王旭瀅，包為民，孫逸群，鐘 華，顧 錦

(1.河海大學(xué)水文水資源學(xué)院，江蘇南京210098；2.南京水利科學(xué)研究院，江蘇南京210029；3.衢州市人民政府防汛防旱指揮部辦公室，浙江衢州324000)

0 引 言

水文模擬預(yù)報(bào)是防汛抗旱、水資源優(yōu)化配置的依據(jù)和前提，自然界的水文過(guò)程受多方面因素，如氣候、下墊面、人類活動(dòng)等的影響，這些影響因素可以通過(guò)水文模擬中的模型輸入、模型結(jié)構(gòu)、模型參數(shù)的不確定性來(lái)反映，如何減小預(yù)測(cè)過(guò)程中的不確定性是目前水文研究的熱點(diǎn)和前沿話題[1]。水文過(guò)程不確定性包括模型輸入、模型結(jié)構(gòu)和模型參數(shù)3個(gè)方面[2-3]。模型是水文預(yù)報(bào)模擬的重要手段，以新安江模型為代表的概念性流域水文模型在濕潤(rùn)、半濕潤(rùn)地區(qū)得到了廣泛應(yīng)用。新安江模型的參數(shù)是流域地形地貌以及受人類活動(dòng)影響程度的體現(xiàn)，具有明確的物理意義。但是，由于參數(shù)冗余以及參數(shù)之間相關(guān)性的存在，在率定參數(shù)時(shí)會(huì)出現(xiàn)“異參同效”的現(xiàn)象。

目前，水文模型參數(shù)不確定分析最常用的方法是Beven[4]等提出的普適似然不確定性估計(jì)方法(Generalized Likelihood Uncertainty Estimation，GLUE)。該方法認(rèn)為，決定模擬結(jié)果好壞的是模型的參數(shù)組合，而非單個(gè)參數(shù)值。GLUE方法在水文模型參數(shù)不確定性分析中已有廣泛的應(yīng)用，尤其是針對(duì)新安江模型以及TOPMODEL的日模參數(shù)[5- 8]。但GLUE方法的假設(shè)條件是參數(shù)之間相互獨(dú)立，忽略了參數(shù)相關(guān)性帶來(lái)的不確定因素，且研究對(duì)象主要以日模參數(shù)為主。張利茹[9]等采用GLUE方法探討了新安江模型次洪模型參數(shù)的不確定性問(wèn)題；林凱榮[10-11]等采用Copula函數(shù)描述參數(shù)之間相關(guān)關(guān)系，基于Copula-GLUE方法分析了TOPMODEL日模參數(shù)的不確定性，對(duì)GLUE方法進(jìn)行了改善。本文以湖北陸水水庫(kù)和浙江白水坑水庫(kù)流域?yàn)槔?，采用Copula-GLUE方法分析新安江模型次洪模型參數(shù)的不確定性問(wèn)題。

1 Copula-GLUE分析參數(shù)不確定性方法

1.1 Copula函數(shù)

Copula函數(shù)又稱“連接函數(shù)”，其作用是將一維分布函數(shù)連接起來(lái)形成多維概率分布函數(shù)，在描述變量相關(guān)性方面具有獨(dú)特的靈活性。1959年Copula函數(shù)首次被引入統(tǒng)計(jì)學(xué)中，用以彌補(bǔ)傳統(tǒng)線性相關(guān)概率分析方法的不足。本文采用Gumbel-Hougard Copula函數(shù)和Clayton Copula函數(shù)來(lái)定義模型參數(shù)之間的相關(guān)性結(jié)構(gòu)，這2種函數(shù)形式均屬于阿基米德族，適用于描述正相關(guān)關(guān)系[12-13]。Gumbel-Hougard Copula函數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式為

C(u，v)=C{FX(x)，F(xiàn)Y(y) }
=exp{-[(-lnu)θ+(-lnv)θ]1/θ}

(1)

