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        常見不定積分類型題的計(jì)算方法分析

        2018-04-29 00:00:00張延利
        大東方 2018年12期

        摘 要:不定積分的積分法歷來是一元函數(shù)積分學(xué)的重點(diǎn),是整個積分學(xué)的基礎(chǔ)知識。同時,也是后續(xù)專業(yè)課中積分?jǐn)?shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)和難點(diǎn)。對于一元函數(shù)不定積分的求解,每年都是專升本考試中的必考內(nèi)容,也是學(xué)生比較難以掌握的知識點(diǎn)。

        關(guān)鍵詞:一元函數(shù);換元;不定積分;分部積分

        1 不定積分的概念

        函數(shù)的全部原函數(shù)叫作的不定積分,記作:.

        其中“∫”稱為積分號,稱為被積函數(shù),稱為被積表達(dá)式,x稱為積分變量[1].

        由上面的討論可知,如果是的一個原函數(shù),則有:

        其中C是任意常數(shù),稱為積分常數(shù).

        注意:不定積分的實(shí)質(zhì)就是通過導(dǎo)數(shù)尋找原函數(shù)。

        2 不定積分的求解

        2.1 被積函數(shù)為一個函數(shù)的情形

        1、被積函數(shù)為一個未復(fù)合的函數(shù)

        (1)直接公式法

        直接用不定積分的基本公式與性質(zhì)求不定積分,或者對被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?/p>

        (包括代數(shù)變形與三角變形),再利用不定積分基本公式與

        性質(zhì)求不定積分的方法叫作直接積分法[2].例如,。

        (2)分部積分法

        設(shè)函數(shù)與具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)[3],則有分部積分公式

        或簡寫為.

        注:對于u和v'的確定上常采用確定v'的方法進(jìn)行:v'的選擇按照以下優(yōu)先選擇方法:指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)。

        例如

        當(dāng)被積函數(shù)為一個函數(shù)且不能由直接積分法求得時,采用分部積分法求解。

        如,即可。

        2、被積函數(shù)為一個且復(fù)合的函數(shù)

        對于被積函數(shù)為一個且是復(fù)合函數(shù)的積分,常采用換元法將復(fù)合部分代換求解。

        例如,

        注意:當(dāng)換元以后的積分采用的積分方法為:被積函數(shù)為一個未復(fù)合的函數(shù)。

        2.2 被積函數(shù)為兩個函數(shù)的情形

        1、被積函數(shù)均為不復(fù)合函數(shù)

        (1)一個函數(shù)與另一個函數(shù)沒有導(dǎo)數(shù)關(guān)系的情形

        當(dāng)一個函數(shù)與另一個函數(shù)沒有導(dǎo)數(shù)關(guān)系時,采用的方法為:分部積分法。

        例如,,

        (2)一個函數(shù)與另一個函數(shù)有導(dǎo)數(shù)關(guān)系的情形

        例如,,因?yàn)?/p>

        當(dāng)一個函數(shù)與另一個函數(shù)沒有導(dǎo)數(shù)關(guān)系時,采用的方法為:分部積分法。

        2、被積函數(shù)一個復(fù)合而另一個未復(fù)合

        (1)復(fù)合函數(shù)的復(fù)合部分導(dǎo)數(shù)是另一個函數(shù)的常數(shù)倍的情形

        復(fù)合函數(shù)的復(fù)合部分導(dǎo)數(shù)是另一個函數(shù)的常數(shù)倍時,采用方法為:湊微分換元法。

        (2)復(fù)合函數(shù)的復(fù)合部分導(dǎo)數(shù)不是另一個函數(shù)的常數(shù)倍的情形

        當(dāng)復(fù)合函數(shù)的復(fù)合部分導(dǎo)數(shù)不是另一個函數(shù)的常數(shù)倍時,采用換元法將復(fù)合部分代換,然后求解。

        3、被積函數(shù)為兩個均為復(fù)合的函數(shù)

        若被積函數(shù)為兩個均復(fù)合的函數(shù),先進(jìn)行分解,再兩用上述方法對應(yīng)求解。

        例如,

        對于采用換元法:對于,首先采用換元法,變形為:,再利用分部積分法求解。

        2.3 被積函數(shù)為兩個以上函數(shù)

        對于被積函數(shù)為兩個或兩個以上的函數(shù),常采用合并轉(zhuǎn)化為一個獲兩個函數(shù)進(jìn)行求解。

        例如,,首先利用積化和差公式將進(jìn)行化簡,然后對被積函數(shù)進(jìn)行分解求解。

        2.4 被積函數(shù)為二次根式類型

        被積函數(shù)為二次根式類型的積分采用兩種方法進(jìn)行求解。

        1、直接公式法

        例如,.

        2、三角代換法

        當(dāng)直接公式法無法求解時,常采用三角代換法[4]。

        例如,,令,

        則.再利用相應(yīng)的方法進(jìn)行求解即可。

        3 總結(jié)

        以上就是一元函數(shù)的不定積分的常見題目的方法分析,在相應(yīng)題目的計(jì)算上,應(yīng)具體問題具體分析,尋求簡單準(zhǔn)確的方法進(jìn)行計(jì)算,達(dá)到快速準(zhǔn)確的目的。

        基金項(xiàng)目:瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院2015年度院級教改項(xiàng)目(JG-201504);瀘州市職業(yè)教育研究中心2016年度研究課題(LZJY-2016-18)

        參考文獻(xiàn)

        [1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2010.

        [2]葉永春,朱勤.高等數(shù)學(xué)及應(yīng)用[M].北京:北京大學(xué)出版社,2014.

        [3]熊慶如.高等數(shù)學(xué)[M].西安:西安交通出版社,2015.

        [4]陳廣生.高職院?!陡叩葦?shù)學(xué)》課堂教學(xué)最優(yōu)化研究[J].大眾科技,2010,(12).

        作者簡介:

        張延利(1980.9-),男,山東萊蕪人,碩士,講師,從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)。

        (作者單位:瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部)

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