邢時超 (銅陵學(xué)院機械工程學(xué)院，安徽 銅陵 244061)

近年來，越來越多學(xué)者開始關(guān)注壓電材料，在理論研究和實驗驗證的基礎(chǔ)上使得壓電理論得到健全和完善[1～3]。壓電材料具有很多優(yōu)良的性能，但它屬于脆性材料，在工程實踐中容易產(chǎn)生裂紋，特別當(dāng)材料中存在夾雜或孔洞的情況以及外載情況復(fù)雜的時候。而一旦壓電材料存在或產(chǎn)生裂紋之后，裂紋容易擴展，這將嚴(yán)重影響壓電構(gòu)件的性能和壽命。關(guān)于含裂紋壓電材料的斷裂研究，就變得很有工程實際意義。

壓電構(gòu)件存在裂紋是常見現(xiàn)象。高存法和樊蔚勛[4]研究了含裂紋壓電材料的二維問題，應(yīng)用Stroh公式和精確的電邊界條件，得到了場強度因子和能量釋放率的精確解；Guo和Noda[5]研究了含穿插界面裂紋的功能梯度層狀結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)，附加平面內(nèi)部的沖擊載荷。熱載荷對于壓電材料的作用也是研究的熱點之一。陳星燁和唐雪松[6]研究了均勻熱流作用下含裂紋板Ⅰ型溫度應(yīng)力強度因子的解析解；S.Ueda[7]研究了功能梯度壓電材料的熱-機-電斷裂問題；Wang和Gao[8]研究了含橢圓孔的壓電體在孔邊衍生邊界裂紋時的電彈性解。目前，關(guān)于含熱半穿透裂紋的壓電材料斷裂問題研究較少，而在實際情況下，隨著構(gòu)件的使用出現(xiàn)裂紋會越來越多，而裂紋的絕緣性不再是初始的假想狀態(tài)(熱絕緣或熱全穿透)。下面，筆者結(jié)合復(fù)變函數(shù)法和Hilbert問題解法來研究熱-電載荷作用下含非絕緣裂紋的壓電材料斷裂問題。

1 理論分析

圖1 壓電板邊界條件

1.1 基本公式

考慮壓電材料在無窮遠(yuǎn)處受熱-電載荷作用，其溫度場和電彈性場的基本方程如下。

溫度場控制方程:

qi,i=0

(1)

溫度場本構(gòu)方程：

qi=-αijT,j

(2)

式中，下標(biāo)的逗號表示微分，并采用求和約定；qi為熱流矢量；αij為熱傳導(dǎo)系數(shù)；T為溫度；i、j表示直角坐標(biāo)，且i、j=1、2。

由式(1)和(2)可以得到溫度場表達式：

T=2Re[g′(zt)] (zt=x1+μtx2)

(3)

電彈性場本構(gòu)方程：

σij=cijklεkl-ekijEk-λijT

(4)

Di=eiklεkl+∈ikEk+piT

(5)

將式(4)和(5)帶入彈性場平衡方程：

cijkluk,lj+ekijφ,kj-λijT,j=0

(6)

eikluk,li-∈ikφ,ki+piT,j=0

(7)

式中，σ為應(yīng)力張量；ε為應(yīng)變向量；E為電場向量；D為電位移向量；u為位移向量；cijkl為材料常數(shù)；ekij為壓電常數(shù)；∈ij為介電常數(shù)；pi為常數(shù)；φ為電勢向量。

引入廣義位移函數(shù)u=(u1,u2,u3,φ)T以及廣義應(yīng)力函數(shù)φ=(φ1,φ2,φ3,φ4)T，通過求解方程(6)和(7)的通解和特解，最終表示為：

u=2Re[Af(z)+cg(z)]

(8)

φ=2Re[Bf(z)+dg(z)]

(9)

式中，A、B為二維問題Stroh公式特征向量的矩陣形式；c、d為熱特征向量。

1.2 溫度場

圖2 裂紋表面邊界條件

裂紋表面邊界條件如圖2所示，在裂紋界面上，熱邊界條件為:

(10)

式中，α為熱絕緣系數(shù)；β為電絕緣系數(shù)。熱復(fù)函數(shù)g′(zt)可以由下式表示：

(11)

根據(jù)溫度場本構(gòu)方程(2)及其表達式(3)，令z→∞，可得：

(12)

