盧小華，張艷慧，鄭宇軒

（北京工商大學(xué) 數(shù)學(xué)系，北京 100048）

0 引言

隨著金融高頻數(shù)據(jù)的普及，用小波分析方法對(duì)“原始信號(hào)”——金融高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行多分辨率分析，達(dá)到高頻處時(shí)間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，進(jìn)而估計(jì)其波動(dòng)率的目的，具有很好的應(yīng)用前景。此外，小波分析在計(jì)算機(jī)應(yīng)用、信號(hào)處理、圖像分析等領(lǐng)域也有著廣泛應(yīng)用。

目前已有許多學(xué)者對(duì)金融高頻數(shù)據(jù)的波動(dòng)率進(jìn)行研究，如Andersen等[1]提出的實(shí)際波動(dòng)率及其改進(jìn)[2]和Lunde等[3]提出的積分波動(dòng)率的小波估計(jì)。實(shí)際波動(dòng)率作為積分波動(dòng)率的估計(jì)，開(kāi)啟了對(duì)金融高頻數(shù)據(jù)波動(dòng)率研究的熱潮；而由于金融高頻數(shù)據(jù)和小波分析中的信號(hào)具有相同的特性，因此可將收益率序列看成一輸入信號(hào)，從小波的角度來(lái)描述信號(hào)的波動(dòng)問(wèn)題。

秦喜文等[4]在小波估計(jì)基礎(chǔ)上利用5分鐘高頻交易數(shù)據(jù)，通過(guò)極大重疊離散小波變換方法對(duì)資產(chǎn)收益的積分波動(dòng)率進(jìn)行估計(jì)，克服了普通離散小波變換對(duì)樣本容量的限制問(wèn)題。受此啟發(fā)，本文采用上證綜指1分鐘高頻交易數(shù)據(jù)，利用極大重疊離散小波變換方法對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行估計(jì)，并與實(shí)際波動(dòng)率估計(jì)方法進(jìn)行比較，同時(shí)考察了不同采樣頻率下兩種估計(jì)方法的差異程度。

1 積分波動(dòng)率的估計(jì)方法

1.1 小波分析方法

小波變換是空間和頻率的局部變換，可對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度的細(xì)化分析，因而能有效地從信號(hào)中提取信息。極大重疊離散小波變換(MODWT)克服了離散小波變換(DWT)對(duì)樣本容量的限制問(wèn)題，且由于沒(méi)有下采樣過(guò)程，在對(duì)非平穩(wěn)時(shí)間序列分解時(shí)，能最大限度減少數(shù)據(jù)信息的遺失[4,5]。因此，本文采用極大重疊離散小波變換方法估計(jì)積分波動(dòng)率。

設(shè)Pt是資產(chǎn)的對(duì)數(shù)價(jià)格過(guò)程，定義式（1）為[ ]t，t+1時(shí)間段的連續(xù)復(fù)合收益率。

假定資產(chǎn)對(duì)數(shù)價(jià)格Pt服從伊藤過(guò)程，即滿足：

這里μt和σt分別表示漂移項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)，且均為隨機(jī)過(guò)程；ωt服從標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。對(duì)式（2）兩側(cè)積分有：

其中等號(hào)右邊第一項(xiàng)來(lái)源于有限變差過(guò)程，第二項(xiàng)為伊藤積分，來(lái)源于局部鞅[6]。用表示由生成的σ-域，則有：

稱對(duì)數(shù)收益率rt的方差為[t，t+1] 時(shí)間段的積分波動(dòng)率。它表明了在連續(xù)時(shí)間下價(jià)格波動(dòng)的定義，故波動(dòng)率在金融市場(chǎng)中具有重要的參考價(jià)值，因而對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)是十分必要的。下面先簡(jiǎn)單介紹一下積分波動(dòng)率的小波估計(jì)方法。

令分別是極大重疊離散小波變換的第j層小波濾波器和尺度濾波器，長(zhǎng)度為L(zhǎng)j=(2j-1)(L-1)+1。當(dāng)j=1時(shí)，L1=L是單位尺度濾波器的長(zhǎng)度，其中:

且{hj，l} ，{gj，l}是j級(jí)DWT小波濾波器和尺度濾波器。設(shè)X是一個(gè)N維向量，其元素為實(shí)值的時(shí)間序列{Xt，t=0，1，…，N-1}，其中N為任意整數(shù)，則X經(jīng)過(guò)第j層極大重疊離散小波變換的小波系數(shù)向量和尺度系數(shù)向量分別為:

