程 暢

（常州輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院，213164，常州∥副教授）

軌道交通車輛運(yùn)行平穩(wěn)性是車輛動力學(xué)性能的重要評價指標(biāo)。模態(tài)參數(shù)是軌道交通車輛的固有參數(shù),反映振動系統(tǒng)的固有動態(tài)特性［1］，由懸掛系統(tǒng)的剛度及阻尼，以及部件的慣量及其在系統(tǒng)中的位置共同確定。車輛一旦設(shè)計(jì)制造完畢，其動力學(xué)性能就基本確定。真實(shí)車輛的模態(tài)參數(shù)可在試驗(yàn)臺或運(yùn)行工況下通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)及振動測試，并采用相應(yīng)的辨識算法通過辨識得出［2］。由于模態(tài)參數(shù)不依賴于線路輸入條件，而試驗(yàn)測試得到的模態(tài)參數(shù)反映了真實(shí)車輛包括組裝性能在內(nèi)的系統(tǒng)動態(tài)特性，故通過運(yùn)用模態(tài)參數(shù)來評價軌道交通車輛的動態(tài)設(shè)計(jì)性能更具有普遍性。

軌道車輛動力學(xué)系統(tǒng)的模態(tài)在1 Hz附近較密集，運(yùn)用傳統(tǒng)辨識算法及工況模態(tài)辨識算法計(jì)算量較大，并且即使在已知輸入的實(shí)驗(yàn)室條件下，也不能有效辨識這些密集且大阻尼比的模態(tài)參數(shù)。

子空間辨識數(shù)值算法（N4SID）是利用新增輸入輸出數(shù)據(jù)對在線估計(jì)系統(tǒng)參數(shù)矩陣進(jìn)行的一種辨識算法。N4SID不關(guān)心被辨識系統(tǒng)的模型結(jié)構(gòu)形態(tài)，僅需給定模型的階數(shù)（該階數(shù)可在辨識過程中觀察矩陣的奇異值獲得），無需求解復(fù)雜非線性優(yōu)化函數(shù)，采用奇異值分解（SVD）和正交三角（QR）分解的線性代數(shù)算法，避免了疊代算法中收斂、局部最小及初始條件敏感等問題，從而廣泛應(yīng)用于辨識領(lǐng)域［3］。

本文主要研究運(yùn)用N4SID算法通過辨識直接獲得系統(tǒng)的狀態(tài)方程，通過對系統(tǒng)矩陣進(jìn)行特征值分解獲得模態(tài)參數(shù)，然后運(yùn)用穩(wěn)態(tài)圖來保留真實(shí)系統(tǒng)的物理極點(diǎn)，運(yùn)用所編制的程序?qū)Ψ抡婺Ｐ瓦M(jìn)行辨識分析。

1N4SID

N4SID一般包含3個步驟［4］：①運(yùn)用SVD和QR分解對輸入輸出數(shù)據(jù)Hankel矩陣進(jìn)行投影運(yùn)算，得到投影矩陣Oi，同時確定系統(tǒng)的階次n；②估計(jì)求解出拓展可觀測矩陣Γi、或者卡爾曼濾波狀態(tài)序列估計(jì)i；③確定系統(tǒng)的參數(shù)矩陣A、B、C、D。

當(dāng)m階輸入、l階輸出的n階系統(tǒng)矩陣為線性時，不變系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間模型可表示為

式中：

k——采樣時刻；

A——系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，為n階方陣；

B——輸入分配矩陣，為n×m矩陣；

C——輸出矩陣，為l×n矩陣；

D——直接輸出矩陣，為l×m矩陣；

vk——測量噪聲，vk∈Rl；

wk——過程噪聲，wk∈Rn。

當(dāng)輸入未知時，可假設(shè)確定性輸入為0，此時系統(tǒng)狀態(tài)空間模型不包含B、D矩陣，模型退化為隨機(jī)子空間模型。定義輸入數(shù)據(jù)的Hankel矩陣為

