張金隆吳 翔徐浩軒

(1.華中科技大學(xué)管理學(xué)院,湖北武漢430074;2.華中科技大學(xué)現(xiàn)代管理信息研究中心,湖北武漢430074;3.武漢工商學(xué)院現(xiàn)代物流與商務(wù)湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心,湖北武漢430065)

1 引 言

企業(yè)通常采購并存儲產(chǎn)品以滿足未來需求.然而在存儲過程中很多產(chǎn)品因為變質(zhì)腐爛或揮發(fā)等因素產(chǎn)生數(shù)量損耗,例如蔬菜、水果、牛奶、藥品、汽油及血液等產(chǎn)品.在中國或其它發(fā)展中國家,果蔬類產(chǎn)品變質(zhì)比例常常達到15%以上[1,2].產(chǎn)品變質(zhì)問題往往導(dǎo)致企業(yè)庫存成本大幅上升.因此,企業(yè)需要將產(chǎn)品變質(zhì)作為庫存管理的重要考慮因素.Ghare等[3]首先研究了易變質(zhì)產(chǎn)品庫存決策問題.Goyal等[4]和Bakker等[5]從需求類型和產(chǎn)品變質(zhì)建模兩個層面對易變質(zhì)產(chǎn)品運作管理方面的研究進行了綜述.易變質(zhì)特性使庫存決策進一步復(fù)雜化,因此供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)或者跨部門協(xié)作變得十分必要.當產(chǎn)品供給有限或者產(chǎn)品需求依賴于供給時,供應(yīng)商和零售商需要進行協(xié)調(diào).例如,王圣東等[6]和曹宗宏等[7]分別在生產(chǎn)率有限和缺貨量影響需求的情形下討論了供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題.當產(chǎn)品需求依賴于價格決策時,企業(yè)則需要同時考慮定價與補貨決策.文獻[8-14]研究了多產(chǎn)品,非立即變質(zhì),隨機需求,時變需求,延時付款等諸多情境下的定價與庫存聯(lián)合決策問題.在通常情形下,產(chǎn)品需求均依賴于產(chǎn)品價格.價格與補貨決策若未能充分協(xié)調(diào),易變質(zhì)產(chǎn)品容易積壓,變質(zhì)從而造成較大的成本損失.因此,易變質(zhì)產(chǎn)品定價與庫存聯(lián)合決策問題是企業(yè)運作實踐中廣泛存在的難題.

現(xiàn)有文獻研究易變質(zhì)產(chǎn)品庫存決策時幾乎都以成熟產(chǎn)品為研究對象[4,5],而極少考慮新產(chǎn)品.技術(shù)發(fā)展加速了產(chǎn)品開發(fā)和更新?lián)Q代速度,從而極大地縮小了產(chǎn)品生命周期.隨著區(qū)域間貿(mào)易的加深,許多產(chǎn)品不斷進入新的市場.例如醫(yī)藥行業(yè)開發(fā)并推出新藥品的速度顯著加快,近年來生鮮電子商務(wù)的興起也使得進口食品和地方特色食品迅速進入新的市場.因此新產(chǎn)品情境下的易變質(zhì)產(chǎn)品運作管理問題,具有顯著的現(xiàn)實意義并有待更深入的研究.在易變質(zhì)新產(chǎn)品情境下,產(chǎn)品需求呈動態(tài)性且依賴于價格決策.首先,易變質(zhì)新產(chǎn)品通過大眾媒體和口碑兩個渠道傳播,采納者的數(shù)量隨著產(chǎn)品擴散過程逐漸增加[15].產(chǎn)品演化過程導(dǎo)致了需求的動態(tài)性,因而企業(yè)適合采取動態(tài)批量補貨策略進行庫存控制.此外,新產(chǎn)品擴散過程依賴于產(chǎn)品價格[16]的特征使得定價與補貨聯(lián)合決策十分必要.因此,本文從產(chǎn)品擴散視角考慮易變質(zhì)產(chǎn)品的定價與動態(tài)批量補貨聯(lián)合決策問題.

