廣東省廣州市第十六中學(xué)(510080) 溫伙其

筆者有幸參加廣州市越秀區(qū)“一師一優(yōu)課,一課一名師”活動(dòng),選擇怎樣的教育理念構(gòu)建《公切線》這一節(jié)課?課堂教學(xué)應(yīng)該呈現(xiàn)什么?筆者一直在思考.結(jié)合我國(guó)新一輪課程標(biāo)準(zhǔn)修訂工作的如火如荼的開(kāi)展,“核心素養(yǎng)”成為教育理論、教育實(shí)踐和教育研究的重要議題.基于這樣的背景,筆者選擇以怎樣形成“核心素養(yǎng)”中的數(shù)學(xué)建模為主線,進(jìn)行設(shè)計(jì),現(xiàn)成文如下:

一.教材學(xué)情分析

本節(jié)教學(xué)內(nèi)容,教材安排在選修系列一《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》的第3節(jié):導(dǎo)數(shù)的幾何意義.對(duì)切線的認(rèn)知,學(xué)生在初中平面幾何中圓已初步獲得:直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí),這時(shí)直線叫做圓的切線.而圓是一種特殊曲線,這種定義不適用于一般曲線的切線.高中教材,通過(guò)逼近方法,將割線趨于的確定位置的直線定義為切線,這種定義方法,適用于各種曲線的切線,使切線的內(nèi)涵進(jìn)一步發(fā)展,切線的本質(zhì)得到了直觀[1].教材沒(méi)有進(jìn)一步探討兩曲線的的公切線,而近年不論全國(guó)高考和還是各地高考試題都大量涉及公切線的解題應(yīng)用,基于此知識(shí)背景,學(xué)生對(duì)切線問(wèn)題熟悉,對(duì)公切線知識(shí)空白陌生.

二.教學(xué)目標(biāo)分析

1.知識(shí)與能力

(1)會(huì)用直線模型求曲線的切線方程;(2)會(huì)用直線斜截式模型求兩曲線的公切線方程;(3)會(huì)用方程模型判斷兩曲線公切線的數(shù)量.

2.過(guò)程與方法

通過(guò)引入,讓學(xué)生準(zhǔn)確區(qū)分切線方程有“在點(diǎn)P處的切線”和“過(guò)點(diǎn)P處的切線”兩種;借助兩個(gè)例題,使學(xué)生建立公切線分共切點(diǎn)和不同切點(diǎn)兩種情況知識(shí)體系;拓展延伸,最終引導(dǎo)學(xué)生探討公切線條數(shù),把數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的的零點(diǎn).過(guò)程由淺如深,逐步遞進(jìn),環(huán)環(huán)體現(xiàn)著轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合和特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

3.情感與態(tài)度

通過(guò)本節(jié)課學(xué)習(xí),學(xué)生經(jīng)歷“求切線方程”→“求公切線方程”→“用公切線解決零點(diǎn)、不等式問(wèn)題”解題過(guò)程,體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生是水到渠成的,從而養(yǎng)成勇于探索新知的情感態(tài)度.

三.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn):從切線方程中抽象歸納公切線模型(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模).

教學(xué)難點(diǎn):公切線的斜率、截距相等方程組推理構(gòu)造函數(shù),進(jìn)而判斷公切線數(shù)量(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算).

四.教學(xué)過(guò)程

數(shù)學(xué)模型一直線方程y-y0=k(x-x0)模型解決切線問(wèn)題

新課引入

2.過(guò)點(diǎn)Q(2,0)且與曲線相切的直線方程為_(kāi)__.

設(shè)計(jì)立意通過(guò)自主學(xué)習(xí),掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為過(guò)此切點(diǎn)切線的斜率;能準(zhǔn)確區(qū)分“在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線”和“過(guò)點(diǎn)Q(x0,y0)處的切線”:即前者P(x0,y0)為切點(diǎn),而后者Q(x0,y0)不一定為切點(diǎn),為后續(xù)公切線的探討奠定基礎(chǔ).

借助幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示切線圖形,使學(xué)生從感官和數(shù)學(xué)關(guān)系二維角度認(rèn)識(shí)切線,讓學(xué)生自主完成小結(jié)1:

小結(jié)1.曲線切線類型和求解流程圖:

例題講解

數(shù)學(xué)模型二方程組模型解決共切點(diǎn)公切線問(wèn)題

例1(2013年新課標(biāo)I理科第21題改編)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過(guò)點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.求a,b,c,d的值.

解f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c),由題意有

變式1(2010年陜西文科第21題改編)已知函數(shù)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)相交,且在交點(diǎn)處有相同的切線,求a的值和該切線方程.

數(shù)學(xué)模型三直線斜截式方程中表示同一直線模型解決公切線問(wèn)題

例2(2015年新課標(biāo)II文科第16題)已知曲線y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,求a的值.

解由y=x+lnx的導(dǎo)數(shù)又因?yàn)榍悬c(diǎn)P(1,1),所以切線斜率所以切線方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1.由y=ax2+(a+2)x+1,得y′=2ax+a+2.設(shè)切點(diǎn)所以切線斜率所以切線方程為即所以解得,故答案為:8.

變式2(2016年新課標(biāo)II理科第16題)若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,求b的值.

