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        復數概念教學新設計

        2018-05-02 12:57:17貴州省畢節(jié)第一中學551700李敏瑜
        中學數學研究(廣東) 2018年8期
        關鍵詞:數系虛數負數

        貴州省畢節(jié)第一中學(551700) 李敏瑜

        華南師范大學數學科學學院(510631) 何嘉穎

        教材人教A版普通高中數學選修2-2第三章第一節(jié)

        課時安排第1課時

        教學對象高二(下)學生

        教材分析

        本節(jié)內容涉及到了數系擴充的過程、復數概念、復數的代數形式以及復數集與其它數集的關系,這是學生學習復數的幾何意義及其四則運算的基礎.教材通過類比自然數系到實數系的擴充過程,為了使方程x2+1=0有解,直接引出復數的概念.這種引入方式看似簡潔,但與數學史不符,而且對學生而言太突兀,難以接受.學生也不了解復數是如何被發(fā)現的,虛數單位是如何被定義的,也不可能體會到引入復數的必要性以及復數的應用價值.

        學情分析

        認知基礎:

        學生已學習了正整數集、整數集、有理數集、實數集以及相應的數的運算法則和運算律,有了數系擴充的一些經驗;學生已掌握一元一次方程、二元一次方程的求解方法以及方程的解的概念,了解乘方運算與開方運算的互逆關系、數學的邏輯用語以及推理與證明的相關知識,這些都是引入復數概念的基礎.

        認知障礙:

        ①缺乏從整體上重新審視數系發(fā)展的過程,不知道數系是如何擴充的以及它與生產生活及方程求解之間的關系;

        ②對方程無實數解的認知不準確;

        ③承認負數可以開平方.

        教學目標

        知識與技能

        ①理解復數的基本概念(虛數單位、純虛數、虛數等);

        ②掌握復數的代數形式;

        ③了解復數集與其它數集之間的集合關系以及代數形式上的關系;

        過程與方法

        ①經歷觀察發(fā)現、猜想并形成復數概念的過程,領悟復數發(fā)現的探索思路,學習數系擴充的思想;

        情感態(tài)度價值觀

        ①感受數系擴充與生產生活之間的關系、與方程求解之間的關系;

        ②感受引入復數的必要性;

        ③體會復數的產生是源于生活中數學方程求解的需要,以及感受人類理性思維的作用.

        教學重點感受數系擴充、生產生活、方程求解三者之間的聯系;理解復數的概念;掌握復數的代數形式.

        教學難點復數概念引入的必要性與合理性.

        教學關鍵從方程求解入手,用符合學生認知的演繹推理方法導出復數引入的必要性.

        教學方法問題驅動,引導探究.

        教學手段板書、PPT.

        教學流程

        教學過程設計

        (一)問題引入

        (1)新課引入:

        提問:1、數以及數集的概念是如何產生和發(fā)展的?

        2、除了實數,還有沒有其它數;是否存在比實數集范圍更大的數集?

        活動1:從數學史和已學知識分別回顧數的發(fā)展過程

        從數學史回顧數的發(fā)展過程:

        從已學知識來回顧數的發(fā)展過程:

        (2)得到結論:我們學習數的過程和歷史上數的發(fā)展過程大同小異,數不斷發(fā)展的過程稱為數系的擴充.此外,從數學與生活看:數的發(fā)展與生產生活有關;從數學世界看:數的發(fā)展與方程求解有關.

        (3)問題引導:已發(fā)現數的發(fā)展與方程求解相關,故引導學生繼續(xù)從方程求解入手探索數的進一步發(fā)展.

        設計意圖通過回顧數學史以及學生所學知識中數的發(fā)展過程,使學生體會到現實生活對數學發(fā)展的推動作用以及方程與數的發(fā)展的聯系,從而使學生對數系擴充形成整體的映像,同時,激發(fā)學生繼續(xù)嘗試從方程出發(fā)探索數的發(fā)展的動力.

        (二)探究發(fā)現

        (1)特殊入手:讓學生用舊知求解具體方程-7x+6=0、x2-7x+6=0、x3-7x+6=0,回憶求解方程的方法.

        學情預設生:上述三個方程的解分別是或x=6,x=1或x=2或x=-3.

        (2)歸納方程求解的一般方法:出示上述方程的解,給出一次、二次方程的一般解法.并詢問學生,他們求解方程、x3-7x+6=0的方法,從而得到求解一元三次方程的原始方法—賦值法.

        學情預設生:觀察到把1代入方程、x3-7x+6=0后等式成立,所以1是方程、x3-7x+6=0的解,類似的2,-3也是方程的解.