易變質(zhì)新產(chǎn)品例如藥品和生鮮蔬果等,大多具有重復(fù)購買特征.易變質(zhì)新產(chǎn)品的需求由兩個部分組成：嘗試性購買,以及重復(fù)性購買[17].在不同情境下,企業(yè)的關(guān)注程度可能有所偏重.例如,企業(yè)在新產(chǎn)品導(dǎo)入和成長期可能更加關(guān)注嘗試性購買,以借由口碑效應(yīng)擴大新產(chǎn)品的知名度.因此,大多數(shù)Bass模型[15,16]考慮耐用品且主要關(guān)注產(chǎn)品擴散過程,而并沒有納入重復(fù)購買特征.相反,企業(yè)在市場成熟期則可能更加關(guān)注源自忠誠顧客的重復(fù)性購買[17].企業(yè)價格決策也影響易變質(zhì)新產(chǎn)品擴散過程,從而同時影響嘗試性購買和重復(fù)性購買.因此,本文同時考慮嘗試性購買和重復(fù)性購買這兩個部分,并在產(chǎn)品擴散模型中引入價格決策和重復(fù)購買率來進行需求建模[17,18].

本文使用包含價格效應(yīng)的Bass模型來刻畫新采納者數(shù)量的動態(tài)演化過程,并引入重復(fù)購買率構(gòu)建易變質(zhì)新產(chǎn)品的需求函數(shù).每期需求由新采納者的嘗試性購買以及累積采納者的重復(fù)性購買構(gòu)成.易變質(zhì)產(chǎn)品在訂購時通常質(zhì)量良好,但其變質(zhì)速率隨著存儲時間的增加而增大.故本文假定變質(zhì)速率是存儲時間的函數(shù)[19],而非庫存量的函數(shù)或簡單的時變函數(shù)[5].結(jié)合需求函數(shù)與變質(zhì)速率,建立了易變質(zhì)新產(chǎn)品定價與動態(tài)批量補貨聯(lián)合決策模型.最后進行了算法設(shè)計和算例分析,并討論了企業(yè)應(yīng)該如何根據(jù)產(chǎn)品擴散、重復(fù)購買以及產(chǎn)品變質(zhì)特征調(diào)整定價與補貨決策.結(jié)果顯示,定價與補貨聯(lián)合決策是必要的.最優(yōu)價格與產(chǎn)品擴散速度及重復(fù)購買率呈先減小后增大的U型關(guān)系,隨著消費者主動購買意愿的增加而增大,并隨著產(chǎn)品易變質(zhì)程度的增加而減小.

2 易變質(zhì)新產(chǎn)品定價與動態(tài)批量補貨聯(lián)合決策模型

2.1 問題描述與模型假設(shè)

企業(yè)在計劃周期T內(nèi)銷售新產(chǎn)品,或者將現(xiàn)有產(chǎn)品推廣到新市場.第t(1≤t≤T)期產(chǎn)品需求dt取決于新產(chǎn)品擴散過程,且受價格P影響.消費者每次最多購買一個單位的產(chǎn)品,且可能有重復(fù)購買行為.已知在參考價格P0下,消費者重復(fù)購買率為λ.企業(yè)在第t(1≤t≤T)期初檢查庫存水平,并決定是否需要訂貨vt以及具體訂貨量zt.產(chǎn)品具有易變質(zhì)的特征,且變質(zhì)率與庫存存放時間相關(guān).企業(yè)進行產(chǎn)品定價P與補貨決策z=(z1,z2,...,zT),以最大化利潤π.

根據(jù)研究的實際問題,作如下基本假設(shè)：

1)不允許缺貨.

2)補貨的提前期為0,亦即瞬時補貨.

3)產(chǎn)品在補貨進入庫存之前質(zhì)量完好,在存儲過程中才發(fā)生變質(zhì).產(chǎn)品變質(zhì)率與在存儲時間正相關(guān).

4)需求取決于產(chǎn)品擴散過程、重復(fù)購買以及價格決策.

2.2 需求演化過程

在新產(chǎn)品擴散過程中,需求取決于擴散過程、重復(fù)購買行為和價格決策.首先考慮擴散過程和價格決策對新采納者數(shù)量的影響,繼而引入重復(fù)購買率構(gòu)建需求函數(shù).

在Bass模型[15]中,新產(chǎn)品擴散過程取決于兩個傳播渠道的影響：1)大眾媒體傳播渠道如廣告等的影響,稱為創(chuàng)新的或外部影響,用創(chuàng)新系數(shù)p表示;2)口碑傳播渠道的影響,稱為模仿的或內(nèi)部影響,用模仿系數(shù)q表示.

