王咪咪,丁 輝

(滁州學院 數(shù)學與金融學院，安徽 滁州 239000)

在金融交易市場中,常常會有在一個時間段內連續(xù)被記錄的數(shù)據(jù)。譬如，在股指期貨交易市場上，任意小的交易時間區(qū)間內都會產(chǎn)生交易，衍生出很多高頻數(shù)據(jù)。高頻數(shù)據(jù)可以看成一個時間區(qū)間內連續(xù)被記錄的數(shù)據(jù)。因此,可視為函數(shù)型數(shù)據(jù)，函數(shù)型數(shù)據(jù)分析是分析和處理高頻數(shù)據(jù)的必備利器。國內外已有一些學者在函數(shù)型數(shù)據(jù)視角下研究金融經(jīng)濟市場中的內在規(guī)律，也得到了一些寶貴研究成果。郭均鵬通過函數(shù)型主成分分析方法研究了Shibo市場中的各期限利率的波動問題[4]；劉春義等通過使用函數(shù)型聚類分析方法研究了我國經(jīng)濟發(fā)展的周期問題[7]；龍文等借助于函數(shù)型主成分分析探討了不同國家之間的金融危機時期經(jīng)濟發(fā)展的差異性[8]；趙煜[10]在函數(shù)型數(shù)據(jù)分析視角下對生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)的分析前景進行展望。然而，上述所有研究均無法刻畫因變量的過去對其產(chǎn)生的影響。實際上，因變量的過去時刻常常會對其產(chǎn)生影響。因此，通過自回歸的介入，在函數(shù)型線性的模型上加入自回歸部分來刻畫因變量的過去時刻的影響，即函數(shù)型部分線性自回歸模型。該模型既能刻畫函數(shù)型協(xié)變量與因變量之間的關系，又能表現(xiàn)因變量的過去時刻對當前時刻的影響。

1 函數(shù)型部分線性自回歸模型

給出函數(shù)型部分線性自回歸模型：

(1)

其中，X(t)是區(qū)間I上平方可積的函數(shù)型變量，Y是因變量，p是滯后階數(shù)，誤差項ε滿足Eε=0,Varε=σ2。自回歸模型為此模型的一個特例(β(t)≡0 )，函數(shù)型線性模型同樣也為此模型的一個特例(φ1=…=φp=0)。

關于該模型的估計，我們采用剖面最小二乘估計[1]：

(2)

(3)

(4)

(5)

可以求出模型的參數(shù)φ1,…,φp和非參數(shù)函數(shù)g(·)的估計。

令Y=(Yp+1,…,Yn)T，Φ=(1,φ1,…,φp)T，W=ζ(ζTζ)-1ζT，Z0=(1,…,1)T(n-p)×1,Z1=(Yp,…,Yn-1)T,Z2=(Yp-1,…,Yn-2)T,…,Zp=(Y1,…,Yn-p)T，Z=(Z0,Z1,…,Zp)T，Y*=(I-W)Y,Z*=Z(I-W) ，I為n-p階單位陣。于是(2.5)可化為(Y*-Z*TΦ)T(Y*-Z*TΦ)，則：

(6)

把(6)帶回(4)得：

(7)

到目前為止，已經(jīng)求得了模型參數(shù)的估計。然而，在求解模型的參數(shù)估計過程中必然會涉及到滯后階數(shù)p的選取，統(tǒng)計模擬時采取交叉驗證準則來選擇p。

2 統(tǒng)計模擬

按照下面的模型來生成數(shù)據(jù)：

表1 估計均值和標準差(括號)或RASEs和標準差(括號)結果表

從表1可見，α,φ1,…,φ3估計偏差與估計標準差β(t)估計均方誤RASE均隨著樣本量的增加而減少，因此，可以看出估計方法的優(yōu)良性。

3 實證分析

選擇2015年6月1日至2016年3月1日總共183個股市交易日的上證指數(shù)數(shù)據(jù)。模型的因變量為開盤價Y，函數(shù)型協(xié)變量為每個交易日每5分鐘的上證指數(shù)X(t)，每個交易日每5分鐘的數(shù)據(jù)共48個。首先進行預處理，對開盤價Y和每5分鐘的上證指數(shù)X(t) 取對數(shù)，目標為尋找合適的模型對開盤價進行預測。顯然，開盤價既受過去時期開盤價的影響，又與Xi(t)有關，考慮函數(shù)型部分線性自回歸模型：

(8)

表2 不同模型及其相對應的平均預測誤差(單位×10-5)

從表2可知，函數(shù)型部分線性自回歸模型平均預測誤差最小，比線性模型的預測效果提升了65.8%，比自回歸模型的預測效果提升了97.6%?？梢姡瘮?shù)型部分線性自回歸模型擬合效果最好。

4 結語

函數(shù)型部分線性自回歸模型既刻畫了函數(shù)型協(xié)變量與因變量之間的關系，又考慮了自回歸效應，體現(xiàn)了因變量過去時刻的影響，因而具有廣泛的適用性，可為今后研究函數(shù)型數(shù)據(jù)提供一種新的工具。

參考文獻：

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[4] 郭均鵬,孫欽堂,李汶華.Shibor市場中各期限利率波動模式分析：基于FPCA方法[J].系統(tǒng)工程,2012(12):88-92.

[5] 姜高霞,王文劍.經(jīng)濟周期波動的函數(shù)型時序分解方法：基于CPI的實證分析[J].統(tǒng)計與信息論壇,2014,29(3):22-28.

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[8] 龍文,李楠,王惠文,等.金融危機過程中不同類型國家經(jīng)濟發(fā)展的差異性比較：基于函數(shù)數(shù)據(jù)分析方法[J].管理評論,2014,26(3):3-10.

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[10] 趙煜,秦增舉.函數(shù)型數(shù)據(jù)分析及其在生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)中的應用展望[J].甘肅科技,2015,31(16):66-68.