yīng)用中，其中較為常見的是在時(shí)間序列中關(guān)于乘積模型的論述[2]，例如，時(shí)間序列中通常含有長(zhǎng)期趨勢(shì)（T）、季節(jié)變動(dòng)（S）、循環(huán)變動(dòng)（C）和不規(guī)則變動(dòng)（I）4種成分，統(tǒng)計(jì)上對(duì)這4種成分的結(jié)合方式有兩種不同的假設(shè)，從而形成加法和乘法兩類理論模型。而乘法模型假設(shè)時(shí)間序列中每一個(gè)觀測(cè)值都是4種成分的乘積，即：Y＝T·C·S·I，4種成分之間保持著相互依存的關(guān)系，如要測(cè)定某種成份的變動(dòng)，須從原時(shí)間序列中除去其他影響成份的變動(dòng)，有關(guān)更多乘積模型可參見文獻(xiàn)[3-5]。

本文主要定義點(diǎn)乘、叉乘和純積幾類乘積過(guò)程，利用布朗運(yùn)動(dòng)的相關(guān)性質(zhì)分析有關(guān)布朗型可乘過(guò)程的概率屬性，特別地，給出了這幾類布朗型可乘過(guò)程的小偏差估計(jì)。

1 可乘過(guò)程的構(gòu)

1.1 點(diǎn)乘過(guò)程

定義 1若Xt=Yt·Zt，則稱隨機(jī)過(guò)程{Xt；t∈R+}為過(guò)程{Yt；t∈R+}與過(guò)程{Zt；t∈R+}的Ⅰ型點(diǎn)乘過(guò)程。

定義 2若 Xt=Yt1·Zt2，則稱隨機(jī)過(guò)程為過(guò)程{Yt1；t1∈R+}與過(guò)程{Zt2；t2∈R+}的Ⅱ型點(diǎn)乘過(guò)程。

1.2 叉乘過(guò)程

定義 3若 Xt=Yt×Zt，則稱隨機(jī)過(guò)程{Xt；t∈R+}為過(guò)程{Yt；t∈R+}與過(guò)程{Zt；t∈R+}的Ⅰ型叉乘過(guò)程。

定義 4若 Xt=Yt1×Zt2，則稱隨機(jī)過(guò)程為過(guò)程{Yt1；t1∈R+}與過(guò)程{Zt2；t2∈R+}的Ⅱ型叉乘過(guò)程。

1.3 純積過(guò)程

定義 5若，則稱隨機(jī)過(guò)程為過(guò)程{Yit，t∈R+}，i=1,2，…，n的Ⅰ型純積過(guò)程。

定義 6若，則稱隨機(jī)過(guò)程為過(guò)程{Yiti，ti∈R+}，i=1,2，…，n的Ⅱ型純積過(guò)程。

根據(jù)上述定義1～6，可知Ⅰ型過(guò)程為單指標(biāo)過(guò)程，Ⅱ型過(guò)程為多指標(biāo)過(guò)程。

2 布朗型可乘過(guò)程

在有關(guān)各類可乘過(guò)程構(gòu)造的基礎(chǔ)上，給出有關(guān)布朗型可乘過(guò)程的相關(guān)概率屬性及其小偏差估計(jì)。為討論方便，先給出有關(guān)布朗運(yùn)動(dòng)的相關(guān)概念與性質(zhì)。