本文采用Bass模型的離散形式,產(chǎn)品擴散過程可以表述為

其中m為市場容量,nt為第t期新采納者的數(shù)量,而為第t-1期末的累積采納者數(shù)量.

在第0期末,所有消費者都尚未產(chǎn)生購買行為.因此,第1期的新采納者數(shù)量為pm.因此,第t期新采納者的數(shù)量為

實際上,企業(yè)的營銷決策如價格等也會影響產(chǎn)品的擴散過程.因此若將價格因素考慮在內(nèi),則Bass模型可擴展為[16]

其中函數(shù)g(P)用來刻畫價格決策對產(chǎn)品擴散速率的影響,且現(xiàn)有文獻大多選用指數(shù)函數(shù)形式[16].

因此,將價格對產(chǎn)品擴散速率的影響表示為

其中參數(shù)μ衡量了價格效應(yīng)的大小.當價格P=P0時,g(P)=1.因此,創(chuàng)新系數(shù)p與模仿系數(shù)q刻畫了企業(yè)在價格為P0下的新產(chǎn)品擴散過程.采取以上建模方式,非常便于在實際情形中對參數(shù)進行估計.

由于最初的Bass模型并沒有將價格因素考慮在內(nèi),因此依據(jù)Bass[15]給出的估計方法所得到的產(chǎn)品擴散參數(shù)其實是基于特定價格條件的.因此,本文將特定價格條件P0引入Bass模型進行價格效應(yīng)建模.當企業(yè)準備推出新產(chǎn)品時,大多會根據(jù)類似產(chǎn)品的價格和銷售記錄來對新產(chǎn)品擴散參數(shù)進行估計.因此,上式在實踐中更富于直觀含義和操作意義.式(4)可以重新表述為

上式類似于計量經(jīng)濟學(xué)中的雙對數(shù)模型,因此價格效應(yīng)參數(shù)μ則衡量了產(chǎn)品擴散速度在價格P0附近的彈性：當價格變化一定百分比(以來衡量)時,產(chǎn)品擴散速率對應(yīng)變化的百分比.當μ越接近于1時,則價格P0越接近于最優(yōu)價格.考慮價格效應(yīng)之后每期新采納者數(shù)量為

消費者在購買易變質(zhì)產(chǎn)品時大多具有重復(fù)購買行為.當2≤t≤T時,第t期的產(chǎn)品需求源于兩個部分：新采納者的嘗試性購買,以及累積采納者的重復(fù)購買.假設(shè)基本重復(fù)購買率為λ,并將其定義為價格為P0時的重復(fù)購買率.重復(fù)購買意愿與信任,消費習(xí)慣,消費者滿意度,使用價值,享樂價值等諸多因素有關(guān)[20].Orbach和Fruchter[21]以及Danaher等[22]提供了從歷史銷售數(shù)據(jù)中分離出嘗試性購買并估計重復(fù)購買率的方法.然而當企業(yè)推出易變質(zhì)新產(chǎn)品時,并無可用的歷史銷售數(shù)據(jù).此時企業(yè)可以采用如下方法[16]估計擴散參數(shù)(創(chuàng)新系數(shù)p,模仿系數(shù)q,以及市場容量m)和重復(fù)購買率：挑選相似產(chǎn)品,并根據(jù)環(huán)境條件,市場結(jié)構(gòu),消費者行為,營銷組合策略,以及產(chǎn)品創(chuàng)新本身五個方面來衡量這些相似產(chǎn)品和新產(chǎn)品的相似性;根據(jù)歷史購買記錄分別估計這些相似產(chǎn)品的擴散參數(shù)和重復(fù)購買率;以相似性為權(quán)重,對相似產(chǎn)品對應(yīng)參數(shù)的估計值進行加權(quán)求和來得到新產(chǎn)品的參數(shù)估計值.企業(yè)需要關(guān)注如何提高重復(fù)購買率,以及重復(fù)購買率對企業(yè)決策的影響.本文僅考慮后者.此外,本文將對重復(fù)購買率做敏感性分析,考慮重復(fù)購買率變化時企業(yè)的價格與補貨決策應(yīng)如何變化,以及企業(yè)的利潤會有何種變化.

