張莉莉 趙喜梅

摘 要：本文從建模的角度分析“碧玉”獼猴桃果實(shí)縱橫徑的生長數(shù)據(jù)，給出適合該數(shù)據(jù)的一種非線性SUR模型。將縱徑和橫徑的生長看成一個(gè)整體，利用非線性SUR模型模擬其生長過程，通過R語言編寫程序，求出模型中參數(shù)的極大似然估計(jì)及模型的擬合優(yōu)度。得到獼猴桃果實(shí)縱徑和橫徑的生長曲線，說明本文非線性SUR模型的有效性。

關(guān)鍵詞： 非線性；SUR模型；獼猴桃；生長曲線

中圖分類號：O212 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.11974/nyyjs.20180333003

引言

SUR（Seemingly Unrelated Regression）回歸模型[1]也稱半相依回歸模型，是聯(lián)立方程模型，方程之間因誤差項(xiàng)的跨方程相關(guān)而互相聯(lián)系，在生物、遺傳、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用[2]。有關(guān)SUR模型的統(tǒng)計(jì)研究已有很多成果，如文獻(xiàn)[3-5]，其中文獻(xiàn)[5]系統(tǒng)研究了線性和非線性SUR模型及其在醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用，并指出當(dāng)模型中方程間的非線性函數(shù)形式不同時(shí)，SUR模型下的參數(shù)估計(jì)優(yōu)于普通非線性最小二乘估計(jì)。

對植物及其果實(shí)的生長動態(tài)進(jìn)行研究有助于掌握植物的生長發(fā)育規(guī)律，而植物生長曲線的擬合可以直觀的表現(xiàn)其生長動態(tài)。目前有關(guān)植物生長動態(tài)的研究已有大量成果，如文獻(xiàn)[6]在溫室與露地2種環(huán)境下對無核早紅葡萄的生長動態(tài)進(jìn)行了比較研究，文獻(xiàn)[7]利用二次曲線分別對“碧玉”獼猴桃果實(shí)縱徑和橫徑的生長動態(tài)進(jìn)行了曲線擬合。

針對文獻(xiàn)[7]提供的生長數(shù)據(jù)，本文基于非線性SUR模型，充分利用模型中不同方程提供的信息，將縱徑和橫徑的生長看成一個(gè)整體，利用R語言（版本3.3.3）編寫程序，運(yùn)用擬牛頓算法（BFGS）得到了非線性SUR模型參數(shù)的極大似然估計(jì)值，繪制出“碧玉” 獼猴桃果實(shí)縱徑和橫徑的生長曲線，進(jìn)一步分析了獼猴桃果實(shí)縱徑和橫徑的生長規(guī)律。

1 非線性SUR模型

一般的，非線性SUR模型的形式[8]為

（1）

其中，yi=（yi1，yi2，…，yin）為的觀測數(shù)據(jù)，ti=（ti1，ti2，…，tin）為的觀測時(shí)間，是待估參數(shù)向量，是非線性函數(shù)，ei=（ei1，ei2，…，ein）為的誤差向量，i=1，2，…，m，V為協(xié)方差矩陣。

本文考慮如下含2個(gè)方程的非線性SUR模型

（2）

其中是第1個(gè)方程中的待估參數(shù)，ai（i=0，1，2，3，4）是第2個(gè)方程中的待估參數(shù)；協(xié)方差矩陣表示∑與In的

Kronecker乘積，

模型（2）中的2個(gè)方程的非線性函數(shù)表達(dá)式不統(tǒng)一，且隨機(jī)誤差具有相關(guān)性 。如果不同方程的非線性函數(shù)表示不同群體的擬合曲線，則此模型表示第1個(gè)群體的擬合曲線為Logistic曲線，第2個(gè)群體的擬合曲線為多項(xiàng)式曲線，均可表示群體的“S”型生長曲線。

如記

則模型（2）可表示為

（3）

2 參數(shù)估計(jì)及擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

記模型（3）中的未知參數(shù)向量為

，其對數(shù)似然函數(shù)為

其中，

本文中，模型（3）中未知參數(shù)向量包含11個(gè)參數(shù)，極大似然估計(jì)記為

要求其具體表達(dá)式很繁瑣，甚至有些參數(shù)的極大似然估計(jì)并求不出顯式解，對于具體的實(shí)際問題，可借助于計(jì)算機(jī)軟件求解更為方便。本文基于R語言利用擬牛頓算法（BFGS）求各參數(shù)的極大似然估計(jì)值。

