楊 婧，紀(jì)科輝，趙新龍，魯文其

(浙江理工大學(xué)，杭州 310018)

0 引 言

永磁同步電機(jī)在運(yùn)動控制領(lǐng)域中占據(jù)著主導(dǎo)地位，如何準(zhǔn)確地測量電機(jī)的速度是精確控制的前提。電機(jī)控制中最經(jīng)典的是比例積分微分調(diào)節(jié)(以下簡稱PID)控制，由于PID控制器結(jié)構(gòu)簡單、容易數(shù)字實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，使用廣泛。單純的PID控制系統(tǒng)參數(shù)依賴性強(qiáng)，魯棒性差，抗負(fù)載擾動能力很有限，降低了系統(tǒng)的控制性能，因此很難滿足高精度伺服控制系統(tǒng)的要求[1]。

為了提高電機(jī)的控制性能，使得電機(jī)在實(shí)際控制中獲得良好的動態(tài)響應(yīng)，學(xué)者針對上述問題提出了一些魯棒控制方法，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、非線性控制、模糊控制、自適應(yīng)控制和滑?？刂频萚2]。

滑?？刂埔蚓哂袑τ来磐诫姍C(jī)系統(tǒng)參數(shù)時變和對外部干擾的強(qiáng)魯棒性，成為國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)領(lǐng)域[3]。傳統(tǒng)的一階滑?？刂拼嬖谝恍┎豢珊鲆暤娜秉c(diǎn)。由于控制過程中的不連續(xù)性，系統(tǒng)在運(yùn)行過程中容易引起抖振，而抖振將嚴(yán)重影響伺服系統(tǒng)的準(zhǔn)確度和穩(wěn)定度[4-5]。研究表明，在準(zhǔn)確設(shè)計和調(diào)節(jié)滑模參數(shù)的前提下，滑模觀測器能夠較為準(zhǔn)確地估計系統(tǒng)的參數(shù)[6-7]。

本文針對如何提高電機(jī)系統(tǒng)的動態(tài)性能的問題，提出了一種電機(jī)速度的二階滑模算法。算法不僅保留了滑?？刂频膬?yōu)點(diǎn)，并且能夠從根本上消除抖振現(xiàn)象。該算法通過對實(shí)際位置信號的檢測，來計算實(shí)際速度值，從而實(shí)現(xiàn)對電機(jī)轉(zhuǎn)速的反饋調(diào)節(jié)。

1 滑模算法的原理

考慮一個動態(tài)系統(tǒng)：

(1)

式中：x∈Rn為狀態(tài)變量(Rn為n維實(shí)數(shù)空間);u∈R為控制函數(shù)的輸入(R為實(shí)數(shù)集);a(t,x)，b(t,x)為不確定的光滑函數(shù);σ(t,x)為輸出函數(shù)，σ和n是未知的。假設(shè)該系統(tǒng)的相對度為2，為使輸出σ在有限時間消失，并且通過一種不連續(xù)的全局有界反饋控制來保持σ≡0，系統(tǒng)的軌跡應(yīng)該在任何有限輸入時間內(nèi)被無限延伸[8]。

(2)

式中：函數(shù)h(t,x)，g(t,x)為未知的光滑函數(shù)。由于控制函數(shù)u有界并且連續(xù)，假設(shè)輸入輸出條件如下：

(3)

式中：C，Km，KM∈R+(R+為正實(shí)數(shù)集)。

在設(shè)定的有限區(qū)間內(nèi)，由式(2)和式(3)得到：

(4)

設(shè)定反饋函數(shù)：

(5)

2 二階滑模算法的設(shè)計

二階滑模方法可以應(yīng)用于永磁同步電機(jī)速度的計算[9-10]，根據(jù)上節(jié)所述的二階滑模算法提出了一種具有微分結(jié)構(gòu)的二階滑模速度計算方法。

二階滑模的微分算法計算框圖如圖1所示。

圖1 二階滑模算法

積分器的輸出信號θ1(t)和ω1(t)，分別跟蹤輸入信號θ(t)和它的微分信號，驅(qū)動信號u(t)是數(shù)字控制的分段恒定輸出。設(shè)a[k]=a(kT)表示一個通用信號a(t)在采樣時刻t=kT的采樣值，k=0,1,2,…，其中T為采樣周期。