價格決策同時影響新采納者的數(shù)量和累積采納者的重復(fù)購買行為,所以價格P下的實際重復(fù)購買率可以表示為λe-μ(P/P0-1).當價格極低的時候,最多導(dǎo)致累積采納者全部進行重復(fù)購買.因此,實際重復(fù)購買率為min{λe-μ(P/P0-1),1}.所以需求函數(shù)為

式(6)和式(7)共同刻畫了新產(chǎn)品需求演化過程,并將重復(fù)購買行為和價格決策納入其中.

2.3 定價與動態(tài)批量補貨聯(lián)合決策模型

在不允許缺貨的情況下,企業(yè)既可以通過補貨來滿足當期需求,也可以通過上一期庫存來滿足當期需求.記第t期補貨的固定訂購成本kt,單位補貨成本為ct,單位庫存持有成本為ht.補貨數(shù)量記為zt,是否補貨記為vt,且vt=1代表在第t期有補貨行為.第i期訂購的易變質(zhì)新產(chǎn)品在第t期的庫存持有量為yit.企業(yè)進行定價與動態(tài)批量補貨聯(lián)合決策時,目標函數(shù)為

其中函數(shù)b(t)表示產(chǎn)品變質(zhì)速率.通常情形下或者假定產(chǎn)品變質(zhì)速率恒定,即b(t)=θ;或者假定產(chǎn)品變質(zhì)速率可變且服從Weibull函數(shù)[4],即b(t)=αβtβ-1.

在產(chǎn)品變質(zhì)速率恒定的假設(shè)下,則在第1期初訂購的產(chǎn)品在第t期的變質(zhì)率可以表示為α=1-e-θt.在現(xiàn)實情況下,變質(zhì)速率很少保持恒定,也并非簡單地與時間相關(guān)[19].變質(zhì)速率大多情形下與補貨時期有關(guān),也就是與庫存存放時間有關(guān).例如對于牛奶,蔬果等易變質(zhì)產(chǎn)品而言,企業(yè)采購到的通常是新鮮產(chǎn)品.在庫存中存儲越久,變質(zhì)的可能性也就越大.將補貨時期納入考慮,則第i期訂貨的農(nóng)產(chǎn)品在庫存第t期初到構(gòu)成.

現(xiàn)有文獻通常假定t時刻庫存變化量取決于庫存數(shù)量和需求速率[4]第t期末的變質(zhì)率可以表示為

當t=i時,ait=aii=1-e-θ為補貨后存放第1期的變質(zhì)率.

對于1≤i≤t≤T,若企業(yè)在第t期的補貨數(shù)量zt＞0,則說明企業(yè)在第t期有補貨行為,記vt=1;否則記vt=0.第t的需求被第i期補貨所滿足的部分為rit,而第i期訂購的易變質(zhì)產(chǎn)品在第t期的庫存持有量為yit.所以第t期的庫存水平為第1期初的補貨數(shù)量為z1,其中被用于滿足當期需求的部分為r11,而剩余的部分y11=z1-r11全部作為庫存.因此,第1期初的庫存量為y11.這些庫存在第1期末(或第2期初)時,由于產(chǎn)品變質(zhì)的原因,僅剩下(1-a11)y11.第2期初的補貨數(shù)量為z2,其中被用于滿足當期需求的部分為r22,因此剩余的部分y22=z2-r22則全部作為庫存.在第1期補貨,且持有至第2期初的庫存量為(1-a11)y11.其中用于滿足第2期初的需求的部分為r12,因此剩余部分y12=(1-a11)y11-r12繼續(xù)作為庫存持有.因此,第2期初的庫存量為y12+y22.第3期的情形依次類推.因此,易變質(zhì)新產(chǎn)品定價與動態(tài)批量補貨的聯(lián)合決策模型為