將參數(shù)的極大似然估計(jì)值代入模型中各方程，便可得2個(gè)相關(guān)群體的擬合曲線，進(jìn)而可對2群體的生長動態(tài)進(jìn)行整體把握。對每一方程或群體的擬合曲線，利用決定系數(shù)

和統(tǒng)計(jì)量來

判斷曲線擬合的優(yōu)劣程度，其中表示第個(gè)個(gè)體的實(shí)測數(shù)據(jù)，為擬合值。越接近于1，或?qū)o定的顯著性水平，若，則表示曲線擬合的越好[9]。

3 獼猴桃果實(shí)生長趨勢分析

不同品種的獼猴桃果實(shí)，其生長曲線可能會不同。一般獼猴桃果實(shí)縱橫徑的生長趨勢呈“S”或“雙S”型曲線[10]。有關(guān)不同品種獼猴桃果實(shí)的生長曲線已有大量文獻(xiàn)對其研究，但大多都是單獨(dú)描述某一性狀且只描述其生長的動態(tài)變化過程，繪制出折線圖，并沒有給出擬合度較高的生長曲線。文獻(xiàn)[7]以直線和二次多項(xiàng)式分別對獼猴桃果實(shí)縱徑和橫徑的生長曲線進(jìn)行擬合，盡管二次多項(xiàng)式的擬合優(yōu)度R2較高，均在0.9以上，但實(shí)際上其擬合效果并不好。

同一果實(shí)的縱徑和橫徑的生長存在高度相關(guān)性，將縱徑和橫徑的生長看成一個(gè)整體，而不是孤立的分析他們各自的生長過程更符合實(shí)際。針對文獻(xiàn)[7]中的“碧玉”獼猴桃果實(shí)縱橫徑的生長數(shù)據(jù)（圖1、表1），縱徑與橫徑的相關(guān)系數(shù)為0.9883095，通過其散點(diǎn)圖（圖1）發(fā)現(xiàn)，縱橫徑的生長趨勢均呈“S”型曲線，利用R語言編寫程序?qū)v橫徑生長數(shù)據(jù)單獨(dú)進(jìn)行曲線擬合，發(fā)現(xiàn)利用Logistic曲線和四次多項(xiàng)式曲線分別描述其生長趨勢效果較好。為使得擬合效果更好，本文選擇在非線性SUR模型（2）的框架下，將縱徑和寬橫徑的生長看成一個(gè)整體，充分利用不同方程提供的信息，在R語言中，根據(jù)擬牛頓算法，求出模型（2）中各參數(shù)的極大似然估計(jì)值（表2），進(jìn)而得到縱 徑和橫徑生長的擬合數(shù)據(jù)（表1），擬合縱徑和橫徑的生長曲線（圖1），并求出模型的擬合優(yōu)度（表2），為獼猴桃果實(shí)的生長發(fā)育過程提供一定的參考，也進(jìn)一步說明本文模型的有效性。

根據(jù)參數(shù)的估計(jì)值（表2）可得，縱徑的擬合曲線為，橫徑的曲線為

。

兩曲線的擬合效果都很好（圖1），且擬合優(yōu)度也較高，統(tǒng)計(jì)量都小于0.05水平下的臨界值，也都接近于1，優(yōu)于文獻(xiàn)[7]的結(jié)果。

4 討論與結(jié)論

本文以“碧玉”獼猴桃果實(shí)縱橫徑的生長數(shù)據(jù)[7]為例，給出擬合曲線及曲線的擬合優(yōu)度，從建模的角度描述了獼猴桃果實(shí)縱橫徑的生長過程，也說明了本文模型的有效性。

非線性SUR模型（1）將聯(lián)立的非線性方程看成整體來研究，不僅利用了其他方程提供的附加信息，而且可以得出模型中各方程的參數(shù)估計(jì)及不同方程間相關(guān)程度的估計(jì)，可用于描述方程內(nèi)部具有方差齊性而跨方程間具有相關(guān)性的實(shí)際問題。

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作者簡介：張莉莉（1981–），女，山西廣靈人，碩士，講師，研究方向：概率統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用。