(6)

(7)

如果一個正常數(shù)X2是已知的：

(8)

(9)

式中：E，α為滑模控制函數(shù)的增益。

根據(jù)式(6)和式(7)，可得電機(jī)加速度u(t)和轉(zhuǎn)速ω1(t)的計算框圖，如圖2所示。

圖2 電機(jī)加速度和速度的計算

3 仿真結(jié)果與分析

傳統(tǒng)的永磁電機(jī)驅(qū)動器采用的是PI閉環(huán)控制，速度由位置信號直接微分得到。但是由于在電機(jī)的實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行過程中，其負(fù)載經(jīng)常受到外界擾動，負(fù)載擾動會影響系統(tǒng)的動態(tài)性能。為使伺服系統(tǒng)具有良好的魯棒性和速度跟蹤性能，必須克服負(fù)載擾動對電機(jī)轉(zhuǎn)速的影響。

本文在傳統(tǒng)PI閉環(huán)控制模型的基礎(chǔ)上加上二階滑模速度計算模塊，如圖3所示。

圖3 基于二階滑模算法的電機(jī)驅(qū)動系統(tǒng)

通過編碼器對位置信號的追蹤，對實(shí)際位置信號進(jìn)行二階滑模運(yùn)算，得出速度值和負(fù)載轉(zhuǎn)矩估計值，通過速度負(fù)反饋控制對給定速度進(jìn)行調(diào)節(jié)。

用MATLAB環(huán)境下的仿真軟件Simulink對上述采用二階滑模算法控制的電機(jī)驅(qū)動系統(tǒng)進(jìn)行仿真。仿真電機(jī)參數(shù)如下：R=2.875 Ω，Ld=Lq=8.5 mH，J=0.8×10-3kg·m2，μ=0.02 N·m·s。

圖4(a)為當(dāng)給定速度為1 000 r/min時采用傳統(tǒng)的速度計算方法空載起動時速度的響應(yīng)。由圖4(a)可知，在空載起動時，采用傳統(tǒng)的差分算法的系統(tǒng)電機(jī)起動時速度的上升時間為10.3 ms，超調(diào)量為8.6%，穩(wěn)態(tài)誤差為27.5～29.5 r/min。圖4(b)為當(dāng)給定速度為1 000 r/min時采用二階滑模算法空載起動時速度的響應(yīng)。由圖4(b)可知，在空載起動時，采用二階滑模算法的系統(tǒng),電機(jī)起動時速度的上升時間為7.33 ms，幾乎沒有超調(diào)量，穩(wěn)態(tài)誤差也很小。圖5為采用二階滑模算法時的空載起動速度響應(yīng)局部放大。由圖5可知，采用二階滑模算法的系統(tǒng)電機(jī)速度的穩(wěn)態(tài)誤差為17.9～21.5 r/min。

(a) 傳統(tǒng)的速度計算方法

(b)二階滑模算法

圖5 采用二階滑模算法時的空載起動速度響應(yīng)局部放大

由上述數(shù)據(jù)可以明顯看出，傳統(tǒng)的電機(jī)系統(tǒng)波形上升時間較大，超調(diào)量較大，電機(jī)起動時間較長，穩(wěn)態(tài)誤差較大；而加滑模后的波形上升時間縮短，超調(diào)量變小，電機(jī)的起動時間明顯縮短，穩(wěn)態(tài)誤差較小。這就驗(yàn)證了采用二階滑模算法的交流伺服系統(tǒng)具有良好的魯棒性。

圖6 采用傳統(tǒng)的速度計算方法的響應(yīng)速度

圖6為當(dāng)系統(tǒng)給定速度為階躍信號時采用傳統(tǒng)的速度計算方法的響應(yīng)速度。由圖6可知，系統(tǒng)速度給定值從1 000 r/min至2 000 r/min的階躍信號。在0.05s時，給定速度由1000r/min上升至1 500 r/min;在0.1 s時，給定速度由1 500 r/min上升至2 000r/min;在0.15s時，給定速度由2000r/min下降至1 000 r/min,電機(jī)的速度隨著系統(tǒng)給定的速度的改變而改變。圖7為采用傳統(tǒng)的速度計算方法的響應(yīng)速度的局部放大。由圖7(a)可知，當(dāng)電機(jī)速度由1 000 r/min上升至1 500 r/min時，所需時間為3.7ms，達(dá)到1 500r/min時的穩(wěn)態(tài)誤差為18.5～52.5 r/min。由圖7(b)可知，當(dāng)電機(jī)速度由1 500 r/min上升至2 000 r/min時，所需時間為3.5 ms，達(dá)到2 000 r/min時的穩(wěn)態(tài)誤差為22～22.9 r/min。由圖7(c)可知，當(dāng)電機(jī)速度由2000r/min下降至1 000 r/min時，所需時間為5.5 ms，達(dá)到1 000 r/min時的穩(wěn)態(tài)誤差為28.8～42.6 r/min。