式中：

i——矩陣行數(shù)的1/2；

j——矩陣列數(shù)，Hankel矩陣U0|2i-1中，i=j；

Up——過去輸入矩陣，是U0|2i-1的分塊矩陣；

Uf——將來輸入矩陣，是U0|2i-1的分塊矩陣。

n×j階狀態(tài)序列Xi為

依據(jù)以上定義，對

式中：

Ya|b——第1列第1個元素為a，且第1列最后1個元素為b的分塊矩陣。

于是，由“將來”輸入行空間到“過去”輸出行空間的投影矩陣為

其中

式中：

LUp——L矩陣的過去輸入矩陣；

LUf——L矩陣的將來輸入矩陣；

LYp——L矩陣的過去輸出矩陣。

由式（7）可以求出 LUp、LUf和 LYp。

依據(jù)假設(shè)條件可知

Qi= Γii（8）

式中：

i——卡爾曼濾波狀態(tài)序列Xi的估計(jì)。

對式（6）右側(cè)第1項(xiàng)進(jìn)行奇異值分解，依據(jù)奇異值分布設(shè)定系統(tǒng)的階數(shù)，然后對奇異值矩陣進(jìn)行分

塊為S1和S2的直和，其形式如下。

式中，ρw、ρv為殘差矩陣。

2 車輛模態(tài)參數(shù)的辨識及分析

由于車輛力學(xué)模型的模態(tài)參數(shù)可通過理論分析準(zhǔn)確獲得，所以采用仿真模型不僅可驗(yàn)證辨識算法的有效性，還可方便地模擬量測噪聲信號，以便于分析噪聲信號對辨識精度的影響［5］。本文運(yùn)用軌道交通車輛的6自由度垂向動力學(xué)模型來校驗(yàn)算法及所編制辨識程序的有效性。該6自由度車輛的垂向動力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 客車垂向動力學(xué)模型圖

根據(jù)圖1模型，結(jié)合上述子空間辨識算法理論，運(yùn)用影響系數(shù)法建立動力學(xué)方程，選取狀態(tài)矢量，將動力學(xué)方程轉(zhuǎn)為狀態(tài)方程，依據(jù)采樣時間對連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程離散，即可獲得形如式（1）的狀態(tài)空間模型。在Simulink/Matlab軟件環(huán)境下建立仿真模型如圖2所示。

圖2 車輛自由度數(shù)為6的垂向Simulink模型圖

在辨識算法研究中，客車動力學(xué)模型參數(shù)選自某典型客車，離散模型的時間步長為0.005 s（采樣頻率為200 Hz）。本文分別運(yùn)用帶限白噪聲信號、軌道譜反演的軌道不平順信號及確定性的掃頻信號作為軌道的垂向不平順輸入，并考慮了輪軸輸入的時延，以車體中部、心盤處，以及每個構(gòu)架的中部、端部共9個測點(diǎn)處的垂向位移作為系統(tǒng)的輸出，對所編制的程序進(jìn)行了校驗(yàn)。辨識結(jié)果表明，當(dāng)運(yùn)用不包含噪聲信號的仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識時，在各種輸入信號下，均能獲得與理論模態(tài)基本一致的高精度辨識結(jié)果。

為了分析噪聲對辨識精度的影響，當(dāng)輸入為白噪聲信號時，在輸出信號上疊加了均方根值為原信號1%和5%的零均值、正態(tài)分布噪聲信號（以下分別簡為“1%噪聲”及“5%噪聲”）得到辨識結(jié)果如表1所示。辨識結(jié)果表明：N4SID算法辨識精度極高，但噪聲信號越強(qiáng)，辨識精度越低。若想提高辨識精度，必須增加所采用的輸出數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，但計(jì)算時間隨之增加。表1中在5%噪聲信號下的分析結(jié)果運(yùn)用了35 s長的輸出數(shù)據(jù)才能得到與在1%噪聲信號下、15 s長數(shù)據(jù)相當(dāng)?shù)谋孀R精度。

表1 車輛模態(tài)參數(shù)N4SID算法辨識結(jié)果

圖3 N4SID的穩(wěn)態(tài)圖

圖3為車輛存在1%噪聲和5%噪聲信號時，為了挑選穩(wěn)定的系統(tǒng)極點(diǎn)所繪制的穩(wěn)態(tài)圖。繪制穩(wěn)態(tài)圖的準(zhǔn)則是特征頻率的變化率不大于1%、阻尼比不大于8%、振型矢量不大于2%。圖3表明：在1%噪聲信號辨識時，較早獲得穩(wěn)定的極點(diǎn)，并且識別的精度較高。