(13)

根據(jù)公式(12)和(13)可得到m1：

(14)

將圖2中的邊界問題轉(zhuǎn)化成第二類Riemann-Hilbert邊值問題，得到公式：

(15)

(16)

從而得出溫度場函數(shù)為：

(17)

1.3 電彈性場

由圖2可知，電彈性場的邊界條件為：

(18)

(19)

(20)

類似于熱復(fù)勢函數(shù)，依據(jù)位移及電勢的單值條件，同樣可以將電彈性場復(fù)勢函數(shù)表示成多個部分組成，其形式為：

(21)

根據(jù)式(8)和(9)可以得到：

u，1=2Re[Af′(z)+cg′(z)]

(22)

φ，1=2Re[Bf′(z)+dg′(z)]

(23)

將電彈性場復(fù)勢函數(shù)式(21)代入式(22)和(23)，然后令z→∞，可得：

(24)

(25)

(26)

(27)

得到:

(28)

進而求得：

(29)

式中，a0可由位移單值條件和力電平衡條件求得。

1.4 場強度因子

場強度因子的表達式：

(30)

式中，k為場強度因子；kΠ為同平面剪切型(滑移型)裂紋應(yīng)力場強度因子；kⅠ為張開型裂紋應(yīng)力場強度因子；kⅢ為反平面剪切型裂紋應(yīng)力場強度因子；kD為電位移場強度因子。

將式(23)代入式(30)可得：

(31)

2 數(shù)值模擬

考慮材料為橫觀各向同性的壓電板，假定x1-x2面為各向同性面，x3軸為極化方向。采用硒化鎘為模型材料，由其材料常數(shù)可以求得矩陣A、B:

圖3 裂紋延長線上的熱流

注：紅線對應(yīng)括號內(nèi)KⅠ數(shù)值。 圖4 熱流作用下應(yīng)力強度因子隨熱絕緣系數(shù)變化 圖5 KD，KⅠ隨裂紋長度變化

3 結(jié)論

研究了熱電載荷作用下含半絕緣裂紋的無限大壓電平板的斷裂問題。通過復(fù)變函數(shù)法和Hilbert問題解法，求出溫度場、電彈性場以及場強度因子。通過數(shù)值模擬，得出以下結(jié)論：

1)在裂紋尖端處，熱流存在奇異性，并在距尖端遠(yuǎn)處趨于入射熱流；

2)強度因子場向量在裂紋長度固定時隨絕緣系數(shù)α、β均成線性變化，在無電場作用的情況下，其隨熱絕緣系數(shù)呈線性變化；在無熱流作用的情況下，其同樣隨電絕緣系數(shù)呈線性變化；

3)2種強度因子KD和KⅠ隨裂紋長度呈橢圓線變化，絕緣系數(shù)α越大越趨于平穩(wěn)；

4)應(yīng)力強度因子隨著熱流的增加而單調(diào)增加。

[參考文獻]

[1]Hetnarski R B, Ignaczak J. The mathematical theory of elasticity[M]. 2nd ed. New York：Taylor & Francis, 2011.

[2] 王保林. 壓電材料及其結(jié)構(gòu)的斷裂力學(xué)[M].北京：國防工業(yè)出版社, 2003.

[3] 范天佑. 動態(tài)斷裂力學(xué)原理與應(yīng)用[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2006.

[4] 高存法, 樊蔚勛. 壓電介質(zhì)內(nèi)裂紋問題的精確解[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 1999, 20(1):47～54.

[5] Guo L C, Noda N. Dynamic investigation of a functionally graded layered structure with a crack crossing the surface[J]. International Journal of Solid and Structures, 2008, 45(1):336～357.

[6] 陳星燁，唐雪松. 均勻熱流作用下含裂紋板I型溫度應(yīng)力強度因子的解析解[J]. 工程力學(xué), 2012, 29(2):39～44.

[7] Ueda S. Transient response of a cracked piezoelectric strip under thermoelectric loading[J]. Department of Mechanical Engineering, 2006, 29(10):973～994.

[8] Wang Y J, Gao C F. Thermoelectroelastic solution for edge crack originating from an elliptical hole in a piezoelectric solid[J]. Journal of Thermal Stresses, 2012, 35(1):138～156.