        (3)進一步歸納方程求解的一般方法,給出一元三次方程的公式解法:肯定賦值法和公式解法對方程求解的通用性與一致性.通過說明用賦值法求解一元三次方程的不便,提供一元三次方程的公式解.引導學生用一元三次方程的公式解進一步求解、x3-7x+6=0.

        背景介紹:早在公元前4-5世紀數學家們很早就已經發(fā)現了一次方程和二次方程的一般解法,而三次方程的公式解直到16世紀才由數學家卡丹給出.對方程x3+px+q=0,它的公式解為

        學情預設生:

        (4)探究發(fā)現、出現障礙:求解方程有兩種方法:賦值法、公式解法;在一次和二次方程的求解中,兩種方法得到的解之間保持著一致性.但是,運用兩種解法求解三次方程x3-7x+6=0得出的結果卻出現了不一致.故引導學生探尋造成這種結果的原因.

        設計意圖在學生尚未形成復數的概念時,通過求解具體方程,并抽象歸納出相應方程及求解方程的一般方法,使學生發(fā)現求解三次方程的兩種方法之間的不一致,從而使學生產生認知沖突并產生探究欲望.

        (三)深入思考

        (1)學生探究,提出猜測:

        問題2:猜測造成使用兩種方法求解一元三次方程x3-7x+6=0得到的結果不一致的原因是什么?

        提出可能的猜測,猜測一:人為錯誤,如運算、公式抄寫錯誤;猜測二:賦值法有錯誤;猜測三:公式解有錯誤.并對這些猜測進行分析、排除;經過反復檢查,沒有出現代入、抄寫錯誤,排除猜測一;由于“賦值法”是求解方程的原始方法,排除猜測二;三次方程的公式解已為人們所證實,排除猜測三.

        (2)深入思考,提出猜想:

        問題3:用公式解求解方程x3-7x+6=0后,使得方程x3-7x+6=0從有解到無解,發(fā)生了質的轉變,對此你有何感想?

        引導學生從“方程x3-7x+6=0使用了公式解法后,方程x3-7x+6=0從有解到無解發(fā)生了質的轉變”出發(fā),考慮造成這種結果的原因是用公式法時,基于負數開平方在實數集中無意義,于是得到方程無解的結論.從而提出猜想:負數可以開平方,有意義.

        背景介紹:給出三次方程公式解的數學家卡丹,他在求解三次方程時也遇到了類似問題.但是卡丹并沒有因為這個猜測不合乎情理而置之不理,他堅持繼續(xù)運算,最終算出了結果這與我們用賦值法得到的解的結果一致.

        設計意圖對用兩種方法得到方程x3-7x+6=0的兩個不一致的解的原因進行探討,從而導出問題:負數是否可以可平方?

        (3)尋求猜想的合理性:負數可以開平方,負數開平方后所得的這類數存在于實數之外!

        問題4:負數可以開平方嗎?負數開平方后真的有意義嗎?

        引導學生回顧開平方運算,從開平方運算的概念:若?m∈R,有m2=n,則n≥ 0,記進行思考得到:在過去的學習中,負數不可以開平方是因為實數的平方都是非負數.進而嘗試考察上述命題的逆否命題:若n<0,則?m∈/R,有m2=n,于是發(fā)現猜想的合理性.提出結論:負數應該也可以開平方,只是它并不屬于實數集,它存在于實數集之外!因此,得到有意義,它的意義也在實數集之外.

        因此,這促使我們?yōu)榱饲蠼夥匠绦枰獙崝导M行數系擴充.繼而引導學生列舉一些例子以使學生感受到猜想的合理性:確實存在著許多實數集之外的數.如

        設計意圖分析負數開方的條件,從而使學生理清思路、解決認知沖突,并理解引入新數的必要性.培養(yǎng)演繹推理能力和探究精神.

        (四)形成概念

        (1)形成虛數單位與純虛數的概念:

        稱形如bi(b∈R,b/=0)的數為純虛數,所有純虛數的全體稱為純虛數集.

        設計意圖通過再列舉形如的例子形成純虛數的概念,并提出引入虛數單位i來表示以及用bi(b∈R,b/=0)來簡化表示純虛數.

        (2)進一步尋找其它屬于實數集之外的數:

        問題5:那么除了純虛數以外,還有其它不屬于實數集,而屬于實數集以外的數嗎?

        引導學生仍然從方程入手.此前,從方程求解入手,發(fā)現了在實數集以外存在著大量的數;那么觀察他們使方程的解產生了怎樣的變化?在上述的一次、二次、三次方程中,大量的方程都是有實數解的,而不涉及屬于實數集以外的數.可以考慮,二次方程無實數解的情況(?<0).

        問題6:請結合新學的純虛數的概念求解方程x2+x+1=0.