其元素分別為：

假設(shè){Xt，t=…，-1，0，1，…} 是一個(gè)離散參數(shù)的實(shí)值隨機(jī)過(guò)程，則經(jīng)過(guò)MODWT小波濾波器濾波后的隨機(jī)過(guò)程記為

j波方差為：

因而可以將過(guò)程{Xt}的方差依尺度τj分解，得到：

可知在尺度τj下小波方差越大，則對(duì){Xt}總體方差的貢獻(xiàn)度越大，從而小波方差有助于在不同尺度下清晰地研究過(guò)程的波動(dòng)持續(xù)性特征[8]，且當(dāng){Xt}非平穩(wěn)，var(Xt)無(wú)窮大。

假設(shè){Xt}是一個(gè)具有平穩(wěn)d階后向差分的非平穩(wěn)過(guò)程，{Xt，t=0，1，…，N-1} 是過(guò)程{Xt}的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，在對(duì)小波方差進(jìn)行估計(jì)時(shí)，本文選取長(zhǎng)度為L(zhǎng)(L≥2d)的小波濾波器，且當(dāng)L足夠大時(shí)，滿足從而有：

對(duì)于一組給定的含有dPt的n個(gè)觀測(cè)值的樣本，定義jn=[lo g2(n)-1]，則：

1.2 實(shí)際波動(dòng)率

實(shí)際波動(dòng)率也稱已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，定義式（16）為日對(duì)數(shù)收益率的實(shí)際波動(dòng)率[10]。

其中rt，i表示第t天的第i個(gè)對(duì)數(shù)收益率，n為第t天的對(duì)數(shù)收益率的個(gè)數(shù)。

為了考慮[t，t+1]時(shí)間段內(nèi)的收益波動(dòng)，對(duì)[t，t+1] 進(jìn)行離散劃分：

由于伊藤過(guò)程二次變差完全由伊藤積分貢獻(xiàn)，則利用伊藤積分二次變差有：

由式(19)可知，在時(shí)間間隔合理的條件下，實(shí)際波動(dòng)率可用來(lái)估計(jì)積分波動(dòng)率。

2 實(shí)證分析

本文選取上證綜指2016年4月18日至2016年10月21日正常交易時(shí)間的1分鐘高頻交易數(shù)據(jù)作為樣本，在計(jì)算對(duì)數(shù)收益率時(shí)，采用區(qū)間的最后一個(gè)交易價(jià)格作為該區(qū)間的股票價(jià)格，并選用Daubechies、Least Asymmetric、Coiflets、Haar這4種小波函數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行極大重疊離散小波變換，估計(jì)積分波動(dòng)率。同時(shí)為了對(duì)比，本文也利用實(shí)際波動(dòng)率來(lái)估計(jì)積分波動(dòng)率。

圖1 實(shí)際波動(dòng)率與不同小波函數(shù)對(duì)積分波動(dòng)率估計(jì)的時(shí)序圖

從積分波動(dòng)率不同估計(jì)方法比較可知（見(jiàn)圖1），4種小波函數(shù)估計(jì)的積分波動(dòng)率時(shí)序圖與實(shí)際波動(dòng)率時(shí)序圖差別均很小，變化趨勢(shì)一致，圖形基本吻合，其中IVd、IVl、IVc、IVh分別表示用Daubechies、Least Asymmetric、Coiflets、Haar小波函數(shù)對(duì)積分波動(dòng)率的小波估計(jì)，RV為實(shí)際波動(dòng)率。

以1分鐘交易數(shù)據(jù)為樣本，分別抽取5分鐘和10分鐘間隔數(shù)據(jù)作為新樣本L1和新樣本L2，其中5分鐘間隔抽樣規(guī)則為：從原始樣本第一個(gè)數(shù)據(jù)開(kāi)始數(shù)，數(shù)到第5個(gè)作為L(zhǎng)1的第一個(gè)數(shù)據(jù)，再往后數(shù)5個(gè)，即第10個(gè)數(shù)作為新樣本的第2個(gè)數(shù)據(jù)，并以此類推，得到新樣本L1。10分鐘間隔數(shù)據(jù)也采用同樣抽樣規(guī)則，得到新樣本L2。利用新樣本L1和L2計(jì)算實(shí)際波動(dòng)率與積分波動(dòng)率的小波估計(jì)，并以實(shí)際波動(dòng)率與小波估計(jì)的相對(duì)誤差ξ=(IV-RV)/RV為研究指標(biāo)，其中IV表示積分波動(dòng)率的小波估計(jì)，則得到不同采樣頻率下的4種相對(duì)誤差。結(jié)果如表1所示。

表1 不同小波函數(shù)下的相對(duì)誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果

由表1可知在相同抽樣頻率下，利用不同小波函數(shù)估計(jì)得到的相對(duì)誤差的各均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度和峰度均比較接近，且都是左偏的，說(shuō)明利用極大重疊離散小波變換估計(jì)積分波動(dòng)率對(duì)所選用的小波函數(shù)不敏感，無(wú)論采用哪種小波函數(shù)，采樣間隔是1分鐘和5分鐘的相對(duì)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差均明顯小于10分鐘采用間隔。特別地，對(duì)于5分鐘采樣間隔，相對(duì)誤差的均值絕對(duì)值最小。