Clayton Copula函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

C(u，v)=C{FX(x)，F(xiàn)Y(y) }=[u-θ+v-θ-1]-1/θ

(2)

式中，u，v表示待研究的變量；C(u，v)表示雙變量的聯(lián)合分布函數(shù)；θ為Copula函數(shù)參數(shù)，θ越大，相關(guān)性越高，當(dāng)θ=1時(shí)，表明變量相互獨(dú)立。

(3)

Gumbel-Hougard Copula函數(shù)參數(shù)θ與Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ的計(jì)算關(guān)系為

(4)

Clayton Copula函數(shù)參數(shù)θ與Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ的計(jì)算關(guān)系為

(5)

1.2 Copula-GLUE方法

在GLUE方法的基礎(chǔ)上，Copula-GLUE方法(以下簡(jiǎn)稱“CGLUE”)在參數(shù)采樣上進(jìn)行了改進(jìn)，其流程見(jiàn)圖1。圖中，虛線框內(nèi)為傳統(tǒng)的GLUE方法，與傳統(tǒng)的Montecarlo隨機(jī)采樣不同的是：CGLUE改進(jìn)了采樣方法，將參數(shù)分為獨(dú)立參數(shù)和相關(guān)參數(shù)，對(duì)獨(dú)立參數(shù)直接采樣，對(duì)相關(guān)參數(shù)使用Copula函數(shù)隨機(jī)生成[11]。其具體步驟如下：

(1)采用傳統(tǒng)的GLUE方法生成高于似然函數(shù)閾值的有效參數(shù)組。

(2)計(jì)算Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ，確定參數(shù)之間是否存在相關(guān)性，計(jì)算Copula參數(shù)θ。

(3)根據(jù)新安江模型參數(shù)物理意義預(yù)設(shè)參數(shù)取值范圍，其中1個(gè)參數(shù)用Montecarlo方法進(jìn)行采樣，另1個(gè)則用Copula函數(shù)生成。

(4)以步驟(3)所獲得樣本代入模型進(jìn)行模擬，取高于似然函數(shù)閾值的有效參數(shù)組合。

圖1 CGLUE流程

(5)將有效參數(shù)組合參照似然函數(shù)大小進(jìn)行排序，從而獲取一定置信水平下的模型預(yù)報(bào)不確定區(qū)間，當(dāng)有新數(shù)據(jù)進(jìn)入時(shí)，采用貝葉斯方法進(jìn)行更新。

2 實(shí)例應(yīng)用

本文以湖北省陸水水庫(kù)與浙江白水坑水庫(kù)為例。其中，陸水水庫(kù)摘取1979年～1985年3場(chǎng)洪水資料，白水坑水庫(kù)摘取2004年～2009年6場(chǎng)洪水資料。根據(jù)新安江模型預(yù)報(bào)結(jié)果評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)，以Nash-Sutcliffe確定性系數(shù)作為似然函數(shù)，以0.8為閾值進(jìn)行參數(shù)優(yōu)選。確定性系數(shù)DC計(jì)算公式如下

(6)

2.1 模型參數(shù)

新安江模型是在長(zhǎng)期實(shí)踐和水文規(guī)律探索的基礎(chǔ)上建立的概念型模型[14]，其參數(shù)大多具有明確物理意義。根據(jù)模型計(jì)算過(guò)程，可將參數(shù)劃分為4個(gè)層次：第1層次為蒸散發(fā)計(jì)算參數(shù)，包括流域蒸散發(fā)折算系數(shù)KC、上層張力水蓄水容量UM、下層張力水蓄水容量LM、深層蒸散發(fā)折算系數(shù)C；第2層次為產(chǎn)流計(jì)算參數(shù)，包括流域平均張力水容量WM、張力水蓄水容量曲線指數(shù)B、不透水面積比例IM；第3層次為水源劃分參數(shù)，包括表層自由水蓄水容量SM、表層自由水蓄水容量曲線指數(shù)EX、自由水蓄水庫(kù)對(duì)地下水的日出流系數(shù)KG、自由水蓄水庫(kù)對(duì)壤中流的日出流系數(shù)KI；第4層次為匯流計(jì)算參數(shù)，包括壤中流消退系數(shù)CI、地下水消退系數(shù)CG、地面徑流消退系數(shù)CS、滯后時(shí)間L、馬斯京根演算參數(shù)KE、馬斯京根演算參數(shù)XE。新安江模型參數(shù)之間是不獨(dú)立的，不僅存在層次內(nèi)相關(guān)性，也存在層次之間的參數(shù)相關(guān)性。本文重點(diǎn)討論關(guān)系相對(duì)比較復(fù)雜的第3層參數(shù)SM、KI、KG之間的相關(guān)性。