約束條件(11)表示,第t期采購zt個單位易變質(zhì)產(chǎn)品,其中被用于滿足當期需求的為rtt,因此剩余的部分則全部作為庫存持有.約束條件(12)表示,第i期采購的易變質(zhì)產(chǎn)品且一直持有到第t-1期初的部分,在第t期初的時候由于產(chǎn)品變質(zhì)的原因,僅僅剩下(1-ai,t-1)yi,t-1.其中第i期采購的易變質(zhì)產(chǎn)品在第t-1期的變質(zhì)率為ai,t-1.這部分庫存,除了用于滿足第t期需求的部分rit以外,剩下的被繼續(xù)作為庫存持有.約束條件(13)表示,第t期需求dt(P)必須被在此之前訂購的易變質(zhì)產(chǎn)品所滿足,即不允許缺貨.約束條件(14)表示,第t期需求由新采納者的嘗試性購買和累積采納者的重復(fù)購買組成.約束條件(15)表示,第t期新采納者數(shù)量由創(chuàng)新系數(shù)p,模仿系數(shù)q,市場容量m,重復(fù)購買率λ,以及產(chǎn)品價格P確定.約束條件(17)和條件(18)給出了第1期的新采納者數(shù)量以及需求量.

模型的決策變量為價格P,以及每期的補貨數(shù)量zt.在聯(lián)合決策模式下,企業(yè)同時制定價格和補貨決策以最大化利潤.定價與動態(tài)批量補貨聯(lián)合決策的關(guān)鍵在于理解需求函數(shù).從定價決策視角來看,第t期的產(chǎn)品需求源于兩個部分：新采納者的嘗試性購買,以及累積采納者的重復(fù)購買.后者受重復(fù)購買率λ影響,且兩者均取決于產(chǎn)品擴散參數(shù)(創(chuàng)新系數(shù)p,模仿系數(shù)q,市場容量m)和價格P.從補貨決策視角來看,第t期的產(chǎn)品需求dt必須被當期補貨和在此之前訂購并作為庫存持有的產(chǎn)品所滿足.在庫存持有過程中,同時也存在著產(chǎn)品變質(zhì).因此,產(chǎn)品需求連接了企業(yè)的定價與補貨決策.

3 算法設(shè)計

當單位訂購成本ct=c保持不變時,性質(zhì)1給出了易變質(zhì)新產(chǎn)品定價與補貨聯(lián)合決策模型中最優(yōu)價格的上界和下界.

性質(zhì)1在易變質(zhì)新產(chǎn)品定價與補貨聯(lián)合決策模型中,最優(yōu)價格P?滿足c＜P?＜P0[1+ln(mT)/μ].

證明企業(yè)需要獲取凈利潤.因此價格至少要大于單位訂購成本,即P?＞c.另一方面,企業(yè)定價不能太高,否則將無法獲得需求.因此在整個計劃周期內(nèi)累積采納者的數(shù)量至少大于零,即由于

所以mTe-μ(P/P0-1)＞NT≥1,由此得到P?＜P0[1+ln(mT)/μ].因此,對于易變質(zhì)新產(chǎn)品定價與補貨聯(lián)合決策模型,最優(yōu)價格P?滿足c＜P?＜P0[1+ln(mT)/μ].

現(xiàn)有文獻針對定價與動態(tài)批量補貨聯(lián)合決策模型進行了一些研究,Van den Heuvel和Wagelmans[23]提供了多項式復(fù)雜程度的算法.然而,相關(guān)文獻均假設(shè)需求是價格的線性函數(shù)(d=a-bP),甚至進一步限定二者為正比關(guān)系(d=-bP).然而在本文模型中,需求與價格呈現(xiàn)非常復(fù)雜的關(guān)系.由于需求函數(shù)本身服從產(chǎn)品擴散模型的演化規(guī)律且受價格影響,需求函數(shù)甚至無法用確切的函數(shù)表達出來.因此,模型復(fù)雜程度遠高于以上文獻的設(shè)定.故本文設(shè)計了啟發(fā)式算法.

在易變質(zhì)新產(chǎn)品定價與補貨聯(lián)合決策模型中,一旦價格P給定,則需求函數(shù)隨之確定.此時原問題退化為易變質(zhì)產(chǎn)品的動態(tài)批量補貨模型,并可以直接由Hsu[19]提供的算法求得最優(yōu)解.當?shù)趖期的補貨數(shù)量zt＞0時,則稱第t期為補貨期.企業(yè)在整個計劃周期內(nèi)每期是否進行補貨的決策變量可簡化為向量v=(v(1),v(2),...,v(T)),而補貨數(shù)量記為z=(z(1),z(2),...,z(T)).一旦補貨期向量v給定,便可以確定具體的補貨數(shù)量z;反之亦然.因此,僅需考慮補貨期向量v.并且,一旦給定價格P,即可通過Hsu[19]給出的算法求得最優(yōu)補貨期向量v.另一方面,一旦給定補貨期向量v,則可以求得每期的補貨數(shù)量z.顯然,z是關(guān)于價格P的函數(shù).因此,給定補貨期向量v時,利潤π=π(P)是價格的函數(shù).因此,可以求解最優(yōu)價格P以最大化利潤函數(shù).