        學情預設生:方程x2+x+1=0的解為

        引導學生從上述的方程求解中發(fā)現,由于?=-3<0,方程無實數解;于是并不屬于實數集;但是從結構上看,也并不是純虛數,它由實數和純虛數用加減符號連接共同組成.由此可見,不屬于實數集的數還有另外一種類型!

        (3)形成非純虛數的概念:

        稱形如a+bi(a,b∈R,a,b/=0)的數為非純虛數,如,所有非純虛數的全體稱為非純虛數集.

        (4)形成虛數、復數的概念,對新學的數以及已學的數進行歸類:

        把純虛數和非純虛數統(tǒng)稱為虛數,其形式為a+bi(a,b∈R,b/=0);所有虛數全體構成的集合為虛數集.把虛數和實數統(tǒng)稱為復數(complex number),其形式為a+bi(a,b∈R);同時復數常用字母z表示,即有z=a+bi(a,b∈R),這種表示我們稱為復數的代數表示,其中a,b分別為復數的實部和虛部;稱所有復數的全體構成的集合為復數集,記為C.

        于是,可以得到如下的圖示:

        (5)得出結論:除了實數還有其它數,這就是虛數;存在比實數集范圍更大的數集,這就是復數集.

        設計意圖繼續(xù)結合方程進行探究,進一步形成非純虛數、復數的概念以及得到復數的代數形式、復數集與其它數集的關系,使學生更深刻的體會方程與數的聯系.

        (五)鞏固運用

        根據復數的代數形式與純虛數等概念的關系,求解下列問題:

        (1)實數m取什么值時,復數z=m+1+(m-1)i是:(i)實數;(ii)虛數;(iii)純虛數.

        (2)指出下列各數中,哪些是實數,哪些是虛數,哪些是純虛數.為什么?

        學情預設(1)(i)實數,于是m-1=0,即m=1;(ii)虛數,于是m-1/=0,即m/=1;(iii)純虛數,于是m+1=0且m-1/=0,即m=-1.

        設計意圖根據桑代克的練習律與斯金納的強化原理,使學生掌握復數的代數形式與純虛數、實數等的聯系.

        (六)小結與作業(yè)

        (1)課堂小結:與學生共同總結梳理本節(jié)課的復數概念形成思路:

        1、從數學史和已學知識出發(fā),回顧數的發(fā)展過程.

        結論:(1)數學與生活:數的發(fā)展與生產生活有關;(2)數學世界:數的發(fā)展與方程求解有關.

        于是,促使從方程求解出發(fā)思考數的進一步發(fā)展.

        2、在求解方程的過程中,歸納得到方程求解的兩種方法:“賦值法”和“公式解”.其中在這兩種方法下,三次方程x3-7x+6=0得到的解不一致,進而發(fā)現實數集之外的數,而且這個數的平方為負數;同時,意識到實數集已經不夠用了!

        3、引入新的實數集之外的數的概念:虛數單位、純虛數、非純虛數、虛數;以及相應的數集的概念:純虛數集、非純虛數集、虛數集、復數集.此外,還得到了復數的代數表示以及復數集與其它數集的關系.

        純虛數:bi(b∈R,b/=0);

        非純虛數:a+bi(a,b∈R,a,b/=0);

        虛數:a+bi(a,b∈R,b/=0);

        復數(代數表示):z=a+bi∈C(a,b∈R).

        設計意圖歸納本節(jié)所學內容,回顧探索思路歷程,強化數學系擴充的思想.

        (2)作業(yè):

        必做:①課本練習題P104第1題、P106第2、3題;

        思考:①復數是否具有幾何意義?它的幾何意義是什么?結合書本3.1.2.②復數集是否滿足運算規(guī)律(加法結合律、加法交換律、乘法結合律、乘法交換律、乘法對加法的分配律)?

        設計意圖練習強化復數的概念以及相關知識.

        板書設計

        附:

        本教學設計的創(chuàng)新之處

        ①從方程x2+1=0有解入手來引入復數概念是不符合歷史事實的,而且難以讓人接受.根據HPM的教學理念,遵從復數概念發(fā)展的歷史原貌來設計教學.

        ②由灌輸概念式教學轉向揭示數系擴充過程的教學,體現了數學新課程所倡導的過程教學理念.

        ③借用數系發(fā)展的歷史情境和方程求解為線索,問題驅動,環(huán)環(huán)緊扣,層層深入,讓學生經歷了方程求解探索的一般過程,學到的不僅僅是言語連鎖水平的復數概念,而是學到了理解復數概念引入的必要性與合理性,以及數系擴充的思想,化解了復數概念理解的難點.

        [1]何小亞,姚靜.中學數學教學設計[M].北京:科學出版社,2012.

        [2]何小亞.數學學與教的心理學[M].廣州:華南理工大學出版社,2011.

        [3]李忠.復數的故事[M].北京:科學出版社,2011.

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