從物理過(guò)程角度看，水源劃分過(guò)程的實(shí)質(zhì)是通過(guò)自由水箱對(duì)徑流R進(jìn)行分配，自由水蓄水容量SM控制著地面徑流RS的大小，地下水出流系數(shù)KG以及壤中流出流系數(shù)KI則決定了地下水RG與壤中流RI的比例。由于RS+RI+RG+ΔS=R。式中，ΔS為自由水箱補(bǔ)充水量。線性水庫(kù)的結(jié)構(gòu)導(dǎo)致了這3個(gè)參數(shù)之間的不獨(dú)立性，在參數(shù)率定時(shí)，可增加結(jié)構(gòu)性約束條件縮小尋優(yōu)范圍。

2.2 僅考慮相關(guān)參數(shù)的不確定性分析

以陸水水庫(kù)為研究區(qū)域，選擇新安江模型中存在相關(guān)性的3個(gè)參數(shù)SM、KI、KG作為研究對(duì)象，假設(shè)參數(shù)服從均勻分布，SM取值范圍為0.01～60、KI為0.01～0.7、KG為0.01～0.7。

陸水水庫(kù)所處區(qū)域退水時(shí)長(zhǎng)大約在3 d左右，因此結(jié)構(gòu)性約束KI+KG=0.7有效。在結(jié)構(gòu)性約束的前提下，在取值范圍內(nèi)進(jìn)行Montecarlo隨機(jī)采樣10 000次；將隨機(jī)采樣得到的參數(shù)組帶入模型進(jìn)行計(jì)算，得到10 000個(gè)模擬結(jié)果；取確定性系數(shù)大于0.8的為有效參數(shù)組合，并進(jìn)行相關(guān)性分析。以SM與KI為相關(guān)性分析對(duì)象，計(jì)算Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ以及Copula函數(shù)參數(shù)θ，分析結(jié)果見(jiàn)圖2。從圖2可知，SM與KI散點(diǎn)圖聚集成1條線，參數(shù)之間存在一定的相關(guān)性。

圖2 有效參數(shù)SM與KI散點(diǎn)

在預(yù)先設(shè)定的參數(shù)取值范圍內(nèi)，SM采用Montecarlo進(jìn)行隨機(jī)采樣，KI則通過(guò)Copula函數(shù)生成。本文采用Gumbel-Hougard Copula函數(shù)和Clayton Copula函數(shù)分別進(jìn)行計(jì)算，并比較現(xiàn)兩者應(yīng)用結(jié)果。同樣以0.8為似然函數(shù)閾值，統(tǒng)計(jì)有效參數(shù)組合的個(gè)數(shù)，并與之前GLUE統(tǒng)計(jì)的有效參數(shù)組個(gè)數(shù)進(jìn)行比較，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 有效參數(shù)組合個(gè)數(shù)計(jì)算結(jié)果(n=10 000)

為了進(jìn)一步比較，將取樣次數(shù)增加到50 000，閾值不變，再次模擬，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 有效參數(shù)組合個(gè)數(shù)計(jì)算結(jié)果(n=50 000)

對(duì)比表1、2可知，不管采樣次數(shù)是10 000還是50 000，CGLUE獲得的有效參數(shù)組個(gè)數(shù)都要多于GLUE方法。考慮參數(shù)相關(guān)性時(shí)，采用Clayton Copula函數(shù)得到的有效參數(shù)組合結(jié)果優(yōu)于Gumbel Copula。