總而言之,一旦給定價格P,則易變質(zhì)新產(chǎn)品的定價與補貨聯(lián)合決策模型退化成易變質(zhì)產(chǎn)品的動態(tài)批量補貨模型,并可以直接由Hsu[19]提供的算法求得最優(yōu)解.而一旦給定補貨期向量v,則易變質(zhì)新產(chǎn)品的定價與補貨聯(lián)合決策模型退化成求解使得利潤函數(shù)π(P)最大化的價格P.因此,本文設(shè)計迭代算法來求解易變質(zhì)新產(chǎn)品定價與動態(tài)批量補貨聯(lián)合決策模型.算法步驟如下

步驟1k=0,選取初始價格P0.

步驟2在給定需求d(P),通過Hsu[19]提供的算法求解得到最優(yōu)補貨決策vk.

步驟3若k＞0且vk=vk+1,則算法收斂,停止迭代.

步驟4在給定的補貨決策vk下,求解最優(yōu)價格Pk+1.

步驟5k←k+1,并返回步驟2.

易變質(zhì)新產(chǎn)品定價與補貨聯(lián)合決策問題算法的收斂性由以下不等式所保證,即

可以看到每次迭代都可以改善目標函數(shù)的結(jié)果,而當補貨決策收斂時則算法停止.在步驟2中,給定需求時求解最優(yōu)補貨決策的Hsu[19]算法復(fù)雜度為O(T2);在步驟4中,給定補貨決策時則采用經(jīng)典啟發(fā)式算法來求解最優(yōu)價格.此外,步驟3中的收斂法則使得算法可以較快收斂.

由于不允許缺貨,故第r期的需求必定由之前的某期補貨所滿足.Air表示為了滿足第r期一個單位的需求,第i需要訂購的產(chǎn)品數(shù)量.當i=r時,定義A(j,r)=1.當1≤i≤r≤T時,若第r期的需求由第i期的訂購所滿足,則產(chǎn)生的可變補貨成本及庫存成本之和記為T(i,r).滿足從第1期到第r期的需求且最后一次補貨在第i期時的最小總成本記為V(i,r),則可得到如下遞歸式

其中式(21)表示,滿足從第1期到第r期的需求且最后一次補貨在第r期的總成本優(yōu)化問題,可以轉(zhuǎn)化為滿足從第1期到第r-1期的需求的最優(yōu)成本加上第r期補貨所產(chǎn)生的成本k+T(r,r).式(22)表示,滿足從第1期到第r期的需求且最后一次補貨在第i期的總成本優(yōu)化問題,可以轉(zhuǎn)化為滿足從第1期到第r-1期的需求且最后一次補貨在第i期的最優(yōu)成本V(i,r-1),加上用第i期訂購滿足第r期需求所需要的成本T(i,r).

因此,易變質(zhì)產(chǎn)品的動態(tài)批量補貨問題算法(亦即Hsu[19]算法)如下：

步驟1r=1,求得V(r,r)=V(1,1)=k+cd1.

步驟2對1＜r≤T,依據(jù)式(22)求得V(i,r),依據(jù)依據(jù)式(21)求得V(r,r).

步驟3返回最優(yōu)成本并由滿足從第1到第r期需求的最優(yōu)成本逐步求解補貨數(shù)量zt(1≤t≤T).

4 算例分析

4.1 定價與補貨決策

設(shè)參照價格P0=30,單位補貨成本c=15,固定補貨成本k=7 200,單位持有成本h=5,變質(zhì)參數(shù)θ=0.2.重復(fù)購買率λ=0.4,市場容量m=5 000,價格效應(yīng)參數(shù)μ=-1,創(chuàng)新系數(shù)p=0.02,模仿系數(shù)q=0.4.表1給出了價格P=P0以及根據(jù)聯(lián)合決策模型求解出來的最優(yōu)價格P?下的不同需求演化過程以及補貨決策.

