呂梅柏，趙小鋒，劉廣哲

(1.西北工業(yè)大學(xué)，陜西 西安 710072；2.航天飛行動(dòng)力學(xué)國(guó)防重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710072；3.海軍駐西安導(dǎo)彈設(shè)備軍事代表室，陜西 西安 710065)

0 引言

隨著現(xiàn)代空戰(zhàn)中目標(biāo)機(jī)動(dòng)性的增強(qiáng)及機(jī)動(dòng)方式的增多，對(duì)導(dǎo)彈末制導(dǎo)階段的目標(biāo)準(zhǔn)確跟蹤提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。當(dāng)目標(biāo)機(jī)動(dòng)較大時(shí)會(huì)大大降低導(dǎo)彈的攔截精度，需要對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行濾波，選擇合適的目標(biāo)跟蹤模型和濾波估計(jì)算法是提高目標(biāo)跟蹤精度的有效途徑之一[1]。

在傳統(tǒng)的勻速(CV)、勻加速(CA)及Singer等模型中，選取的狀態(tài)變量無(wú)法對(duì)機(jī)動(dòng)轉(zhuǎn)彎目標(biāo)進(jìn)行準(zhǔn)確描述，而機(jī)動(dòng)轉(zhuǎn)彎模型(CT)通過(guò)引入轉(zhuǎn)彎角速度，較好地解決了坐標(biāo)耦合問(wèn)題[2]。由于空中目標(biāo)的機(jī)動(dòng)具有很大不確定性，采用單一模型無(wú)法完整描述空中大機(jī)動(dòng)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)。交互式多模型算法(IMM)通過(guò)馬爾可夫轉(zhuǎn)移矩陣實(shí)現(xiàn)多個(gè)模型之間的切換，是目前解決未知機(jī)動(dòng)問(wèn)題的一種有效方法[3]。

在導(dǎo)彈末制導(dǎo)階段，由導(dǎo)引頭測(cè)量到的目標(biāo)信息是在球坐標(biāo)系中進(jìn)行描述的，導(dǎo)致系統(tǒng)具有非線性[4-5]。常用的非線性濾波算法有擴(kuò)展卡爾曼濾波算法(EKF)及無(wú)跡卡爾曼濾波算法(UKF)等。EKF算法在線性化的過(guò)程中會(huì)引入模型誤差，在系統(tǒng)的非線性較強(qiáng)時(shí)容易發(fā)散[6]，UKF在使用時(shí)需調(diào)節(jié)三個(gè)參數(shù)，且采樣點(diǎn)數(shù)目的增加導(dǎo)致計(jì)算量增大，不利于進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算。容積卡爾曼濾波算法(CKF)采用一組容積點(diǎn)集計(jì)算隨機(jī)變量在非線性變化后的均值和協(xié)方差，具有更優(yōu)的非線性逼近性能和濾波精度，且實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單[7]。

原始的IMM算法采用了EKF方法，部分文獻(xiàn)將UKF與CKF方法應(yīng)用于IMM算法中，取得了較好的結(jié)果[8-10]。本文采用IMM模型及CKF算法，在導(dǎo)彈末制導(dǎo)階段對(duì)大機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，結(jié)果驗(yàn)證了該方法對(duì)空中大機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤的有效性，且在運(yùn)行時(shí)間上優(yōu)于IMM-UKF算法，適合用于實(shí)時(shí)計(jì)算。

1 機(jī)動(dòng)目標(biāo)與導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)模型

1.1 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型

空中目標(biāo)在正常巡航狀態(tài)下，一般為勻速直線運(yùn)動(dòng)，可以采用(CV)模型進(jìn)行描述，而當(dāng)目標(biāo)發(fā)現(xiàn)來(lái)襲導(dǎo)彈后，往往會(huì)采取機(jī)動(dòng)進(jìn)行逃逸，此時(shí)可以采用機(jī)動(dòng)轉(zhuǎn)彎(CT)模型進(jìn)行描述。假設(shè)目標(biāo)在Oxy平面內(nèi)做勻速等過(guò)載轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)[11]，即

(1)