從不同抽樣頻率各小波函數(shù)估計(jì)的相對(duì)誤差的直方圖可知，無(wú)論選取哪種小波函數(shù)及采樣頻率，實(shí)際波動(dòng)率與積分波動(dòng)率的小波估計(jì)的相對(duì)誤差均小于零，說(shuō)明利用極大重疊離散小波變換方法估計(jì)積分波動(dòng)率時(shí)比實(shí)際波動(dòng)率要小，且從圖中可以看出5分鐘采樣頻率下相對(duì)誤差趨于零的天數(shù)明顯比1分鐘和10分鐘的多，即5分鐘采樣間隔下積分波動(dòng)率小波估計(jì)與實(shí)際波動(dòng)率最接近。從10分鐘相對(duì)誤差直方圖可以看出，相較于1分鐘和5分鐘，不同小波函數(shù)得到的估計(jì)值與實(shí)際波動(dòng)率的誤差均變大，從尾部可以看出，極端值越來(lái)越多，說(shuō)明有更大的誤差出現(xiàn)。

3 結(jié)論

高頻數(shù)據(jù)由于包含了更多的有效信息，能更加細(xì)膩地刻畫(huà)金融市場(chǎng)的細(xì)節(jié)，因而在對(duì)金融資產(chǎn)收益率的波動(dòng)性進(jìn)行研究時(shí)，金融高頻波動(dòng)率有著低頻數(shù)據(jù)無(wú)法比擬的信息優(yōu)勢(shì)。實(shí)際波動(dòng)率作為金融高頻數(shù)據(jù)波動(dòng)率的度量，無(wú)模型，計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)便，而受到熱烈追捧。小波變換方法由于具有多分辨率特性，可以對(duì)信息成分采取逐漸精細(xì)的時(shí)域與頻域處理，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，因而得到廣泛應(yīng)用。本文首先用1分鐘高頻數(shù)據(jù)對(duì)波動(dòng)率研究，得到實(shí)際波動(dòng)率與基于極大重疊離散小波變換的積分波動(dòng)率的小波估計(jì)時(shí)序圖基本吻合，然后對(duì)不同采樣間隔下的實(shí)際波動(dòng)率與積分波動(dòng)率小波估計(jì)進(jìn)行比較分析，無(wú)論選取何種小波函數(shù)及抽樣頻率，小波估計(jì)均低于實(shí)際波動(dòng)率。在頻率較高時(shí)，小波估計(jì)與實(shí)際波動(dòng)率比較接近。特別在5分鐘采樣間隔下，小波估計(jì)與實(shí)際波動(dòng)率最接近，說(shuō)明5分鐘采樣頻率對(duì)波動(dòng)率具有良好估計(jì)效果，且大部分學(xué)者均是基于5分鐘采樣間隔進(jìn)行研究的[4,9,11]。同時(shí)在所選樣本中，也可以得到小波函數(shù)的選取對(duì)小波估計(jì)無(wú)明顯差異。

參考文獻(xiàn)：

[1]Andersen T G，Bollerslev T，Diebold F X，et al.The Distribution of Realized Stock Return Volatility[J].Financ Econ，2001b，(61).

[2]Barndorff-Nielsen O E，Shephard N.Power and Bipower Variation With Stochastic Volatility and Jumps[J].Journal of Financial Econo?metrics，2004，2(1).

[3]Lunde A，Hoeg E.Wavelet Estimation of Integrated Volatility[J].Com?puting in Economics&Finance，2003，33(2).

[4]秦喜文，劉文博，董小剛等.基于極大重疊離散小波變換的金融高頻數(shù)據(jù)波動(dòng)率估計(jì)[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2014，52(6).

[5]Percival D B，Walden A T.Wavelet Methods for Time Series Analysis[M].Cambridge:Cambridge University Press，2006.

[6]韓清，劉永剛.已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率估計(jì)中不同降噪方法的比較分析及實(shí)證[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2009,(8).

[7]Daubechies I.Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets[J].Communications on Pure and Applied Mathematics，1988，41(7).

[8]高靜.基于小波分析的高頻時(shí)間序列研究[D].天津:天津大學(xué)碩士論文,2007.

[9]蔡豐澤.基于小波分析的金融高頻數(shù)據(jù)波動(dòng)率估計(jì)研究[D].長(zhǎng)春：長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)碩士論文,2016.

[10][美]Ruey S.Tsay.金融數(shù)據(jù)分析導(dǎo)論:基于R語(yǔ)言[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2013.

[11]劉文博.小波分析方法在高頻金融數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用[D].長(zhǎng)春：長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)碩士論文,2010.