在價格P=P0=30下,企業(yè)利潤為96 840;而通過求解聯(lián)合定價與補貨決策模型得到最優(yōu)價格P=P?=31.9,此時企業(yè)利潤為102 450,相對于前者利潤提高5.79%.從表1來看,定價與動態(tài)批量補貨聯(lián)合決策情境下產(chǎn)品擴散更慢、需求更小,但單位產(chǎn)品利潤更高.因此,定價與動態(tài)批量補貨聯(lián)合決策能夠更好綜合考慮收益和成本,從而提高利潤.

由于價格效應(yīng)參數(shù)μ則衡量了產(chǎn)品擴散速度在價格P0附近的彈性,故當μ越接近于1時,則價格P0越接近于最優(yōu)價格.通過對價格效應(yīng)參數(shù)μ進行分析(見圖1),也驗證了這點：當價格效應(yīng)參數(shù)μ逐漸增大時,P?/P0的比值逐漸降低;當μ的值越接近1時,最優(yōu)價格與參照價格的比值P?/P0也越接近1.因此企業(yè)可以通過簡單地變動價格并測試產(chǎn)品擴散速率對價格的彈性來確定合適的價格.然而,當產(chǎn)品擴散速率對價格的彈性等于1時,并不意味著企業(yè)達到了最優(yōu)價格,而僅僅是接近最優(yōu)價格.因此,企業(yè)還需要考慮補貨和庫存等方面的成本,而不僅僅是考慮收益的最大化.從這個層面上講,企業(yè)的定價與補貨聯(lián)合決策是十分必要的.

當企業(yè)進行產(chǎn)品定價時,還需要考慮諸多因素的影響,例如產(chǎn)品擴散參數(shù)、重復(fù)購買率、產(chǎn)品變質(zhì)參數(shù)等.在Bass[15]模型中,創(chuàng)新系數(shù)p和模仿系數(shù)q共同決定了產(chǎn)品的擴散過程.然而,在產(chǎn)品擴散過程中,更適合用p+q和p/q來描述擴散過程的關(guān)鍵要素[24].其中p+q刻畫了產(chǎn)品擴散速度,而p/q表征市場上消費者的主動購買意愿.因此,本文討論產(chǎn)品擴散速度p+q、消費者主動購買意愿p/q、重復(fù)購買率λ和產(chǎn)品變質(zhì)參數(shù)θ對價格決策的影響.在分析其中任何一個參數(shù)的影響時,均固定其它參數(shù)的取值不變.圖2顯示了最優(yōu)價格P?如何隨著產(chǎn)品擴散參數(shù)(即產(chǎn)品擴散速度p+q及消費者主動購買意愿p/q)、重復(fù)購買率λ以及產(chǎn)品變質(zhì)參數(shù)θ而變化.

表1 價格P0及P?下的需求演化及補貨決策Table 1 Demand evolution and replenishment decisions under price P0and P?

圖1 價格效應(yīng)參數(shù)μ的敏感性分析Fig.1 Sensitivity analysis of price parameterμ

4.2 結(jié)果分析

從圖2可知,當消費者主動購買意愿p/q程度不變時,最優(yōu)價格與產(chǎn)品擴散速度p+q呈先減小后增大的U型關(guān)系.當產(chǎn)品擴散速度特別慢時,企業(yè)應(yīng)制定較高的價格以保證單位利潤;隨著產(chǎn)品擴散速度增加,企業(yè)可以降低價格以促進產(chǎn)品擴散、增加需求.在此情形下,降低價格帶來的需求增加效應(yīng)大于單位利潤降低帶來的效應(yīng);而當產(chǎn)品擴散速度特別快時,企業(yè)則不必擔心需求問題,從而適合提高價格.類似地,當其它因素不變時,最優(yōu)價格與重復(fù)購買率λ也呈現(xiàn)先減小后增大的U型關(guān)系.當重復(fù)購買率極低時,企業(yè)制定較高的價格以保證單位利潤;當重復(fù)購買率逐漸增大時,企業(yè)則可以降低價格以促進產(chǎn)品擴散,從而增加未來的重復(fù)購買數(shù)量;而當重復(fù)購買率非常高時,企業(yè)則可以提高價格以增加單位利潤.因此,當產(chǎn)品擴散速度與重復(fù)購買率變化時,企業(yè)應(yīng)權(quán)衡單位利潤與銷售量并據(jù)此調(diào)整價格水平.