定義[6]：1.1{Bt，t∈R+}稱為一個(gè) d 維布朗運(yùn)動(dòng)，如果

引理 1[7]設(shè){Bt，t∈R+}為 d維布朗運(yùn)動(dòng)，則

其中 v=（d-2）/2，0＜jv，1＜jv，2是 Bessel函數(shù) jv的正零點(diǎn)。

引理 2[7]設(shè){Bt，t∈R+}為 d維布朗運(yùn)動(dòng)，則

引理 3[7]設(shè){Bt，t∈R+}為 d 維布朗運(yùn)動(dòng)，則對(duì)任意 x＞0，存在常數(shù) K＞0，有

引理 4[8]設(shè){Bt，t∈R+}為一維布朗運(yùn)動(dòng)，則

若Xt=Bt·Bt，其中{Bt；t∈R+}為d維布朗運(yùn)動(dòng)，即

從而根據(jù)χ2分布的性質(zhì)得Xt=Bt·Bt的概率密度函數(shù)為

數(shù)學(xué)期望 E（Xt）=dt，方差 D（Xt）=2dt2。

進(jìn)一步地，有如下給出關(guān)于布朗型可乘過(guò)程Xt=Bt·Bt的最大值分布特征。

命題1設(shè)Xt=Bt·Bt，其中{Bt；t∈R+}為d維布朗運(yùn)動(dòng)，則有

存在常數(shù) K＞0，有

證明：

利用引理 1及（1）式，即有

利用引理 2及（1）式，即有

利用引理3及（1）式，即存在常數(shù)，有

利用上述命題所得的第2個(gè)結(jié)論即可得到如下有關(guān)于布朗型自乘過(guò)程Xt=Bt·Bt的小偏差結(jié)論。

推論1設(shè)Xt=Bt·Bt，其中{Bt；t∈R+}為d維布朗運(yùn)動(dòng)，則有

若Xt=B1t·B2t，其中{B1t；t∈R+}與{B2t；t∈R+}為相互獨(dú)立的d維布朗運(yùn)動(dòng)，即

下面的命題給出了布朗型可乘過(guò)程Xt=B1t·B2t的小偏差下界估計(jì)。

命題2設(shè)Xt=B1t·B2t，其中{B1t；t∈R+}與{B2t；t∈R+}為相互獨(dú)立的d維布朗運(yùn)動(dòng)，則有

證明：利用Xt=B1t·B2t的構(gòu)造原理及{B1t；t∈R+}與{B2t；t∈R+}的獨(dú)立性，有

利用引理 4及（2）式，即有

若Xt=B1t·B2t,其中{B1t；t∈R+}與{B2t；t∈R+}為相互獨(dú)立的d維布朗運(yùn)動(dòng)，即

下面的命題給出了布朗型可乘過(guò)程Xt=B1t·B2t的小偏差下界估計(jì)。

命題 3設(shè) Xt=B1t1·B2t2，{B1t1；t1∈R+}與{B2t2；t2∈R+}為相互獨(dú)立的 d 維布朗運(yùn)動(dòng)，則有

證明：利用Xt=B1t·B2t的構(gòu)造原理及{B1t；t∈R+}與{B2t；t∈R+}的獨(dú)立性，有

利用引理 4及（3）式，即有

命題4設(shè)其中{Bit；t∈R+}，i=1,2，…，n 為相互獨(dú)立的一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，則有

證明：利用的構(gòu)造原理及{Bit；t∈R+}，i=1,2，…，n 的獨(dú)立性，有

利用引理 4及（4）式，即有

則根據(jù)χ2分布的性質(zhì)得的概率密度函數(shù)為

命題5設(shè)，其中{Bt；t∈R+}為一維布朗運(yùn)動(dòng)，則有

證明：利用的構(gòu)造原理，有

利用引理4及（5）式，即有

命題6設(shè)，其中{Biti；ti∈R+}，i=1,2，…，n 為相互獨(dú)立的一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，則有

證明：一方面

利用引理 4及（6）式，即有

另一方面

3 結(jié)束語(yǔ)

本文只得到了布朗型可乘過(guò)程小偏差估計(jì)，其小偏差的精確表達(dá)有待繼續(xù)深入探究，且還有值得進(jìn)一步探討的布朗型可乘過(guò)程，如 Xt=B1t×B2t，其中{B1t：t∈R+}與{B2t：t∈R+}為布朗運(yùn)動(dòng)，即

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