2.3 考慮非相關(guān)參數(shù)的不確定性分析

以白水坑水庫(kù)為研究區(qū)域，除相關(guān)參數(shù)SM、KI、KG外，增加敏感性參數(shù)參與不確定分析。選擇第1層次中的敏感參數(shù)KC以及第4層次中以CS為代表的匯流參數(shù)。首先分析上述5個(gè)參數(shù)之間相關(guān)性，假設(shè)參數(shù)服從均勻分布，各參數(shù)取值范圍：KC為0.01～2、SM為0.01～60、KI為0.01～0.7、KG為0.01～0.7、CS為0.1～1。

采用Montecarlo在取值范圍內(nèi)隨機(jī)采樣10 000次，對(duì)10 000種參數(shù)組合計(jì)算得到的似然值進(jìn)行篩選，閾值依舊選取0.8。將高于閾值的參數(shù)組合進(jìn)行相關(guān)性分析，以20040812場(chǎng)洪水為例，對(duì)參數(shù)兩兩之間作散點(diǎn)圖，見(jiàn)圖3。由圖3可知，CS、KC與SM、KI、KG之間并不存在明顯的相關(guān)關(guān)系，甚至可以認(rèn)為無(wú)相關(guān)性，且CS、KC之間也無(wú)明顯相關(guān)性。因此，在采用CGLUE進(jìn)行參數(shù)不確定性分析時(shí)，SM、KC、CS通過(guò)Montecarlo隨機(jī)采樣生成，KI通過(guò)Copula函數(shù)產(chǎn)生，KG由結(jié)構(gòu)性約束得到。

圖3 參數(shù)相關(guān)性散點(diǎn)

以白水坑水庫(kù)2004年～2009年6場(chǎng)洪水為資料數(shù)據(jù)，進(jìn)行僅考慮相關(guān)參數(shù)SM、KI/KG和加入非相關(guān)參數(shù)SM、KC的參數(shù)不確定性分析，取樣10 000次，似然函數(shù)閾值為0.8，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。從表3可知，考慮更多參數(shù)進(jìn)行不確定性分析，不管是GLUE還是CGLUE所得到的有效參數(shù)都會(huì)減小，CGLUE依舊優(yōu)于GLUE方法；Clayton Copula函數(shù)依舊優(yōu)于Gumbel。原因可能是從3個(gè)參數(shù)分析變至5個(gè)參數(shù)分析，參與不確定性分析的參數(shù)增多，增加了不確定性因素，進(jìn)而導(dǎo)致CGLUE優(yōu)勢(shì)會(huì)相應(yīng)減弱。

表3 不確定性計(jì)算結(jié)果對(duì)比

3 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了基于CGLUE的新安江模型次洪模型參數(shù)不確定性分析方法，并應(yīng)用于工程實(shí)際，得出以下結(jié)論：

(1)模型參數(shù)間具有相關(guān)性時(shí)，所提方法能夠很好地考慮參數(shù)間的相關(guān)性，在同樣的采樣次數(shù)下生成更多有效的參數(shù)組合，從而更加全面地估計(jì)參數(shù)的不確定性。在實(shí)時(shí)洪水預(yù)報(bào)中，預(yù)報(bào)精度更高。但要注意當(dāng)非相關(guān)參數(shù)參與分析時(shí)會(huì)降低CGLUE的效果和優(yōu)勢(shì)，因此需全面分析模型間的相關(guān)關(guān)系。

(2)Copula函數(shù)有多種類型，不同函數(shù)的功能不同，對(duì)相關(guān)性描述的準(zhǔn)確性也就會(huì)有偏差。此外，函數(shù)參數(shù)的估計(jì)也有多種方法，在選擇Copula函數(shù)時(shí)需要仔細(xì)研究水文變量的物理關(guān)系。

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