圖2 相關(guān)參數(shù)對價格水平的影響Fig.2 Relevant parameters’inf l uences on price level

與產(chǎn)品擴散的速度不同,消費者主動購買意愿p/q對最優(yōu)價格的影響則較為簡單：當消費者主動購買意愿增加時,最優(yōu)價格隨之增加.當消費者主動購買意愿增加的時候,意味著消費者剩余增加.所以消費者主動購買意愿在某種程度上體現(xiàn)了其保留價格,即愿意為產(chǎn)品支付的最高價格.當保留價格增加時,企業(yè)可以相應(yīng)提高價格水平.因此,最優(yōu)價格隨著消費者主動購買意愿單調(diào)遞增.產(chǎn)品變質(zhì)參數(shù)θ對最優(yōu)價格的影響則相反：當產(chǎn)品易變質(zhì)程度增加時,最優(yōu)價格呈下降趨勢.因為產(chǎn)品易變質(zhì)程度增加時,企業(yè)會盡可能減少平均庫存數(shù)量并增加補貨頻率.此時可以通過降低價格來促進需求,從而減小分攤到單位產(chǎn)品的固定補貨成本.

類似地,通過分析相關(guān)參數(shù)對企業(yè)利潤的影響發(fā)現(xiàn)：當產(chǎn)品擴散速度p+q增加、消費者主動購買意愿p/q增加以及重復(fù)購買率λ增加時,企業(yè)利潤也隨之增加;當產(chǎn)品變質(zhì)參數(shù)θ增加時,企業(yè)利潤隨之減少.因此,企業(yè)應(yīng)當設(shè)法提高產(chǎn)品擴散速度、消費者主動購買意愿和重復(fù)購買率.這意味著企業(yè)可以考慮是否投入更多的營銷費用.此外,企業(yè)還可以考慮是否應(yīng)投入成本改善庫存條件以降低產(chǎn)品在存儲過程中的變質(zhì)率.

5 結(jié)束語

本文以易變質(zhì)新產(chǎn)品為研究對象,考慮了企業(yè)定價和動態(tài)批量補貨聯(lián)合決策問題,并分析了產(chǎn)品擴散、重復(fù)購買和產(chǎn)品變質(zhì)特征對企業(yè)價格水平和利潤的影響.本文將重復(fù)購買率引入考慮價格效應(yīng)的Bass模型構(gòu)建了需求函數(shù),繼而結(jié)合產(chǎn)品變質(zhì)特征建立了易變質(zhì)新產(chǎn)品定價與補貨聯(lián)合決策模型,設(shè)計了啟發(fā)式算法并給出了算例分析,其結(jié)論對企業(yè)運作管理有重要的啟示.首先,易變質(zhì)新產(chǎn)品定價與補貨聯(lián)合決策是必要的,企業(yè)需要權(quán)衡收益和成本以提高利潤.其次,產(chǎn)品最優(yōu)價格隨著產(chǎn)品擴散,重復(fù)購買和產(chǎn)品變質(zhì)參數(shù)變化.因此,企業(yè)需要根據(jù)易變質(zhì)新產(chǎn)品的特征及市場條件來調(diào)整價格策略.最后,企業(yè)利潤隨著產(chǎn)品擴散速度,消費者主動購買意愿和重復(fù)購買率的增大而增加,并且隨著產(chǎn)品變質(zhì)參數(shù)的增大而減少.因此,企業(yè)可以考慮是否投入更多的營銷費用以改善市場條件,或者通過改善庫存條件來降低產(chǎn)品變質(zhì)速率.

本文只考慮了靜態(tài)價格對新產(chǎn)品擴散過程中需求的影響,進一步可以針對易變質(zhì)新產(chǎn)品研究滲透定價、經(jīng)驗曲線定價以及撇脂定價等動態(tài)定價策略與補貨策略的聯(lián)合決策問題.此外,還可以研究易變質(zhì)新產(chǎn)品廣告和促銷等營銷策略與補貨策略的協(xié)調(diào)問題.

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