式中：vt為目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度;ω為轉(zhuǎn)彎角速度。

Xk=Φk,k-1Xk-1+ΓWk-1，

(2)

(3)

CT模型中，

(4)

(5)

1.2 導(dǎo)彈制導(dǎo)模型

設(shè)(xt,yt,zt),(xm,ym,zm)分別為目標(biāo)和導(dǎo)彈在慣性坐標(biāo)系下任意時(shí)刻的坐標(biāo)，則導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為[12]

(6)

目標(biāo)視線旋轉(zhuǎn)角速度為

(7)

(8)

采用廣義比例導(dǎo)引律，則導(dǎo)彈的制導(dǎo)控制方程為

(9)

1.3 導(dǎo)引頭測(cè)量模型

建立導(dǎo)引頭觀測(cè)方程

Zk=h(Xk)+Vk,

(10)

式中：觀測(cè)向量為Zk=(φ,ε,r)T;Vk是均值為0，協(xié)方差陣為R的高斯白噪聲向量;h(·)為非線性函數(shù)，且

(11)

2 IMM-CKF算法

2.1 簡(jiǎn)化容積卡爾曼濾波算法

CKF基于三階球面徑向容積準(zhǔn)則，通過(guò)一組等權(quán)值的容積點(diǎn)來(lái)近似計(jì)算非線性系統(tǒng)中的概率積分。采用文獻(xiàn)[13]中的簡(jiǎn)化CKF算法，計(jì)算步驟如下：

(1) 時(shí)間更新

狀態(tài)預(yù)測(cè)：

(12)

預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣：

Pk|k-1=ΦPk-1ΦT+ΓQk-1ΓT.

(13)

(2) 量測(cè)更新

權(quán)值：

(14)

容積點(diǎn)估計(jì)：

(15)

容積點(diǎn)傳播：

zl,k=h(xl,k).

(16)

量測(cè)預(yù)測(cè)值：

(17)

新息方差矩陣：

(18)

協(xié)方差矩陣：

(19)

最優(yōu)增益：

(20)

狀態(tài)更新：

(21)

誤差協(xié)方差矩陣更新：

(22)

2.2 基于簡(jiǎn)化CKF的IMM算法

基于CV,CT 2種運(yùn)動(dòng)模型設(shè)計(jì)交互式多模型，設(shè)計(jì)步驟如下[14-15]：

(1) 輸入交互

計(jì)算聯(lián)合概率矩陣：

(23)

將每一列相加，得到在k+1時(shí)刻模型j的預(yù)測(cè)概率：

(24)

則輸入交互概率為

(25)

根據(jù)輸入交互概率對(duì)當(dāng)前狀態(tài)和估計(jì)方差進(jìn)行交互計(jì)算：

(26)

(27)

(2) 濾波更新

(3) 模型概率更新

模型j的似然函數(shù)為

Λj(k+1)=

(28)

模型j的更新概率為

(29)

(4) 模型輸出

狀態(tài)估計(jì)為

(30)

誤差協(xié)方差陣為

(31)

3 仿真校驗(yàn)

3.1 仿真流程及參數(shù)設(shè)置

為了驗(yàn)證IMM模型及CKF算法對(duì)于導(dǎo)彈末制導(dǎo)階段對(duì)大機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤的準(zhǔn)確性，采取如下仿真計(jì)算流程：

(1) 初始化導(dǎo)彈及目標(biāo)位置、速度、加速度等運(yùn)動(dòng)參數(shù)，初始化濾波器參數(shù)；

(2) 根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程計(jì)算目標(biāo)當(dāng)前時(shí)刻的真實(shí)運(yùn)動(dòng)參數(shù)；

(3) 根據(jù)上一時(shí)刻的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)估計(jì)值及導(dǎo)彈實(shí)際運(yùn)動(dòng)參數(shù)計(jì)算導(dǎo)彈加速度，并利用導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)方程計(jì)算導(dǎo)彈當(dāng)前時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)參數(shù)；

(4) 根據(jù)導(dǎo)引頭觀測(cè)方程產(chǎn)生帶有噪聲的導(dǎo)引頭觀測(cè)數(shù)據(jù)；

(5) 采用IMM-CKF算法估計(jì)目標(biāo)當(dāng)前時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)參數(shù)；