設(shè)計(jì)立意通過(guò)兩道例題的教學(xué),讓學(xué)生意識(shí)切線問(wèn)題還可深入研究?jī)汕€的公切線,建立公切線包含共切點(diǎn)和公切線不共切點(diǎn)兩種情況知識(shí)體系.進(jìn)一步探討得到規(guī)律:共切點(diǎn)的公切線,其特點(diǎn)為相同切點(diǎn),相同切線,即滿足方程組;不共切點(diǎn)的公切線的處理辦法,回歸曲線過(guò)點(diǎn)切線方程的求解過(guò)程,分別求出切線l1∶y=k1x+b1、l2∶y=k2x+b2,則有斜率截距分別相等此等量關(guān)系,即滿足方程組

借助幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)生成變式1,例題2公切線圖形,為學(xué)生提供直觀感性的材料,幫助學(xué)生從抽象到具體,歸納出兩類公切線的性質(zhì),自主完成小結(jié)2.

小結(jié)2.公切線類型及求解過(guò)程步驟:

共切點(diǎn)公切線不同切點(diǎn)公切線特點(diǎn)相同切點(diǎn),相同切線不同切點(diǎn),相同切線求解過(guò)程步驟第一步:設(shè)f(x)與g(x)的公共點(diǎn)為P(x0,y0);第二步:根據(jù)公共點(diǎn)及公共切線得到方程組f(x0)=g(x0)f ′(x0)=g′(x0);1.在曲線C1上設(shè)切點(diǎn)P(x1,f(x1)),求出過(guò)點(diǎn)P切線l1∶y=k1x+b1;2.在曲線C2上設(shè)切點(diǎn)Q(x2,f(x2)),求出過(guò)點(diǎn)Q切線l2∶y=k2x+b2;3.因?yàn)閘1,l2表示同一直線,所以斜率截距分別相等,則有方程組第三步:對(duì)上述方程組消元求解.k1=k2 b1=b2進(jìn)行消元求值.

拓展延伸

數(shù)學(xué)模型四方程f(x)=0模型判斷公切線數(shù)量問(wèn)題

1.若一條直線同時(shí)和兩個(gè)曲線相切我們稱此直線為兩曲線的公切線,已知f(x)=x2,g(x)=-x2+2x+a.

(1)若f(x)與g(x)只有一條公切線,求實(shí)數(shù)a值;

(2)若f(x)與g(x)有兩條公切線,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解f(x)=x2的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為g′(x)=-2x+2,設(shè)f(x)=x2上切點(diǎn)可得切線方程為同理設(shè)g(x)=-x2+2x+a上切點(diǎn)則切線方程為即兩函數(shù)有公切線,即令上述兩切線方程相同,則有消去x1,化為可得取得最大值

(1)若f(x)與g(x)只有一條公切線,即有關(guān)于x0的方程有且只有兩個(gè)相等的實(shí)根,可得

(2)若滿足存在兩條不同公切線,只需關(guān)于x0的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根,可得

設(shè)計(jì)立意進(jìn)一步理解由公切線的定義可得斜率相等且縱截距相等,消元整理可得新方程;上述所得方程,化歸轉(zhuǎn)化為函數(shù),把公切線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性極值,借助圖象特點(diǎn),可以判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)(即公切線的數(shù)量),也可證明不等式.

六.布置作業(yè)

1.(2009年江西理科第12題)若存在過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線與曲線都相切,則a等于()

2.已知函數(shù)f(x)=blnx,g(x)=ax2-x(a∈R).

(I)若曲線f(x)與g(x)在公共點(diǎn)A(1,0)處有相同的切線,求實(shí)數(shù)a、b的值;

(II)當(dāng)b=1時(shí),若曲線f(x)與g(x)在公共點(diǎn)P處有相同的切線,求證:點(diǎn)P唯一;

(III)若a＞0,b=1,且曲線f(x)與g(x)總存在公切線,求正實(shí)數(shù)a的最小值.

設(shè)計(jì)意圖以兩道高考真題作為本節(jié)課的課后作業(yè),讓學(xué)生課后獨(dú)立完成,一是再次體驗(yàn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線斜率的應(yīng)用,深化公切線中方程組思想,領(lǐng)悟和函數(shù)結(jié)合過(guò)程,解決最值、零點(diǎn)和不等式問(wèn)題,二是把握考試命題規(guī)律,三是檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)課堂內(nèi)容的掌握程度.

本節(jié)課以“公切線”為主題,探究導(dǎo)數(shù)幾何意義作為工具構(gòu)建公切線的基本辦法,教學(xué)過(guò)程處處滲透“數(shù)學(xué)建模”素養(yǎng)的培養(yǎng):(1)在點(diǎn)的切線;(2)過(guò)點(diǎn)的切線;(3)在公共點(diǎn)的公切線:(4)不同切點(diǎn)的公切線;(5)切線數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題.總而言之,最新一輪課改精神學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí),應(yīng)在數(shù)學(xué)課堂中不斷的探索,實(shí)踐和創(chuàng)新.

[1]人民教育出版社、課程教材研究所著.數(shù)學(xué)選修1-1教師教學(xué)用書(shū)[M].北京:人民教育出版社,2016.6.