在實(shí)驗(yàn)室條件下，雖然構(gòu)架和車體的位移響應(yīng)可通過測量獲得，但是位移的測量往往比加速度的測量復(fù)雜很多。經(jīng)分析，從軌道不平順至車輛位移及加速度響應(yīng)的狀態(tài)方程中可知，A、B矩陣完全相同，C、D矩陣不同。因此將加速度響應(yīng)作為系統(tǒng)輸出，如能辨識出系統(tǒng)矩陣A，將獲得位移輸出相同的系統(tǒng)極點(diǎn)，并具有相同的振型頻率和阻尼比。本文運(yùn)用構(gòu)架及車體仿真加速度輸出信號進(jìn)行辨識時發(fā)現(xiàn)：當(dāng)輸出信號沒有噪聲時，仍可精確地辨識出車輛系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)；但將上述1%噪聲信號及5%噪聲信號加入后，無論是隨機(jī)輸入信號、軌道譜反演信號還是掃頻信號都無法獲得良好的辨識效果。在6級軌道譜反演數(shù)據(jù)輸入時，沒有噪聲和有1%噪聲信號情況下的辨識結(jié)果見表2。

從表2可以看出：沒有噪聲信號時，辨識結(jié)果基本與理論模態(tài)精確一致；有1%噪聲信號時，雖然辨識結(jié)果也具有較高精度，但未能辨識車體的點(diǎn)頭振型；當(dāng)有5%噪聲信號時，只能辨識出構(gòu)架的點(diǎn)頭振型，而不能有效地辨識車輛的點(diǎn)頭及浮沉振型。

表2 軌道譜反演輸入時運(yùn)用車輛加速度響應(yīng)的構(gòu)架及車體辨識結(jié)果

在線路運(yùn)行條件下，軌道不平順測量比較困難。分析車輛的動力學(xué)方程可以看到，車體振動完全由構(gòu)架輸入所產(chǎn)生，故可將構(gòu)架作為輸入來辨識車體的模態(tài)參數(shù)。由于構(gòu)架位移至車體位移響應(yīng)與構(gòu)架加速度至車體加速度響應(yīng)具有相同的傳遞函數(shù)，因此本文也研究了運(yùn)用構(gòu)架加速度輸入和車體加速度輸出辨識車體模態(tài)參數(shù)的效果，辨識結(jié)果如表3所示。

從表3可以看到：當(dāng)噪聲信號很低時，以構(gòu)架加速度為輸入可完整地辨識出車體的振型，并且辨識精度很高；當(dāng)噪聲信號增強(qiáng)時，辨識精度隨之變差，但比表2分析結(jié)果稍好。此次分析辨識出了點(diǎn)頭振型，而且辨識精度稍高。

表3 軌道譜反演輸入時以構(gòu)架加速度響應(yīng)為輸入的車體辨識結(jié)果

3 結(jié)語

本文運(yùn)用N4SID算法對軌道車輛垂向仿真模型進(jìn)行了模態(tài)參數(shù)辨識研究。如以車體和構(gòu)架的位移響應(yīng)作為系統(tǒng)輸出，并以軌道不平順為隨機(jī)輸入、軌道譜反演時域不平順輸入及確定性信號輸入，則即使噪聲信號較大，仍均能獲得良好的識別效果。當(dāng)以仿真模型的加速度輸出進(jìn)行辨識時，若輸出信號沒有受到噪聲污染，則能獲得精確的辨識結(jié)果；若輸出信號加入了模擬的噪聲信號，則只能識別出較高頻率的模態(tài)參數(shù)，識別精度也相應(yīng)受到噪聲信號的影響。如以構(gòu)架加速度作為輸入，以車體振動響應(yīng)作為輸出，則在噪聲信號低于5%時，仍能有效識別出車體的振動模態(tài)參數(shù)。

［1］ 周勁松，張洪，任利惠.模態(tài)參數(shù)在鐵道車輛運(yùn)行平穩(wěn)性研究中的運(yùn)用［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，36（3）：383.

［2］ Bart P，Buido D R.Stochastic System Identification for Operational Modal Analysis：A Review,Journal of Dynamic Systems［J］.Measurement,and Control，2001，12（123）：659.

［3］ 黃金峰，張合新，胡友濤，等.基于有限記憶變遺忘因子的子空間辨識算法［J］.控制理論與應(yīng)用，2012，29（7）：893.

［4］ 李冬冬.基于子空間辨識算法的壓電懸臂梁振動主動控制研究［D］.蘭州：蘭州理工大學(xué)，2014.

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