(a)1 000 r/min～1 500 r/min

(b)1 500 r/min～2 000 r/min

(c)2 000 r/min～1 000 r/min

圖8為當(dāng)系統(tǒng)給定速度為階躍信號時采用二階滑模算法的響應(yīng)速度。由圖8可知，電機(jī)的速度隨著系統(tǒng)給定的速度的改變而變。圖9為采用二階滑模算法的響應(yīng)速度的局部放大。由圖9(a)可知，當(dāng)電機(jī)速度由1 000 r/min上升至1 500 r/min時，所需時間為3.4 ms，達(dá)到1 500 r/min時的穩(wěn)態(tài)誤差為5.1～44.8 r/min。由圖9(b)可知，當(dāng)電機(jī)速度由1500r/min上升至2000r/min時，所需時間為3.3ms，達(dá)到2 000 r/min時的穩(wěn)態(tài)誤差為14.5～17.8 r/min。由圖9(c)可知，當(dāng)電機(jī)速度由2 000 r/min下降至1 000 r/min時，所需時間為5.7 ms，達(dá)到1 000 r/min時的穩(wěn)態(tài)誤差為12.9～17.6 r/min。

圖8 采用二階滑模算法的響應(yīng)速度

(a)1 000 r/min～1 500 r/min

(b) 1 500 r/min～2 000 r/min

(c)2 000 r/min～1 000 r/min

由圖7和圖9的數(shù)據(jù)可以明顯看出，傳統(tǒng)的電機(jī)系統(tǒng)波形上升時間較大，穩(wěn)態(tài)誤差較大；而加滑模后的波形上升時間縮短，穩(wěn)態(tài)誤差較小。這說明了采用了二階滑模算法后的伺服系統(tǒng)，具有良好的速度跟蹤性能。

圖10(a)為當(dāng)負(fù)載在0.05 s時由1 N·m變化為2 N·m時，采用傳統(tǒng)的速度計算方法時速度的響應(yīng)。由圖10(a)可知，當(dāng)負(fù)載變化時，采用傳統(tǒng)的差分算法的系統(tǒng)，電機(jī)恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)速度的時間為8.6 ms，超調(diào)量為5.3%。圖10(b)為當(dāng)負(fù)載在0.05 s時由1 N·m變化為2 N·m時，采用二階滑模算法時速度的響應(yīng)。由圖10(b)可知，當(dāng)負(fù)載變化時，采用二階滑模算法的系統(tǒng)，電機(jī)恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)速度的時間為8 ms，超調(diào)量為3.9%。

(a) 傳統(tǒng)的速度計算方法

(b) 二階滑模算法

由圖10的數(shù)據(jù)還可以看出，負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化時，傳統(tǒng)差分算法的系統(tǒng)抖動較明顯，超調(diào)量較大，長時間才能恢復(fù)系統(tǒng)的穩(wěn)定；而采用二階滑模算法的系統(tǒng)，其速度的魯棒性和動態(tài)性能均有明顯提高。

4 結(jié) 語

本文介紹了一種二階滑模算法方法。根據(jù)二階滑模算法的原理，通過對實(shí)時位置信號進(jìn)行采樣，經(jīng)過二階滑模算法得到加速度，進(jìn)而得到速度值，使速度反饋值能夠快速跟蹤負(fù)載的變化，從而能夠獲得良好的動態(tài)性能。仿真結(jié)果表明，該方案具有良好的動態(tài)性能，而且對電機(jī)參數(shù)依賴性小，具有較好的魯棒性和抗干擾性，有效地減少了系統(tǒng)運(yùn)行過程中產(chǎn)生的抖動，提高了伺服系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。

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