(6) 判斷彈目距離是否小于給定值，若是，結(jié)束仿真，否則，返回第(2)步。

仿真參數(shù)設(shè)置如下：

目標(biāo)初始位置為(8 000，2 000，8 000)，初始速度為(80，20，40)，機(jī)動(dòng)轉(zhuǎn)彎角速度ω=0.5 rad/s，在0～12 s內(nèi)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，在12～20 s內(nèi)進(jìn)行機(jī)動(dòng)轉(zhuǎn)彎，在20～23 s內(nèi)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，在23 s以后進(jìn)行機(jī)動(dòng)轉(zhuǎn)彎。

導(dǎo)彈初始位置位于原點(diǎn)，速度為500 m/s，初始彈道傾角θ=0，初始彈道偏角ψV=0，比例導(dǎo)引系數(shù)N取為3。

仿真步長(zhǎng)T=0.02 s，過(guò)程噪聲協(xié)方差陣為Qw=diag(12,12,12)，導(dǎo)引頭測(cè)量噪聲協(xié)方差陣Rr=diag(0.012,0.012,1002)，濾波器初始化參數(shù)為

(32)

模型轉(zhuǎn)移概率矩陣為

(33)

采用蒙特卡羅仿真方法進(jìn)行多次仿真，用均方根誤差衡量目標(biāo)跟蹤偏差，位置誤差及速度誤差分別為

(34)

3.2 仿真結(jié)果

在Matlab中進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖1～6所示。

由圖1中導(dǎo)彈與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡圖可以看出，盡管目標(biāo)進(jìn)行了多次大機(jī)動(dòng)，最終導(dǎo)彈仍然能夠命中目標(biāo)，由圖2目標(biāo)真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡與目標(biāo)軌跡估計(jì)值可以看出，IMM-CKF方法能夠克服初始誤差準(zhǔn)確跟蹤目標(biāo)，在目標(biāo)勻速直線運(yùn)動(dòng)與機(jī)動(dòng)轉(zhuǎn)彎階段能夠?qū)崿F(xiàn)平滑切換，使濾波穩(wěn)定收斂。

由圖3與圖4的導(dǎo)彈法向加速度曲線可以看出，導(dǎo)彈法向加速度隨著目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模式的轉(zhuǎn)換而發(fā)生改變，且由于濾波誤差的存在有一定程度的抖動(dòng)。

分別采用CKF與UKF方法濾波，進(jìn)行100次蒙特卡羅仿真，圖5與圖6分別為目標(biāo)位置估計(jì)均方根誤差與目標(biāo)速度估計(jì)均方根誤差。

由估計(jì)誤差結(jié)果可以看出，在目標(biāo)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)模式切換時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大的濾波誤差，此時(shí)IMM算法會(huì)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)模型切換，逐漸穩(wěn)定跟蹤目標(biāo)。由UKF與CKF方法的對(duì)比可以看出，2種方法在估計(jì)精度上相差不大，表1為100次仿真2種方法的用時(shí)對(duì)比，可以看出CKF方法比UKF方法所用時(shí)間更短，適合用于實(shí)時(shí)計(jì)算。

表1 IMM-CKF與IMM-UKF仿真時(shí)間對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)空中大機(jī)動(dòng)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了分析建模，同時(shí)建立了導(dǎo)彈制導(dǎo)模型及導(dǎo)引頭測(cè)量模型。結(jié)合IMM算法與簡(jiǎn)化CKF濾波算法在導(dǎo)彈末制導(dǎo)階段對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，通過(guò)仿真驗(yàn)證了估計(jì)方法的有效性。

由蒙特卡羅仿真結(jié)果得出CKF與UKF 2種濾波方法精度相當(dāng)，且CKF方法在時(shí)間上更有優(yōu)勢(shì)，IMM算法中對(duì)多個(gè)模型進(jìn)行濾波處理的過(guò)程可以并行實(shí)現(xiàn)，因此本文采用的IMM-CFK非常適合用于彈載計(jì)算機(jī)，具有較好的工程參考價(jià)值。

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